가변속 압축기 기구부의 회전운동 추정

1. 서론

가변속 압축기는 냉장고의 냉동효율 향상을 위해 개발되어, 기존의 왕복동식 압축기와 달리 기구부의 회전속도 변경이 가능하다는 특징과 작은 용량으로도 대용량의 냉장고를 운용할 수 있는 특징을 가지고 있다. 그러나 다양한 작동주파수로 운용됨에 따라 다양한 진동, 소음문제를 가지고 있다. 이에 가변속 압축기의 진동, 소음을 규명하고자 하는 연구가 활발히 진행되어 왔다.

가변속 압축기는 크게 몸체와 셸(shell), 기구부, 루프파이프(loop pipe)로 구성되는데, Kim^(1,2)은 몸체와 셸의 고유진동수가 매우 크다는 점에 착안하여 이들을 강체로 모델링하고 루프파이프와 토출관의 강성을 실험적으로 추정하여 운동방정식을 구성하였다. 그리고 이로부터 추정한 고유진동수와 실험의 고유진동수를 비교하여 모델을 검증하였다. Jung^(3,4)은 Kim과 달리 루프파이프를 실제 형상과 물성을 고려한 유한요소로 모델링하고 이를 강체 부분에 결합하여 특정 위치에서의 진동을 추정하였다. 그리고 이를 실험으로 측정한 값과 비교하여 결과를 검증하였다. Lee⁽⁵⁾는 유한요소로 모델링한 루프파이프의 형상을 유전자 알고리듬으로 최적화하여 압축기 셸의 진동량을 저감하는 연구를 고안하였다. 이 외에도 압축기 전체를 강체가 아닌 유한요소로 모델링하여 진동을 추정하고 셸 표면의 진동응답으로부터 방사소음을 추정하는 연구^(6~8)도 다양한 연구자들에 의해 수행되었다. 그러나 이들 연구는 압축기의 가진원을 진동응답으로부터 역으로 추정하거나 기구부의 회전운동을 등속운동으로 가정하여 진동응답을 추정하였다. 전자의 경우는 가진원의 위치를 가정해야한다는 문제점과 가진력 추정에 사용한 진동응답의 특성에 따라 추정 결과가 많이 좌우되는 문제점을 가지고 있다. 후자의 경우는 실제 가변속 압축기의 작동 시 모터의 회전운동으로 발생하는 토크, 실린더 내부 압력으로 인한 가스토크 등으로 기구부가 가속도 운동을 하기 때문에 등속 운동을 한다는 가정으로는 정확한 가진력이 규명되지 않는다는 문제가 있다. 따라서 가속도 운동을 고려한 기구부의 회전운동을 규명하는 연구가 필요한 실정이다.

이에 이 논문에서는 모터토크, 가스토크 등을 고려한 기구부의 회전 운동방정식을 유도하였다. 2장에서는 회전 운동방정식의 유도과정에 대해 설명하였으며, 3장에서는 기구부 회전 운동방정식으로부터 가속도 운동을 하는 기구부의 회전운동을 추정하였다. 그리고 실험으로 측정한 기구부의 회전각속도와 비교하여 해석결과의 타당성을 검증하였다.

2. 기구부 회전 운동방정식

이 장에서는 모터의 회전토크 및 가스토크를 고려한 가변속 압축기 기구부의 회전 운동방정식을 유도한다. 이 연구에서는 가변속 압축기의 기구부를 Fig. 1과 같이 피스톤(piston)과 컨넥팅 로드(connecting rod), 로터(rotor)로 구분하였다.

Fig. 1

Operating components of reciprocal compressor

만약 로터에 모터토크가 작용하는 경우, 로터의 자유물체도는 Fig. 2와 같이 나타낼 수 있으며 로터의 운동방정식은 식 (1)과 같이 표현된다.

Fig. 2

Free body diagram of rotor

여기서 I는 로터의 회전관성모멘트, M_o는 컨넥팅 로드에 의한 집중 질량, r는 로터 중심에서 컨넥팅 로드 회전 중심까지의 거리, T는 모터토크, S_x,S_y는 컨넥팅 로드에 의한 반력을 의미한다.

이때 컨넥팅 로드의 반력 S_x,S_y은 Fig. 3과 4에 나타낸 컨넥팅 로드, 피스톤의 자유물체도와 식 (2), (3)으로부터 계산할 수 있다. 이 논문에서는 컨넥팅 로드의 질량을 피스톤과 로터부의 집중질량으로 표현하기 때문에, 컨넥팅 로드는 단순히 힘 전달을 위한 강체로 고려한다.

Fig. 3

Free body diagram of connecting rod

Fig. 4

Free body diagram of piston

여기서 M_p는 피스톤의 집중질량, M_r은 컨넥팅 로드에 의한 집중 질량, R_x,R_y는 컨넥팅 로드의 반력, P는 실린더 내부 압력에 의한 힘, f는 마찰력, $$ \ddot{x_p}$$는 피스톤의 가속도를 의미한다.

피스톤의 가속도는 Fig. 5에서 나타낸 피스톤 변위를 통해 계산할 수 있다.

Fig. 5

Location of piston about rotating angle

여기서 e는 로터와 피스톤 사이 편심량을 의미한다. 식 (2), (4), (8)을 식 (1)에 대입하면 회전각 θ에 대한 운동방정식은 다음과 같이 정리된다.

여기서 $$ \overline{P}$$와 $$ \overline{F}$$는 각각 실린더 내부 압력에 의한 힘과 피스톤 마찰력에 발생한 가스토크와 마찰토크로 다음과 같다.

3. 수치해석 및 검증

이 장에서는 2장의 기구부 회전 운동방정식을 특정 작동주파수에 대하여 풀고 이를 실험으로 획득한 값과 비교하여 검증한다.

먼저 식 (9)에 나타낸 기구부의 회전 운동방정식은 비선형 2차 미분방정식으로 MATLAB을 이용한 수치해석을 통해 기구부의 회전각속도를 산출하였다. 이때 모터토크 T와 가스토크 $$ \overline{P}$$는 실험으로 획득한 값을 사용하였다. 마찰토크 $$ \overline{F}$$는 추정 회전각속도의 발산을 막기 위해 θ=2nπ(n=1,2,3…)에서 우변의 항이 0이 되는 값을 입력해주었다.

실험은 LG전자 압축기 제어 연구실에서 특정 작동주파수로 작동 중인 가변속 압축기에 대하여 각종 센서 및 계측 프로그램을 이용하여 모터토크, 가스토크 및 회전각속도를 측정하였다. Figs. 6, 7은 회전각속도 획득을 위해 입력한 측정 모터토크와 가스토크이며, Fig. 8은 이 논문에서 제시한 운동방정식으로부터 예측한 작동 주파수 별 회전각에 따른 회전각속도를 나타낸다. Fig. 8을 살펴보면 기구부가 한 바퀴 회전했을 때, 발산 없이 제 속도로 돌아오는 주기성을 가지고 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 6

Measured gas torques with rotating angle at various operating frequencies

Fig. 7

Measured motor torques with rotating angle at various operating frequencies

Fig. 8

Estimated angular velocities with rotating angle at various operating frequencies

Fig. 9는 실험으로 계측한 회전각에 따른 회전각속도를 나타낸다. 여기서 점선은 실험에서 직접 획득한 값으로 노이즈 성분이 많이 포함되어 있다. 이러한 노이즈를 제거하기 위하여 moving average를 적용하였으며, 이에 대한 결과를 실선으로 나타내었다. Moving average를 적용한 회전각에 대한 회전각속도 계측량은 Fig. 8에 나타낸 실험값과 유사하게 나타남을 확인할 수 있다.

명확한 비교를 위해 Fig. 10에는 해석 값과 실험 값을 비교하여 나타내었다. 결과를 살펴보면 30 Hz이하의 작동 주파수에 대해서는 실험의 결과와 해석의 결과가 상당히 잘 일치함을 확인할 수 있다. 그러나 50 Hz 이상의 주파수에 대해서는 해석 값과 실험 값 사이의 오차가 나타남을 확인할 수 있는데, 이는 Fig. 9에 나타낸 실제 계측 값에 상당한 노이즈가 포함되었기 때문으로 추정된다. 그러나 해석의 결과에서 나타난 전반적인 경향은 실험의 결과를 잘 표현하고 있음을 확인할 수 있다. 이로부터 식 (9)에 제시한 기구부의 회전운동에 대한 운동방정식이 타당함을 확인할 수 있다.

산출한 기구부의 회전각, 회전각속도, 회전각가속도는 식 (12)와 같은 피스톤 가진력을 산출하는 데에 활용된다. 이때 피스톤 가진력은 등속운동의 경우와 달리 $$ \ddot{\theta }$$에 의한 항이 추가 고려되어 압축기의 거동 변화를 발생시킨다.

Fig. 9

Measured angular velocities with rotating angle at various operating frequencies; blue (…) = w/o moving average, red (―) = with moving average

Fig. 10

Comparison of estimated and measured angularvelocities with rotating angle at various operating frequencies; blue (…) = estimation, red (―) = measurement

4. 결론

이 연구에서는 다양한 주파수로 작동하는 가변속 압축기의 기구부에 대하여 회전 운동방정식을 제시하고, 수치해석으로 계산한 결과와 실험의 결과를 비교하여 제시한 방정식 및 해석 결과의 타당성을 검증하였다. 이 과정에서 기구부 회전 운동을 계산하기 위한 입력 값으로는 특정 작동주파수에 대하여 실험적으로 측정한 모터토크 및 가스토크를 입력해주었으며, 이를 통해 계산한 결과는 전반적으로 실험의 결과와 잘 일치하고 있음을 확인하였다. 특히 작동주파수 30 Hz 이하에서 수치해석의 결과는 실험값과 거의 일치함을 확인할 수 있었다. 50 Hz 이상의 작동주파수의 경우, 실험값에 포함된 노이즈로 인해 실험 결과와 정확히 일치하지는 않았으나 전반적인 경향은 잘 따라감을 확인하였다. 이 논문에서 제시한 기구부의 회전 운동방정식은 특정 작동주파수로 작동 중인 가변속 압축기 기구부의 가속도 운동 특성을 이해하는 데에 도움이 될 것으로 기대된다. 또한 보다 정확한 기구부 가진력 추정에 활용되어 가변속 압축기의 정확한 소음, 진동 규명에 활용 가능할 것으로 보인다.

References

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