혼합 경계를 가진 임의 형상 음향 공동의 고정밀도 고유치 추출 기법 개발

2.1 지배방정식과 경계조건

Fig. 1에서 실선으로 표시된 2차원 음향 공동의 고유치 해석을 위한 지배 방정식은 다음과 같이 헤름홀츠 방정식의 형태를 가진다⁽⁷⁾.

Fig. 1

Arbitrarily shaped, 2-D acoustic cavity discretized with boundary nodes

여기서 r은 음향 공동 내부의 한 점 P에 대한 위치 벡터를 의미하고(Fig. 1 참조), p(r)은 음향 공동 내부의 한 점 P에서의 음압을 나타내며, k는 주파수 파라미터이다.

일반적으로 음향 공동의 경계는 개방 경계와 강체벽 경계로 나뉘어지며, 두 경계에 대한 경계 조건 식은 다음과 같이 각각 주어진다⁽⁷⁾.

여기서 r_Γ는 Fig. 1의 음향 공동의 경계 상의 한 점에 대한 위치 벡터이며, n은 경계에서의 법선 방향을 의미한다.

2.2 혼합경계를 고려한 NDIF법

먼저 해석 대상 음향 공동의 경계는 Fig. 1과 같이 N개의 노드 P₁,P₂,...,P_N 로 이산화된다. 그러면 음향 공동 내부의 한 점 P에서의 음압은 다음과 같이 무차원동영향 함수들의 선형 결합으로 표시된다⁽³⁾.

여기서 J₀는 제1종 0차 베셀 함수를 나타내며, A_s는 미지 기여도 상수이다. 그리고 r_s는 음향 공동 경계에 위치한 노드 P_s에 대한 위치 벡터를 뜻한다. 참고로 식 (4)는 지배방정식 식 (1)을 정확히 만족한다.

다음으로, 음향 공동의 경계를 따라 연속적으로 주어진 경계 조건 식 (2, 3)은 다음과 같이 경계 노드에 대한 식으로 각각 이산화된다.

여기서 $$ {\mathrm{r}}_i^{\left(o\right)}$$는 개방 경계(open boundary)에 놓인 노드 P_i에 대한 위치 벡터를 뜻하며, $$ {\mathrm{r}}_j^{\left(r\right)}$$와 n_j는 강체벽(rigid-wall) 경계에 놓인 노드 P_j에 대한 위치 벡터와 법선 방향을 각각 의미한다. 그리고 No와 Nr은 각각 개방 경계와 강체벽 경계에 놓인 노드 개수를 의미하며, No + Nr = 0이 성립한다.

이제, 음압 식 (4)를 경계조건 식 (5, 6)에 대입하면 다음의 두 식을 각각 얻을 수 있다.

식 (7)과 식 (8)은 다음과 같이 행렬식의 형태로 각각 나타낼 수 있다.

여기서 국부 시스템 행렬 SM^(oo), SM^(or), SM^(ro), SM^(rr)의 성분은 다음의 식에 의해 각각 주어진다.

마지막으로, 식 (9)와 식 (10)은 다음과 같이 하나의 행렬식으로 표현될 수 있다.

여기서 전체 시스템 행렬 SM과 기여도 벡터 A는 다음과 같다.

전체 시스템 행렬식 식 (16)이 실용해(non-trivial solution)를 갖기 위해선 시스템 행렬 SM의 판별식이 다음과 같이 0을 만족해야 한다.

여기서 시스템 행렬 SM(k)는 주파수 파라미터 k의 함수이다. 음향 공동의 고유치는 식 (19)를 만족하는 주파수 파라미터에 해당한다. 식 (19)에 의해 구해진 고유치를 식 (16)에 대입하면 고유 벡터가 구해지며, 이 고유벡터의 성분들을 식 (4)에 대입하면 음향 모드 형상을 구할 수 있다.

3.1 혼합 경계를 가진 직사각형 음향 공동

이 논문에서 제안된 방법의 타당성을 검증하기 위해, Fig. 2와 같은 엄밀해를 가진 가로 1.2 m, 세로 0.9 m의 직사각형 2차원 음향 공동이 고려된다. 이 음향 공동의 네 면 중에 우측면은 개방 경계이며 점선으로 표시되어 있으며, 나머지 세 면은 강체벽 경계이며 실선으로 표시되어 있다. Fig. 2는 개방 경계와 강체벽 경계를 각각 3개와 13개의 노드로 이산화하여, 총 16개의 노드를 사용한 경우(N = 16)를 보여준다. 아울러, 직사각형 음향 공동의 네 군데 코너에서의 법선 방향은 Fig. 2에서 화살표로 표시되었다. Fig. 2와 같이, 강체벽 경계끼리 만나는 코너에서의 법선 방향은 코너 각도의 크기에 상관 없이 두 경계의 평균 법선으로 설정하고, 강체벽 경계와 개방 경계가 만나는 코너에서의 법선 방향은 강체벽 경계 법선 방향과 같게 설정하는 것이 가장 정확한 고유치를 제공함이 이 논문에서 확인되었다. 참고로 관련 연구 내용은 지면 관계상 생략한다.

Fig. 2

Rectangular cavity discretized with 16 boundary nodes (dotted line: open boundary, solid line: rigid wall boundary)

이 논문에서 제안된 방법을 이용하여 식 (19)의 해에 해당하는 고유치를 추출하기 위하여, Fig. 2와 같이 16개의 노드로 이산화된 경우에 대해 det(SM(k)) 곡선을 그렸으며, 그 결과는 Fig. 3의 실선 곡선에 해당한다. 시스템 행렬 SM의 판별식이 0이 되는 주파수 파라미터에 해당하는 특이치(singular value)는 총 8개(SV₁ ~ SV₈)가 구해졌으며, SV₁ ~ SV₈은 Table 1의 N = 16에 해당하는 열에 제시되었다. 마찬가지로, N = 20, N = 24에 대해서도 같은 방식으로 구해진 특이치들도 Table 1에 제시되었다.

Fig. 3

Determinant curves for the rectangular cavity discretized with 16 boundary nodes (solid line: det(SM), dotted line: det(SMnet))

Table 1

Eigenvalues of the rectangular cavity obtained by the proposed method, the exact solution(8) and FEM (ANSYS)

Table 1에서 N = 16인 경우의 특이치를 엄밀해(exact solution)와 비교해보면, 총 8개의 특이치 중에 6개만이 혼합 경계를 가진 음향 공동의 고유치에 해당하며, 나머지 2개(SV₄, SV₆)는 허위 고유치(spurious eigenvalue)임을 알 수 있다. 이들 허위 고유치는 전체 경계가 개방된 가상의 개방 경계 음향 공동의 첫 번째와 두 번째 고유치에 각각 해당됨이 확인되었다.

이 논문에서 상기 허위 고유치를 제거하기 위하여, 시스템 행렬 SM 속에는 식 (20)과 같이 가상의 개방 경계 음향 공동에 해당하는 시스템 행렬 SM_open이 포함되어 있다고 가정한다⁽³⁾.

여기서 SM_net은 허위 고유치가 제거된 시스템 행렬을 의미한다. 식 (20)은 다음의 식을 만족한다.

식 (22)의 det(SM_net)곡선을 그려보면, Fig. 3의 점선 곡선과 같이 허위 고유치를 제외한 실제 고유치만이 구해짐이 확인된다. 이 곡선에서 특이치는 총 6개(EV₁ ~ EV₈)가 구해지며, 이 값들은 정확히 엄밀해 6개와 일치함을 Fig. 3의 두 곡선을 비교함으로써 확인할 수 있다.

한편, 제안된 방법에서 노드의 개수가 증가하게 되면 첫 번째 고유치가 구해지지 않음을 Table 1에서 확인할 수 있다. 이러한 사실은 고유치가 엄밀해에 이미 수렴되었을 경우 나타나는 현상임을 저자의 이전 연구에서 확인되었다⁽³⁾. 참고로 사각 형상을 포함하여 임의 형상 음향 공동에 대해, 노드의 개수를 16개 이하로 사용하면, 첫 번째 고유치부터 구해지는 것으로 확인되었다. 또한, 제안된 방법은 1271개 노드를 사용한 FEM에 비해 적은 수의 노드를 사용함에도 엄밀해에 정확히 수렴되는 고유치를 제공하는 것을 확인할 수 있다.

3.2 혼합 경계를 가진 임의 형상 음향 공동

두 번째 검증 예제로 Fig. 4와 같은 형상을 가지는 임의 형상 사각 평판이 고려된다. Fig. 4에서 사각형의 네 면 중에 좌측 면(점선)은 개방 경계이며, 나머지 세 면(실선)은 강체벽 경계이다.

Fig. 4

Dimensions of the arbitrarily shaped quadrilateral cavity discretized by 16 nodes (dotted line: open boundary, solid line: rigid wall boundary)

앞의 첫 번째 검증 예제와 마찬가지로, 16개의 노드로 이산화 된 음향 공동(Fig. 4)에 대한 det(SM)곡선과 det(SM_net) 곡선이 그려졌으며, 그 결과는 Fig. 5와 같다. det(SM) 곡선(실선)에서는 총 8개의 특이치가 확인되며, 이들 값들 중에 SV₄와 SV₇은 허위 고유치임을 det(SM_net) 곡선(점선)에서 확인 할 수 있다. 참고로, 이들 허위 고유치는 개방 경계를 가진 음향 공동의 첫 번째와 두 번째 고유치에 해당함이 확인되었다.

Fig. 5

Determinant curves for the arbitrarily shaped, quadrilateral cavity discretized with 16 boundary nodes (solid line: det(SM), dotted line: det(SMnet))

det(SM_net) 곡선에서 구해진 6개의 고유치는 Table 2의 N = 16에 해당하는 열에 제시되었다. 그리고 N = 20와 N = 24에 대해서도 같은 방식으로 고유치가 구해졌으며 그 결과도 Table 2에 제시되었다. 이 예제의 경우는 엄밀해가 존재하지 않기 때문에, 제안된 방법에 의해 구해진 고유치들을 FEM 결과와 비교해보면, 제안된 방법이 타당함을 확인할 수 있다. 한편, 앞의 예제와 마찬가지로 N = 20인 경우에는 첫 번째 고유치가, N = 24인 경우에는 첫 번째와 두 번째 고유치가 추출되지 않음을 확인할 수 있다. 이는 첫 번째 고유치는 N = 16일 때, 두번째 고유치는 N = 20일 때 이미 수렴했기 때문인 것으로 판단된다⁽³⁾.

Table 2

Eigenvalues of the arbitrarily shaped, quadrilateral cavity by the proposed method and FEM (ANSYS)