전달행렬법을 이용한 레버형 반공진 진동 절연기 특성 연구

1. 서 론

시스템 내의 각 요소 사이에서 진동 전달을 저감하는 것은 기계공학의 전통적인 문제점의 하나이며 이러한 목적을 달성하기 위한 연구가 지속적으로 수행되어 왔다. 또한 그 결과로 여러 장치들과 방법들이 소개되었으며 다양한 공학 분야에 적용되고 있다^(1~5). 그러한 방법 중의 하나가 시스템 내에 반공진 특성을 도입하여 진동 전달을 저감하는 반공진 진동 절연기 (dynamic anti-resonance vibration isolator: DAVI)이다^(3,4). 이 방법의 하나의 형태가 레버를 이용하여 절연기 내의 관성을 연성시킴으로써 반공진 현상을 도입시키는 레버형 반공진 진동 절연기이며 이 시스템에 대한 다양한 연구가 진행되어 왔다^(3~6). Flannelly는 하나 이상의 레버와 스프링, 감쇠기를 조합한 다양한 형태의 레버-감쇠 절연기(lever-damper isolator: LDI)를 제안하였다⁽³⁾. 또한, Yilmaz와 Kikuchi는 반공진 진동 절연기의 운동 방정식을 유도하고 이를 이용하여 스프링 강성, 레버비 및 질량비가 절연기의 성능에 미치는 영향을 분석하였다⁽⁴⁾. Li와 Gohnert는 두 개의 레버, 스프링 및 감쇠기로 이루어진 레버-감쇠 절연기를 소개하였다⁽⁵⁾. 마지막으로 Yun 등은 레버형 반공진 진동 절연기의 설계 변수들에 대한 매개변수 연구를 통하여 절연기의 구성이 성능에 미치는 영향을 분석하였다⁽⁶⁾.

많은 경우에 있어 여러 개의 하위 시스템으로 구성되어 있는 대형 시스템의 동적인 특성은 하위 시스템들의 특성을 이용하여 나타낼 수 있으며, 이러한 접근 방법의 하나가 입력단과 출력단 사이의 관계를 나타내는 네 개의 주파수 함수를 이용하여 시스템의 특성을 정의하는 기계적 4단 정수법이다⁽⁷⁾. 이러한 접근 방법의 장점은 전체 시스템의 전달함수를 시스템을 구성하고 있는 하위 시스템의 전달함수를 단순히 곱하여 구할 수 있다는 점이다⁽⁸⁾. 또한 단수입력-단수출력(single-input/single-output: SISO) 시스템의 경우 앞에서 설명된 기계적 4단 정수가 해당 시스템의 전달행렬과 동일하다⁽⁹⁾. 마지막으로 복잡한 기계공학 시스템의 전달행렬은 시스템을 구성하고 있는 요소들의 전달행렬을 이용하여 정의될 수 있다^(10,11).

이 연구에서는 레버형 반공진 진동 절연 시스템에 대한 4단 정수를 유도한다. 또한 레버형 반공진 진동 절연 시스템이 SISO 시스템임을 고려하여 유도된 4단 정수를 시스템의 전달행렬로 정의한다. 이렇게 정의된 L-DAVI 시스템의 전달행렬을 이용하여 이 시스템이 포함된 간단한 시스템의 응답특성을 계산한 다음 그 결과를 미분방정식과 행렬을 이용한 전통적인 방법으로 얻어진 결과와 비교하여 해당 전달행렬의 정확도를 검증한다. 마지막으로 L-DAVI 시스템을 적용하여 4자유도 진동 시스템의 응답특성을 개선하는 방법을 검토한다. 특정한 주파수 영역의 응답특성을 개선하기 위한 L-DAVI 시스템(들)의 최적 구성과 위치를 검토하고 검토된 L-DAVI 시스템을 적용했을 때 나타나는 응답특성 개선 효과를 이 연구에서 제시된 접근 방법을 이용하여 검토한다.

2. 전달행렬법(Transfer Matrix Method: TMM)

선형 특성을 가진 복잡한 시스템을 각각의 기계적인 특성을 가진 여러 개의 하위 시스템으로 분리한 다음 이들을 이용하여 원래 시스템의 특성을 정의하는 방법이 전달행렬법이다^(10,11). 이 연구에서는 기계적인 4단 정수를 바탕으로 입, 출력단의 속도와 작용력 벡터로 이루어진 상태벡터를 기준으로 하위 시스템의 전달행렬들을 정의하였다. 전달행렬은 이 상태벡터를 입력단에서 출력단으로 전달하며 전체 시스템의 특성은 각 하위 시스템의 전달행렬을 조합하여 구할 수 있다.

2.1 TMM의 개요

SISO 시스템의 전달행렬의 개념은 기계적인 4단정수를 이용하여 식 (1)과 같은 행렬방정식으로 나타낼 수 있다⁽⁷⁾.

$\[ \left\{\begin{array}{c}{\overline{F}}_1\hfill \\ {\overline{V}}_1\hfill \end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}{\alpha }_{11}\hfill & {\alpha }_{12}\hfill \\ {\alpha }_{21}\hfill & {\alpha }_{22}\hfill \end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\overline{F}}_2\hfill \\ {\overline{V}}_2\hfill \end{array}\right\}={\Gamma }_{12}\left\{\begin{array}{c}{\overline{F}}_2\hfill \\ {\overline{V}}_2\hfill \end{array}\right\} \]$

(1)

이 식에서 G12는 주어진 시스템의 입력단과 출력단 사이의 전달행렬이며 {F₁,V₁}^T과 {F₂,V₂}^T는 각각 양단의 작용력 및 속도 벡터이다⁽⁷⁾.

$\[ \begin{array}{cc}{\alpha }_{11}={\left.\frac{{\overline{F}}_1}{{\overline{F}}_2}\right|}_{{\overline{V}}_2=0}& {\alpha }_{12}={\left.\frac{{\overline{F}}_1}{{\overline{V}}_2}\right|}_{{\overline{F}}_2=0}\\ {\alpha }_{21}={\left.\frac{{\overline{V}}_1}{{\overline{F}}_2}\right|}_{{\overline{V}}_2=0}& {\alpha }_{22}={\left.\frac{{\overline{V}}_1}{{\overline{V}}_2}\right|}_{{\overline{F}}_2=0}\end{array} \]$

(2)

위 식에서 V_i = 0는 i단이 고정단이라는 의미이며 F_i = 0는 i단이 자유단이라는 의미이다. 위의 정의에 따라 진동시스템의 기본 요소들에 대한 전달함수를 유도하면 Table 1과 같다⁽⁷⁾.

Table 1

Transfer matrices for the basic vibration elements

2.2 연결 시스템의 전달행렬

공학적인 시스템 연결 방법은 Fig. 1에 나타낸 바와 같이 1) 직렬연결 2) 병렬연결로 크게 나뉘어진다. 직렬연결에서 i번째 요소의 출력단은 (i+1)번째 요소의 입력단과 동일하다. 병렬연결의 경우에는 그림에서 보는 바와 같이 연결된 모든 요소들이 하나의 입력단과 하나의 출력단을 공유하게 된다. 또한 Fig. 1(a)에 주어진 시스템과 같이 (n-1)개의 요소가 직렬로 연결된 전체 시스템의 전달행렬은 각 하위시스템의 전달행렬을 이용하여 식 (3)과 같이 정의된다⁽⁷⁾. 이 식에서 Γ_(i)(i+1)는 i번째 요소의 전달행렬을 표시한다.

$\[ \begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{\overline{F}}_1\\ {\overline{V}}_1\end{array}\right\}={\left[\begin{array}{cc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}\\ {\alpha }_{21}& {\alpha }_{22}\end{array}\right]}_1\cdots {\left[\begin{array}{cc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}\\ {\alpha }_{21}& {\alpha }_{22}\end{array}\right]}_{n-1}\left\{\begin{array}{c}{\overline{F}}_n\\ {\overline{V}}_n\end{array}\right\}\hfill \\ \left\{\begin{array}{c}{\overline{F}}_1\\ {\overline{V}}_1\end{array}\right\}={\Gamma }_{12}{\Gamma }_{23}\cdots {\Gamma }_{\left(n-1\right)\left(n\right)}\left\{\begin{array}{c}{\overline{F}}_n\\ {\overline{V}}_n\end{array}\right\}\hfill \end{array} \]$

(3)

Fig. 1

System with multiple subsystems connected in serial or parallel

또한 n개의 하위요소가 병렬로 연결되어 있는 시스템의 전체 전달행렬은 다음의 식 (4)와 같이 구할 수 있다⁽¹¹⁾. 이 식에서 (α_mn)_i는 i번째 요소의 전달행렬을 구성하고 있는 각 요소를 표시한다⁽⁷⁾.

$\[ \left\{\begin{array}{c}{\overline{F}}_1\hfill \\ {\overline{V}}_1\hfill \end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}{\beta }_{11}\hfill & {\beta }_{12}\hfill \\ {\beta }_{21}\hfill & {\beta }_{22}\hfill \end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\overline{F}}_2\hfill \\ {\overline{V}}_2\hfill \end{array}\right\} \]$

(4a)

$\[ \begin{array}{c}{\beta }_{11}=\frac{P}{Q},{\beta }_{12}=\frac{PR-Q^2}{Q},\hfill \\ {\beta }_{21}=\frac{1}{Q},{\beta }_{22}=\frac{R}{Q}\hfill \end{array} \]$

(4b)

$\[ \begin{array}{c}{\beta }_{11}=\frac{P}{Q},{\beta }_{12}=\frac{PR-Q^2}{Q},\hfill \\ {\beta }_{21}=\frac{1}{Q},{\beta }_{22}=\frac{R}{Q}\hfill \end{array} \]$

(4c)

3. L-DAVI에 대한 전달행렬

3.1 L-DAVI에 대한 전달행렬의 유도

L-DAVI 시스템의 개략적인 설명도가 다음 Fig. 2에 주어져 있다. 그림에서 보는 바와 같이 시스템에는 레버형 절연기가 스프링과 감쇠기와 병렬로 연결되어 있다. 이 연구에서는 시스템 내에서 질량을 연성시키는 레버의 질량과 질량관성모멘트는 무시할 수 있다고 가정하였다.

Fig. 2

Mechanical model of the L-DAVI system

일반적으로 원래의 L-DAVI 시스템에는 별도의 감쇠기가 포함되어 있지 않으나 이 연구에서는 시스템의 고유한 구조 또는 재료 감쇠를 표현하기 위하여 적절한 크기의 점성감쇠를 추가하였다. 따라서 Fig. 2에 주어진 전체 시스템의 전달행렬(Γ_DAVI)은 다음 식과 같이 스프링, 감쇠기 및 절연기에 대한 전달행렬을 이용하여 식 (4)와 같이 정의할 수 있다. 스프링과 점성감쇠에 대한 전달행렬은 Table 1에 주어져 있으므로 전체 시스템의 전달행렬(Γ_DAVI)를 구하기 위해서는 우선 절연기의 전달행렬을 정의하여야 한다. 절연기에 대한 간략도와 입력단과 출력단이 Fig. 3에 설명되어 있다. 2.1절에 설명되어 있는 방법과 식 (2)를 이용하여 절연기에 해당하는 전달행렬(Γ_L)을 구하면 식 (5)와 같다.

$\[ {\Gamma }_L=\left[\begin{array}{cc}{\left({\alpha }_{11}\right)}_L\hfill & {\left({\alpha }_{12}\right)}_L\hfill \\ {\left({\alpha }_{21}\right)}_L\hfill & {\left({\alpha }_{22}\right)}_L\hfill \end{array}\right] \]$

(5a)

$\[ {\left({\alpha }_{11}\right)}_L={\left.\frac{{\overline{F}}_1}{{\overline{F}}_2}\right|}_{{\overline{V}}_2=0}=\frac{r_l}{\left(r_l-1\right)} \]$

(5b)

$\[ {\left({\alpha }_{12}\right)}_L={\left.\frac{{\overline{F}}_1}{{\overline{V}}_1}\right|}_{{\overline{F}}_2=0}=0 \]$

(5c)

$\[ {\left({\alpha }_{21}\right)}_L={\left.\frac{{\overline{V}}_1}{{\overline{F}}_2}\right|}_{{\overline{V}}_2=0}=\frac{1}{i\omega m_d{r}_l\left(r_l-1\right)} \]$

(5d)

$\[ {\left({\alpha }_{22}\right)}_L={\left.\frac{{\overline{V}}_1}{{\overline{V}}_2}\right|}_{{\overline{V}}_2=0}=\frac{\left(r_l-1\right)}{r_l} \]$

(5e)

Fig. 3

Mechanical model of the lever isolator

이 식에서 r_l = L₂/L₁은 절연기의 레버비(lever ratio)이며 w는 조화 입력의 각진동수이다.

다음으로 스프링과 감쇠기 병렬조합의 전달행렬(Γ_kc)은 Table 1에 주어진 각 요소의 전달행렬과 식 (4a)~(4c)를 이용하여 식 (6)과 같이 유도된다.

$\[ {\Gamma }_{kc}=\left[\begin{array}{cc}{\left({\alpha }_{11}\right)}_{kc}\hfill & {\left({\alpha }_{12}\right)}_{kc}\hfill \\ {\left({\alpha }_{21}\right)}_{kc}\hfill & {\left({\alpha }_{22}\right)}_{kc}\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1\hfill & 0\hfill \\ \frac{i\omega }{k+i\omega c}\hfill & 1\hfill \end{array}\right] \]$

(6)

따라서, 이상을 종합하여 전체 L-DAVI 시스템에 대한 전달행렬(Γ_DAVI)은 Γ_kc와 Γ_L로부터 식 (7)과 같이 유도된다.

$\[ {\Gamma }_{DAVI}=\left[\begin{array}{cc}{\left({\alpha }_{11}\right)}_{DAVI}\hfill & {\left({\alpha }_{12}\right)}_{DAVI}\hfill \\ {\left({\alpha }_{21}\right)}_{DAVI}\hfill & {\left({\alpha }_{22}\right)}_{DAVI}\hfill \end{array}\right] \]$

(7a)

$\[ {\left({\alpha }_{11}\right)}_{DAVI}=\frac{{\left({\alpha }_{11}\right)}_{kc}{\left({\alpha }_{21}\right)}_L+{\left({\alpha }_{21}\right)}_{kc}{\left({\alpha }_{11}\right)}_L}{{\left({\alpha }_{21}\right)}_{kc}+{\left({\alpha }_{21}\right)}_L} \]$

(7b)

$\[ \begin{array}{c}{\left({\alpha }_{12}\right)}_{DAVI}=-\frac{{\left({\alpha }_{21}\right)}_{kc}+{\left({\alpha }_{21}\right)}_L}{{\left({\alpha }_{21}\right)}_{kc}{\left({\alpha }_{21}\right)}_L}\hfill \\ +{\left({\alpha }_{22}\right)}_{DAVI}\frac{{\left({\alpha }_{11}\right)}_{kc}{\left({\alpha }_{21}\right)}_L+{\left({\alpha }_{21}\right)}_{kc}{\left({\alpha }_{11}\right)}_L}{{\left({\alpha }_{21}\right)}_{kc}{\left({\alpha }_{21}\right)}_L}\hfill \end{array} \]$

(7c)

$\[ {\left({\alpha }_{21}\right)}_{DAVI}=\frac{{\left({\alpha }_{21}\right)}_{kc}{\left({\alpha }_{21}\right)}_L}{{\left({\alpha }_{21}\right)}_{kc}+{\left({\alpha }_{21}\right)}_L} \]$

(7d)

$\[ {\left({\alpha }_{22}\right)}_{DAVI}=\frac{{\left({\alpha }_{22}\right)}_{kc}{\left({\alpha }_{21}\right)}_L+{\left({\alpha }_{21}\right)}_{kc}{\left({\alpha }_{22}\right)}_L}{{\left({\alpha }_{21}\right)}_{kc}+{\left({\alpha }_{21}\right)}_L} \]$

(7e)

3.2 전달행렬의 검증

Γ_DAVI에 대한 타당성은 L-DAVI 시스템을 포함한 있는 2자유도 불구속 시스템의 응답특성을 검증함으로써 확인하였다. Fig. 4에 나타낸 바와 같이, 이 검증 시스템은 두 질량 m_x와 m_y가 L-DAVI 시스템을 통하여 연결되어 있다. L-DAVI 시스템을 포함한 전체 시스템의 기계적인 제원은 Table 2에 제시되어 있다.

Fig. 4

Model for the validation of transfer matrix for the L-DAVI

Table 2

Specifications of the validation system

이 시스템의 입력단에 단위 조화력이 작용할 때 출력단에 나타나는 가속도의 크기를 Γ_DAVI를 이용한 전달행렬법으로 계산한 다음 그 결과를 전통적인 방법에 의한 결과와 비교함으로써 Γ_DAVI의 타당성을 확인하였다. 전통적 방법에서는 Fig. 4에 주어진 시스템에 대하여 정의된 질량, 감쇠 및 강성 행렬을 이용하여 구하였다.

(1) 전통적 방법

이전 연구에서는 이 시스템과 유사한 시스템을 전통적 방법과 수치해석을 이용하여 분석하였으며 해당 연구에서는 해밀턴의 원리를 이용하여 시스템의 자유진동에 대한 운동방정식을 식 (8)과 같이 유도하였다⁽⁶⁾.

$\[ \begin{array}{c}\left(m_x+m_d{r}_l^2\right)\ddot{x}+m_d\left({r_l}^2-r_l\right)\ddot{y}+c\left(\dot{x}-\dot{y}\right)\hfill \\ +k\left(x-y\right)=f\left(t\right)\hfill \end{array} \]$

(8a)

$\[ \begin{array}{c}{m}_d\left(r_l^2-r_l\right)\ddot{x}+\left(m_y+m_d\left(r_l^2-1\right)\right)\ddot{y}+\hfill \\ c\left(\dot{x}-\dot{y}\right)+k\left(x-y\right)=0\hfill \end{array} \]$

(8b)

이들 식들은 식 (9a)와 같이 행렬의 식으로 재배열될 수 있으며 질량, 감쇠 및 강성 행렬들은 식 (9b) ~ (9d)와 같이 정의된다.

$\[ \left[M\right]\left\{\ddot{X}\right\}+\left[C\right]\left\{\dot{X}\right\}+\left[K\right]\left\{X\right\}=\left\{F\right\} \]$

(9a)

$\[ \left[M\right]=\left[\begin{array}{cc}{m}_x+m_d{r}_l^2\hfill & m_d\left(r_l^2-r_l\right)\hfill \\ m_d\left(r_l^2-r_l\right)\hfill & m_y+m_d\left(r_l^2-1\right)\hfill \end{array}\right] \]$

(9b)

$\[ \left[C\right]=\left[\begin{array}{cc}c\hfill & -c\hfill \\ -c\hfill & c\hfill \end{array}\right] \]$

(9c)

$\[ \left[K\right]=\left[\begin{array}{cc}k\hfill & -k\hfill \\ -k\hfill & k\hfill \end{array}\right] \]$

(9d)

검증 시스템의 응답 특성은 위에서 얻어진 행렬들을 바탕으로 다음 식 (10)을 이용하여 계산할 수 있다. 이 식에서 w는 가진력 f(t)의 각진동수이며 {X}와 {F}는 각각 시스템의 변위 및 가진력 벡터이다. Fig. 4에 주어진 시스템의 경우 이 두 벡터는 각각 {X} = {X Y}^T및 {F} = {F₁ 0}^T로 표시될 수 있다.

$\[ \left(-{\omega }^2\left[M\right]+i\omega \left[C\right]+\left[K\right]\right)\left\{X\right\}=\left\{F\right\} \]$

(10)

(2) 전달행렬법

Fig.4에서 알 수 있는 바와 같이 검증 시스템은 두 질량과 L-DAVI 시스템의 직렬연결로 구성되어 있다. 따라서, 검증 시스템의 전체 전달행렬은 Table 1에 제시되어 있는 질량의 전달행렬과 식 (7)로 구할 수 있는 Γ_DAVI를 이용하여 식 (11)과 같이 구할 수 있다.

$\[ {\Gamma }_{14}={\Gamma }_{12}{\Gamma }_{23}{\Gamma }_{34} \]$

(11a)

$\[ {\Gamma }_{12}={\Gamma }_{m_x}=\left[\begin{array}{cc}1\hfill & i\omega m_x\hfill \\ 0\hfill & 1\hfill \end{array}\right] \]$

(11b)

$\[ {\Gamma }_{23}={\Gamma }_{DAVI}={\left[\begin{array}{cc}{\left({\alpha }_{11}\right)}_{DAVI}\hfill & {\left({\alpha }_{12}\right)}_{DAVI}\hfill \\ {\left({\alpha }_{21}\right)}_{DAVI}\hfill & {\left({\alpha }_{22}\right)}_{DAVI}\hfill \end{array}\right]}_{23} \]$

(11c)

$\[ {\Gamma }_{12}={\Gamma }_{m_y}=\left[\begin{array}{cc}1\hfill & i\omega m_y\hfill \\ 0\hfill & 1\hfill \end{array}\right] \]$

(11d)

(3) 검증 결과

Fig. 5에 전달행렬을 이용하여 계산된 검증 시스템의 조화응답을 전통적 방법을 이용하여 계산된 결과와 비교 검증하였다. 그림에서 알 수 있는 바와 같이 두 방법으로 계산된 검증 시스템 엑셀러런스 $$ \ddot{Y}/F$$는 주어진 주파수 영역에서 서로 완전히 일치하고 있다. 따라서 앞 장에서 정의된 L-DAVI 시스템의 전달행렬은 이러한 형태의 절연기를 포함한 기계 시스템의 동적인 특성을 예측하는데 충분한 정확도를 가진다고 할 수 있다.

Fig. 5

Harmonic response of the validation system. Key: ◦ ◦ ◦, transfer matrix method; - - -, conventional method

4. 제안된 전달행렬의 적용

이 절에서는 진동 시스템의 전달특성을 개선하기 위하여 L-DAVI 시스템을 적용하는 방법에 대하여 검토한다. L-DAVI 시스템을 이용하여 개선된 진동계의 응답특성을 앞 장에서 유도된 L-DAVI 시스템의 전달행렬(Γ_DAVI)을 기반으로 전달행렬법을 이용하여 계산하고 이를 원래 진동계의 특성과 비교함으로써 해당 시스템의 효과를 분석한다. 또한 전달 특성의 개선이 필요한 목표 주파수 영역에 대하여 적용할 L-DAVI 시스템의 최적화를 검토한다. 이 과정에서 전달행렬법을 통하여 계산된 시스템 응답특성을 기준으로 해당 주파수 영역에서 최대 효과를 제공하는 L-DAVI 시스템의 최적위치와 구성을 검토한다.

4.1 대상 시스템

이 절의 연구의 대상 시스템인 4자유도 진동시스템의 구성이 Fig. 6에 제시되어 있다. 또한 대상 시스템의 기계적인 제원은 Table 3에 주어져 있다. 그림에서 알 수 있는 바와 같이 이 시스템은 비구속 4자유도 시스템으로 3개의 ‘0’이 아닌 고유진동수를 가진다. 시스템의 고유진동 특성을 식 (10)에 제시된 전통적 방법을 이용하여 조사하였다.

Fig. 6

The target system of the lever type isolator

Table 3

Specifications of the target system

이렇게 얻어진 3개의 고유진동수와 각각에 해당하는 고유진동 모드가 Fig. 7에 주어져 있다.

Fig. 7

Natural frequencies and vibration modes of the target system

또한 m₁에 가해진 조화 가진력에 의해 m₄에 나타나는 수평방향 가속도를 전달행렬법을 이용하여 계산하였다. 대상 시스템 내의 질량들에 대한 전달행렬을 Table 1에 주어진 식을 이용하여 정의하였다. 또한 스프링과 감쇠기의 병렬연결로 구성되어 있는 각 질량들 사이의 연결부에 대한 전달행렬은 식 (6)을 이용하여 구하였다. 따라서, m₁의 입력단과 m₄의 출력단 사이의 전체 전달행렬(Γ₁₈)은 다음 식 (12)와 같이 구할 수 있다. 식에서 알 수 있는 바와 같이 Γ₁₈은 시스템을 구성하고 있는 각 요소에 대한 7개의 전달행렬을 연속적으로 곱한 행렬로 나타난다. 예를 들어 Γ₆₇은 k₃₄와 c₃₄의 병렬연결에 대한 전달행렬이며 Γ₇₈은 m₄에 대한 전달행렬이다.

$\[ {\Gamma }_{18}={\Gamma }_{12}{\Gamma }_{23}{\Gamma }_{34}{\Gamma }_{45}{\Gamma }_{56}{\Gamma }_{67}{\Gamma }_{78} \]$

(12a)

$\[ \begin{array}{cc}{\Gamma }_{\left(2i-1\right)\left(2i\right)}={\Gamma }_{m_i}=\left[\begin{array}{cc}1\hfill & i\omega m_i\hfill \\ 0\hfill & 1\hfill \end{array}\right]\hfill & i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}\hfill \end{array} \]$

(12b)

$\[ {\Gamma }_{\left(2j\right)\left(2j+1\right)}=\left[\begin{array}{cc}1\hfill & 0\hfill \\ \frac{i\omega }{k_{\left(2j\right)\left(2j+1\right)}+i\omega c_{\left(2j\right)\left(2j+1\right)}}\hfill & 1\hfill \end{array}\right] \]$

(12c)

위의 행렬을 이용하여 계산된 $$ \ddot{Y}/F$$가 다음 Fig. 8에 주어져 있다. 그림에서 보는 바와 같이 Fig. 7에 제시된 시스템의 고유진동수들에 해당하는 3개의 피크가 뚜렷하게 나타난다.

Fig. 8

System accelerance Y¨/F of the target system obtained by TMM

4.2 L-DAVI 시스템 적용

이 절에서는 Fig. 8에 제시되어 있는 대상 시스템의 $$ \ddot{Y}/F$$를 개선하기 위하여 L-DAVI 시스템을 적용하는 방안에 대하여 검토한다. 이 연구의 세부 목적은 L-DAVI 시스템을 적용함으로써 세 번째 및 네 번째 고유진동수 주변 $$ \ddot{Y}/F$$를 저감하는 것이다. 따라서 서로 분리되어 있는 두 주파수 영역에서 반공진 특성을 도입할 수 있는 두 개의 L-DAVI 시스템을 적용할 필요가 있다. 위에서 제시된 방안에 따라 개선된 시스템을 다음 Fig. 9에 나타내었다. 그림에서 보는 바와 같이 두 개의 레버형 절연기가 1) m₁과 m₂의 연결부 2) m₂과 m₃의 연결부에 각각 적용되어 있다. 또한 적용된 절연기의 제원은 다음 Table 4에 제시되어 있다. 표에 주어진 제원은 각 변수에 대한 영향 분석을 통하여 결정하였다.

Fig. 9

Target system with the double L-DAVI system

Table 4

Specifications of modified lever isolator

아울러 위에서 설명된 바와 같이 시스템이 수정됨에 따라 식 (12a) ~ (12c)에 주어진 시스템의 전달행렬 중 절연기가 추가된 부분에 해당하는 행렬을 다음 식 (13a), (13b)와 같이 수정하여야 한다.

$\[ {\Gamma }_{23}={\left[\begin{array}{cc}{\left({\alpha }_{11}\right)}_{DAVI}\hfill & {\left({\alpha }_{12}\right)}_{DAVI}\hfill \\ {\left({\alpha }_{21}\right)}_{DAVI}\hfill & {\left({\alpha }_{22}\right)}_{DAVI}\hfill \end{array}\right]}_{23} \]$

(13a)

$\[ {\Gamma }_{45}={\left[\begin{array}{cc}{\left({\alpha }_{11}\right)}_{DAVI}\hfill & {\left({\alpha }_{12}\right)}_{DAVI}\hfill \\ {\left({\alpha }_{21}\right)}_{DAVI}\hfill & {\left({\alpha }_{22}\right)}_{DAVI}\hfill \end{array}\right]}_{45} \]$

(13b)

두 개의 L-DAVI 시스템을 적용한 위의 진동계의 $$ \ddot{Y}/F$$를 식 (12)와 (13)에 설명되어 있는 전달행렬을 이용하여 계산하였다. Fig. 10에 이렇게 얻어진 결과를 원래 시스템의 $$ \ddot{Y}/F$$와 비교하여 나타내었다. 그림에서 알 수 있는 바와 같이 두 L-DAVI 시스템의 반공진 효과로 인해 세 번째 및 네 번째 고유진동수 주변의 $$ \ddot{Y}/F$$가 크게 저감되는 것을 알 수 있다.

Fig. 10

Effect of the double L-DAVI on Y¨/F of the target system

5. 결 론

이 연구에서는 L-DAVI 시스템에 대한 벡터형 4단정수(전달행렬)을 유도하였다. 유도된 전달행렬을 적용한 전달행렬법으로 계산된 간단한 검증 시스템의 응답특성을 전통적 방법을 이용한 결과와 비교함으로써 유도된 전달행렬이 L-DAVI 시스템을 포함한 진동계의 진동 전달특성을 계산하는데 충분한 정확도를 갖고 있음을 확인하였다.

다음으로 비고정 4자유도 시스템을 대상으로 L-DAVI 시스템을 적용하여 입력단과 출력단 사이의 엑셀러런스 $$ \ddot{Y}/F$$를 감소시키는 방법을 검토하였다. 이전 단계에서 유도된 L-DAVI 시스템의 전달행렬을 이용한 전달행렬법으로 개선 시스템의 $$ \ddot{Y}/F$$를 계산하였다. 또한 최적의 시스템 구성과 위치도 동일한 방법을 이용하여 검토하였다. 개선 전, 후 시스템의 $$ \ddot{Y}/F$$를 비교를 통하여 L-DAVI 시스템을 적용함으로써 시스템의 응답 특성을 획기적으로 개선할 수 있음을 확인하였다.

또한, 이 연구에서 유도된 L-DAVI 시스템의 전달행렬에 기반한 전달행렬법을 이용하여 해당 시스템을 포함한 진동계의 응답 특성을 효과적이고 정확하게 분석할 수 있음을 알 수 있다.

향후 연구에서는 회전 진동의 응답특성을 개선하기 위한 반공진 댐퍼 시스템에 대한 전달행렬 유도와 그 활용에 대한 연구도 진행할 예정이다.

Acknowledgments

이 논문은 2018년도 정부(교육부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 기초연구사업임(No. 2010-0020089)

References

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