사다리꼴 주름판의 최적형상 및 엄밀진동에 관한 연구

1. 서 론

주름판(corrugated plate)은 평판을 파형(wave form)으로 주름잡아 강성(rigidity)을 크게 증대시킨 판구조물로 많은 산업분야에서 널리 사용되고 있다.

주름판은 평판이 등방성(isotropy)인 반면에 주름방향의 직각방향 강성이 증대된 것으로 기하학적 특성상 직교이방성(orthotropy) 구조물로서 분류된다. 이와 같은 직교이방성판으로서의 주름판에 대한 강성 및 진동 데이터는 재료역학적 해석으로 어느 정도의 정확치로 도출되는 데는 한계가 있으며 그 기하학적 형상에 따라 큰 오차가 뒤따른다.

이러한 주름판의 파형 종류는 정현파(sine wave), 사다리꼴파(trapezoid wave), 방형파(square wave), 삼각파(triangle wave), 톱니파(sawtooth wave) 등이 있다.

그동안 발표된 연구논문들을 살펴보면, 주름판의 진동해석은 직교이방성판으로서 강성해석이 선행되어야 하는데, Seydel은⁽¹⁾ 파형 주름판에 대하여 압축실험으로 강성을 규명하고자 하였고, Fung은⁽²⁾ 파형 주름판을 평판에 부착시킨 패널에 대하여 기하학적 해석방법을 제시하였다. Kinloch는⁽³⁾ 사다리꼴 주름판과 평판이 조립된 패널에 대하여 강성해석을 하고자 하였으며, Perel은⁽⁴⁾ 사다리꼴 주름판에 대하여 비교적 단순하게 기하학적으로 강성을 구하고자 하였다.

주름판 등 직교이방성판에 대한 진동을 해석한 논문의 경우는 Hoppmann 등이⁽⁵⁾ 보강판에 대하여 실험으로 강성을 결정하고 단순지지 경계조건에 대해 진동해석을 하였고, Hearmon 등은^(6~8) 직교이방성판에 대하여 강성을 임의로 가정하고 특정 경계조건에 대해 고유진동수를 해석하였다. 또한, Chen 등은⁽⁹⁾ 사다리꼴 주름판과 평판이 조립된 완전 자유의 경계조건을 갖는 패널(panel)에 대하여 유한요소 해석 및 진동실험을 하였다.

그 외에도 주름판에 대하여 등가의 개념을 적용시켜 근사적으로 정적 및 동적 해석한 논문^(10~12), 주름요소 판 하나의 길이가 두께에 비하여 상당히 긴 장방형 절판(folded plate)의 진동해석 논문^(13~15) 등을 살펴볼 수 있다.

그동안, 이 저자 등은^(16,17) 연결 판을 보강재로, 연결 볼트를 집중질량으로 취급하여 주름판에 대한 진동해석을 하였고, 적층복합 주름판을 균일한 두께를 지닌 직교이방성판의 균질화 모델로 취급하여 강성을 해석을 하는 등, 주름판의 강성 및 진동 해석과 관련한 연구를 지속적으로 진행하고 있다.

그러나 주름판의 강성은 이전의 논문⁽¹⁸⁾에서도 언급하였듯이 기하학적 특성과 기본가정 그리고 등가의 개념만을 고려하여 재료역학적으로 해석함으로써 제시되는 것은 엄밀성(exactitude) 차원에서 큰 오차를 유발하는 문제를 지닐 수 있고, 근사적 해석 또는 실험적 방법에 의하여 제시되는 것은 특정 경계조건, 모델에 대해서만 도출 가능한 적용 한계성(application limit)을 가질 수 있다.

따라서 이 연구에서는 사다리꼴 주름판에 대한 재료역학적 해석결과에서 유발되는 오차를 보정하기 위하여 곡면피팅(surface fitting)에 의한 2변수 오차보정(correction of error)식을 산출함으로써 엄밀강성(refined rigidity)을 제시함과 아울러 주름판의 최적형상(optimal shape)을 결정한다. 또한, 이러한 엄밀강성을 적용하여 Ritz법에 의한 주름판의 진동해석 및 비주얼베이직(visual basic) 프로그램을 완성하고, 이 결과는 유한요소 해석 코드인 ANSYS의 결과와 비교함으로써 그 타당성을 검증한다.

2. 주름판의 강성 및 진동

2.1 주름판의 강성

이 연구에서의 사다리꼴 주름판 해석모델은 다음 Fig. 1과 같으며 여기서, a는 주름판의 주름진 x방향 길이, b는 주름판의 y방향 길이다. 또한, 주름판 하나의 주름요소에서 주름각은 θ, 판의 두께는 t, 수평　및 경사 길이 비는 m_c(= l₁/l), 주름높이는 h이며, a′는 주름요소의 길이, a_t′는 주름요소의 전체 길이다.

Fig. 1

Trapezoidal corrugated plate

이 연구에서의 해석모델인 사다리꼴 주름판의 재료역학적 해석에 의한 강성은 다음과 같다⁽¹⁸⁾.

주름판의 x축에 대하여 순수 굽힘모멘트가 작용하는 경우, 주름판의 x면에 대한 굽힘강성(flexural rigidity) D_x는 다음 식 (1)과 같다.

$\[ D_x=\frac{E{t}^3(m_c+\cos \theta )}{12(1-v^2)(1+m_c)} \]$

(1)

여기서, E는 탄성계수, v는 푸아송비이다.

주름판 하나의 주름요소에 대한 y면의 단위길이 당 면적관성모멘트는, 수평면의 경우 평행축 정리를, 경사면의 경우는 경사축에 대한 면적관성모멘트를 각각 중립축에 대하여 적용하면, 주름판의 y면에 대한 굽힘강성 D_y는 다음 식으로 표현할 수 있다.

$\[ D_y=\frac{Et\left\{t^2\left(m_c+{\cos }^2\theta \right)+4h^2\left(1+3m_c\right)\right\}}{12\left(1-v^2\right)\left(m_c+\cos \theta \right)} \]$

(2)

주름판의 x면에 대한 비틀림모멘트는 경사길이의 비틀림각을 x축에 등가하고 수평길이의 비틀림각과 합하여 유도될 수 있고, 따라서 다음과 같은 x면의 비틀림강성(torsional rigidity) D_xy를 구할 수 있다.

$\[ D_{xy}=\frac{E{t}^3\left(m_c+\cos \theta \right)}{12\left(1+v\right)\left(m_c+{\cos }^3\theta \right)} \]$

(3)

y면에 대한 비틀림모멘트는 경사면의 경우 중립축에 등가의 개념을 적용하고 수평면의 경우와 합하여 구함으로써, D_yx는 다음과 같이 결정된다.

$\[ D_{yx}=\frac{E{t}^3\left(m_c+1\right)}{12\left(1+v\right)\left(m_c+\cos \theta \right)} \]$

(4)

3. 결과 및 고찰

3.1 사다리꼴 주름판의 최적형상

앞서 언급한 바와 같이 주름판은 평판을 주름잡아줌으로써 y면의 강성을 크게 증대시킨 것으로, 재료역학적 해석에 의한 강성은 실제 거동과는 큰 차이를 나타낸다. 따라서 이 연구에서는 오차보정식을 통한 엄밀강성식을 제시하였다. Table 1은 a/b = 1, a = 1000 mm, t = 2 mm이고, 주름수 n_c = 10개, 재료물성치 ρ = 7850 kg/m³, E = 200 000 MPa인 경우의 y면에 대한 재료역학적 무차원 강성 β과 무차원 엄밀강성 β_r을 m_c = 1인 경우의 주름각 θ에 따라 비교하여 나타낸 것으로 그 차이가 매우 큼을 알 수 있다.

Table 1

Materials-mechanical non-dimensional rigidities and non-dimensional refined rigidities

또한, 이러한 주름판의 강성은 동일중량 하에서 그 형상에 따라 큰 차이를 나타낼 수 있다.

Tables 2 ~ 3은 주름판의 동일중량 상태에서의 θ와 m_c에 따른 무차원 엄밀강성 β_r을 나타낸 것이다. 산형 주름판 즉, m_c = 0인 경우의 θ = 30°와 동일중량인 사다리꼴 주름판의 강성은 θ = 34°, m_c = 0.2761에서, 각각 θ = 40°인 경우는 θ = 45°, m_c = 0.2519에서, θ = 45°인 경우는 θ = 50°, m_c = 0.2196에서, θ = 60°인 경우는 θ = 66°, m_c = 0.1865에서 최대치임을 알 수 있다.

Table 2

Non-dimensional refined rigidities in same weight as cases for θ = 30° and θ = 40°, mc = 0

Table 3

Non-dimensional refined rigidities in same weight as cases for θ = 45° and θ = 60°, mc = 0

Fig. 2는 Table 2에서의 θ = 30°, m_c = 0와 동일중량인 사다리꼴 주름판의 엄밀강성을 주름각 θ에 따라 그래프로 나타낸 것이다.

Fig. 2

Non-dimensional refined rigidities in same weight as case for θ = 30°, mc = 0

3.2 사다리꼴 주름판의 엄밀진동

재료역학적 해석에 의한 강성 D_y는 실제거동보다도 상당히 큰 값을 나타냄으로써 진동해석에 있어서도 그 오차는 매우 크게 발생한다.

따라서 이 연구에서는 (D_x)_r, (D_y)_r, (D₁)_r, 2(D_xy)_r 등의 엄밀강성을 사다리꼴 주름판의 진동해석에 적용하여 비주얼베이직 프로그래밍을 하였다. Fig. 3은 완성된 진동해석 프로그램의 입력창을 나타낸 것이다.

Fig. 3

Input window for vibration analysis

Table 4는 a/b = 1, a = 1000 mm, t = 2 mm이고, 주름수 n_c = 10개, 재료물성치 ρ = 7850 kg/m³, E = 200 000 MPa,v = 0.3인 사다리꼴 주름판에 대하여, θ = 45°, m_c = 1이고 F-F&C-F의 경계조건에 대한 이 연구에서의 해석결과와 유한요소 해석결과로서 5차까지의 고유진동수를 비교하여 나타낸 것인데, 그 오차는 2 %대 이내로 매우 잘 일치하고 있음을 알 수 있다. 여기서, F-F&C-F (x방향 경계조건 & y방향 경계조건)는 자유(free), 고정(clamp)의 경계조건을 이니셜로 표시한 것으로서, 각각 x = 0와 a에서 F와 F, y = 0와 b에서 C와 F의 경계조건을 나타낸다.

Table 4

Results of vibration analysis for F-F&C-F

Table 5는 주름판에서 가능한 36개 경계조건 중 임의의 3가지 경계조건에 대하여 주름각 θ가 각각 30°, 40°, 50°, 60°인 경우의 m_c가 0.5, 1, 2일 때의 기본진동수(fundamental frequency)를 유한요소 해석결과와 비교하여 나타낸 것이다. 그 결과는 마찬가지로 상당히 잘 일치하고 있음을 알 수 있고, 그 밖의 경계조건 및 임의의 형상에 대해서도 이 연구에서의 결과와 유한요소 해석의 결과는 매우 잘 일치함을 알 수 있었다. 여기서, S는 단순지지(simply support) 경계조건을 나타내는 이니셜이다.

Table 5

Fundamental frequencies for various θ & mc

Fig. 4는 경계조건이 F-F&C-C인 사다리꼴 주름판의 유한요소 해석에 의한 1차 진동 모드(mode)를 나타낸 것이다.

Fig. 4

First vibration mode

4. 결 론

이 연구에서는 사다리꼴 주름판에 대한 엄밀강성과 최적형상을 결정하고 진동해석을 하였다. 그 결과, 다음과 같은 결론을 얻었다.

• (1) 곡면피팅에 의한 2변수 오차보정식을 산출함으로써 사다리꼴 주름판의 엄밀강성을 제시하였다.
• (2) 산형 주름판 즉, m_c = 0인 경우의 θ = 30°와 동일중량인 사다리꼴 주름판의 강성은 θ = 34°, m_c = 0.2761, θ = 40°인 경우는 θ = 45°, m_c = 0.2519, θ = 45°인 경우는 θ = 50°, m_c = 0.2196, θ = 60°인 경우는 θ = 66°, m_c = 0.1865가 최적형상이다.
• (3) 비주얼베이직에 의한 엄밀강성 및 진동해석 프로그램을 완성함으로써 임의의 경계조건 및 형상을 갖는 사다리꼴 주름판의 실용적이고 효율적인 설계데이터 추출이 가능하다.

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