다구치방법과 전달행렬법을 이용하여 지반진동을 받는 감쇠전단구조물의 진동저감 연구

1. 서 론

산업이 발전함에 따라 정밀 장비의 사용이 여러 분야에서 급격히 요구되고 있으며 장비가 고집적화, 고용량화, 소형화됨으로써 장비에 요구되는 정밀도가 점진적으로 높아지고 있다. 이에 따라 반도체 공정에서 미세진동에 따른 장비의 진동 감소가 중요한 문제로 나타나고 있으며 신뢰성 및 고정밀도 확보가 시급한 사항이다^{(1 ~ 3)}.

반도체 장비의 허용 정밀도가 나노미터급으로 되어있는 현실에서 장비의 내부진동 뿐 아니라 지반진동이 정밀도에 큰 영향을 미치므로 문제점으로 나타나고 있다⁽⁴⁾. 지반진동은 장비를 지지하는 외부진동으로 사람의 이동, 인근 차량 운행, 지진, 설비 가동 등 여러 가지 원인을 갖고 있다. 대표적인 지반해석 방법으로 시간이력해석법과 응답스펙트럼해석법^{(5 ~ 7)}이 사용된다. 두 해석 모두 모드 중첩법을 사용하고 있으며 응답스펙트럼해석법은 계산이 용이하지만 구조물의 응답을 시간의 함수로 나타낼 수 없다. 이에 비해 시간이력해석법은 시간 증분마다 변하는 하중을 단계적으로 수치적분을 함으로서 구조물의 응답을 시간에 따라 구하는 방법이지만 막대한 계산량과 시간이 많이 소요되는 단점이 있다. 여기서는 간단하게 감쇠전단구조물의 응답을 확장된 전달행렬법을 사용하여 기존 방법에 비해 용이하게 구하는 방법을 개발하였다. 먼저 지반진동을 감쇠전단구조물에 적용하기 위해 지반진동의 가속도 신호를 측정하고 필터링을 하여 변위신호로 변환하였다. 지반과 각 층의 절점과 지반과의 전달함수를 이용하여 확장된 전달행렬법으로 각 절점의 변위를 예측하였다.

감쇠전단구조물의 진동 저감을 위해서는 다양한 설계인자에 대한 검토가 어려우므로 실험계획법 중 하나인 다구치방법을 이용하여 다양한 설계인자의 변위에 대한 영향을 검토하고 진동저감 방안을 제시하였다.

2. 이 론

2.1 감쇠전단구조물의 확장된 전달행렬법

Fig. 1에 전달행렬법의 감쇠전달행렬을 나타내었으며 i번째 요소의 횡방향 전달행렬은 다음 식과 같다.

Fig. 1

Transfer matrix schematic diagram and freebody diagram of mass

$\[ {\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\end{array}\right\}}_i^D=\left[\begin{array}{cc}1& 1/\left(k_i+jc\omega \right)\\ 0& 1\end{array}\right]{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\end{array}\right\}}_{i-1}^U \]$

(1)

여기서 υ는 횡 변위를 V는 전단력을 나타내는 상태벡터이며 U는 요소의 위쪽을 D는 요소의 아래쪽을 나타낸다. k는 감쇠전단구조물의 횡 방향의 강성계수를 c는 감쇠계수를 의미하며 j는 허수를 나타낸다. i번째 질량 m_i의 점 전달행렬은 관성력이 있지만 아래와 위 변위가 동일하므로 다음과 같다.

$\[ {\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\end{array}\right\}}_i^U=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -m_i{\omega }^2& 1\end{array}\right]{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\end{array}\right\}}_i^D \]$

(2)

여기서 질량과 스프링에 대한 전달행렬을 모두 고려하면 다음과 같다.

$\[ \begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\end{array}\right\}}_i^U=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -m_i{\omega }^2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1/\left(k_i+jc\omega \right)\\ 0& 1\end{array}\right]{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\end{array}\right\}}_{i-1}^U\\ =\left[\begin{array}{cc}1& 1/\left(k_i+jc\omega \right)\\ -m_i{\omega }^2& 1-\frac{m_i{\omega }^2}{\left(k_i+jc\omega \right)}\end{array}\right]{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\end{array}\right\}}_{i-1}^U\end{array} \]$

(3)

따라서 i번째 요소에 대한 전달행렬 T_i는 다음과 같다.

$\[ \begin{array}{c}\left[T_i\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1/\left(k_i+jc\omega \right)\\ -m_i{\omega }^2& 1-\frac{m_i{\omega }^2}{\left(k_i+jc\omega \right)}\end{array}\right]\end{array} \]$

(4)

Fig. 1에서 주기적인 외부 힘 F_i가 i번째 질량 m_i에 작용할 때 관성력과 평형을 고려하면 다음과 같다.

$\[ \begin{array}{c}{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\end{array}\right\}}_i^U=\left[\begin{array}{cc}1& 1/\left(k_i+jc\omega \right)\\ -m_i{\omega }^2& 1-\frac{m_i{\omega }^2}{\left(k_i+jc\omega \right)}\end{array}\right]{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\end{array}\right\}}_{i-1}^U+{\left\{\begin{array}{c}0\\ -F\end{array}\right\}}_{i-1}^U\end{array} \]$

(5)

식 (5)를 외부 힘을 고려한 한 개의 전달행렬로 나타내면 다음 식과 같이 된다.

$\[ {\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\\ \cdots \\ 1\end{array}\right\}}_i^U=\left[\begin{array}{cccc}1& 1/\left(k_i+jc\omega \right)& ⋮& 0\\ -m_i{\omega }^2& 1-\frac{m_i{\omega }^2}{\left(k_i+jc\omega \right)}& ⋮& -F_i\\ \cdots \cdots \cdots & \cdots \cdots \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& ⋮& 1\end{array}\right]{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\\ \cdots \\ 1\end{array}\right\}}_{i-1}^U \]$

(6)

따라서 i번째 확장된 전달행렬 [$$ \stackrel{-}{T_i}$$]은 다음과 같다.

$\[ \begin{array}{c}\left[\stackrel{-}{T_i}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1/\left(k_i+jc\omega \right)& ⋮& 0\\ -m_i{\omega }^2& 1-\frac{m_i{\omega }^2}{\left(k_i+jc\omega \right)}& ⋮& -F_i\\ \cdots \cdots \cdots & \cdots \cdots \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& ⋮& 1\end{array}\right]\end{array} \]$

(7)

이때의 상태벡터는 다음과 같이 된다.

$\[ {\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\\ \cdots \\ 1\end{array}\right\}}_n^U=\left[\stackrel{-}{T_n}\right]\left[\stackrel{-}{T_{n-1}}\right]\bullet \bullet \bullet \left[\stackrel{-}{T_2}\right]\left[\stackrel{-}{T_1}\right]{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\\ \cdots \\ 1\end{array}\right\}}_0^U \]$

(8)

$\[ \begin{array}{c}=\left[\stackrel{-}{T_{all}}\right]{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\\ \cdots \\ 1\end{array}\right\}}_0^U=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{12}& ⋮& u_{13}\\ u_{21}& u_{22}& ⋮& u_{23}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& ⋮& 1\end{array}\right]{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ V\\ \cdots \\ 1\end{array}\right\}}_0^U\end{array} \]$

(9)

감쇠전단구조물의 경우 최상층이 자유이고 지반이 고정인 경계조건을 갖고 있으므로 상태벡터 {Z_i}는 다음과 같이 된다.

$\[ \begin{array}{cc}\left\{Z_n\right\}={\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ 0\\ \cdots \\ 1\end{array}\right\}}_n,& \left\{Z_0\right\}={\left\{\begin{array}{c}0\\ V\\ \cdots \\ 1\end{array}\right\}}_0\end{array} \]$

(10)

자유진동일 때 하중 F_i=0이 되고 경계조건에서 u₁₃=0, u₂₃=0가 된다. 식 (9)에 식 (10)을 넣어 n차 방정식을 구한 후 감쇠전단구조물 고유진동수는 다음 식으로 해석할 수 있다.

$\[ f\left(\omega \right)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left|u_{22}\right| \]$

(11)

식 (11)의 n개의 해가 각각의 고유진동수가 된다. 각 차수의 고유진동수를 식 (10)의 경계 조건과 식 (9)에 넣어 각 차수에 대한 모드를 구한다.

감쇠전단구조물에 강제 진동 F_i가 존재할 때 식 (9)는 다음과 같다.

$\[ \begin{array}{c}{\left\{\begin{array}{c}\upsilon \\ 0\\ \cdots \\ 1\end{array}\right\}}_n^U=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{12}& ⋮& u_{13}\\ u_{21}& u_{22}& ⋮& u_{23}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& ⋮& 1\end{array}\right]{\left\{\begin{array}{c}0\\ V\\ \cdots \\ 1\end{array}\right\}}_0^U\end{array} \]$

(12)

$\[ 0=u_{22}{V}_0+u_{23} \]$

(13)

$\[ V_0=-\frac{u_{23}}{u_{22}} \]$

(14)

식 (10)의 {Z₀}인 지반의 상태 벡터를 식 (7)에 넣으면 측정점 i와 가진점 j 사이의 전달함수 H_i,j(ω)를 구할 수 있다.

3. 적용 예

확장된 전달행렬법을 이용해서 지반진동을 받는 전단구조물의 응답해석을 검증하기 위하여 Fig. 2와 같이 4층 전단구조물에 대한 고유치 해석을 수행하였다. 수치해석 대상 모델의 제원은 다음과 같다. 질량은 m₁이 4500 kg, m₂와 m₃는 3000 kg, m₄는 500 kg이다. 스프링 탄성계수는 k₁이 3200 kN/m이고 k₂는 2400 kN/m, k₃는 1600 kN/m, k4는 800 kN/m이다. 감쇠계수 ζ는 0.05로 하였다.

Fig. 2

Model of four story shear damping structure

3.1 고유진동수와 전달함수

Table 1에 확장된 전달행렬법과 모드해석법을 사용하여 4층 감쇠전단구조물의 고유진동수를 감쇠계수에 따라 나타내었으며 두 결과가 일치하여 제안된 방법이 타당함을 알 수 있었다. Fig. 3에 ζ=0.02일 때 전달함수를 나타내었다. 10 Hz까지 4개의 고유진동수가 있었으며 피크값이 날카롭지 않아 감쇠가 있음을 알 수 있다.

Table 1

Natural frequencies of four story shear damping building

Fig. 3

Transfer function of the four stories shear damping structure

3.2 지반 가속도의 변위 변환

지반진동으로 인한 구조물의 변위응답을 구하기 위해 측정된 지반 가속도와 변위를 Fig. 4에 나타내었다. 변위함수는 이 지반진동의 가속도를 시간에 따라 적분하고 필터링을 하여 구하였다⁽⁸⁾.

Fig. 4

Ground acceleration signal from the experiment

4. 다구치방법

다구치방법은 직교 배열을 사용하여 설계에 영향을 미치는 제어인자를 규명하고 제어인자가 변화할 수 있는 수준을 결정한다. 다구치방법은 최소한의 실험으로 어떤 요소가 제품 품질에 가장 큰 영향을 주는지 결정하는 데 필요한 데이터를 얻는다⁽⁹⁾. 여기서는 감쇠구조물의 주요 설비가 4층에 있고 지반 진동이 있을 때 4층의 진동 변위가 작을수록 유리하므로 망특성 중 망소특성을 적용하여 해석하였다. 제어인자는 질량, 강성, 감쇠 중 질량은 장비 등의 무게이므로 제외하였고 설계 변경이 가능한 강성과 감쇠로 하였다.

Fig. 2와 같이 감쇠전단구조물에 대한 설계변수는 총 12개로 4개 층에 대하여 각 층의 질량 및 감쇠계수와 강성계수이다.

Table 2에 제어인자별 수준을 나타내었다. k₁은 초기값을 2수준으로 하고 1수준은 초기값보다 10 % 낮은 값으로 하였다. 나머지 k₂, k₃, k₄는 초기값을 2수준으로 하였으며 1수준은 초기값보다 10 % 낮은 값으로 하고, 3수준은 초기값보다 10 % 높은 값으로 하였다. ζ₁, ζ₂, ζ₃, ζ₄는 초기값을 2수준으로 하고 1수준은 초기값보다 0.01 작은 값을, 3수준은 초기설계안보다 0.01 큰 값으로 하였다.

Table 2

Control factors and level

직교배열표는 제어인자가 8개이며 3 수준이므로 Table 3과 같이 2요소와 3요소의 혼합인 L₁₈을 사용하였다.

Table 3에 있는 18개 실험방법을 실제 지반진동을 받는 감쇠전단구조물의 4층에 대한 진동 변위에 예측하여 Fig. 5에 나타내었다. 여기서는 대표적으로 실험번호 1, 5, 9, 13, 18에 대해 나타내었다.

Table 3

L18 (21×37) orthogonal array

Fig. 5

Displacement of 4th floor of damped shear structure subjected to ground vibration

Fig. 5의 실험번호에 의한 응답 변위 함수를 RMS로 계산하여 Table 4에 나타내었으며 최대는 실험번호 1에서 11.880 μm이고 최소는 실험번호 3에서 9.308 μm이었다.

Table 4

The RMS of the displacement according to the experiment number

또한 제어인자의 효과를 분석하여 Fig. 6에 나타내었다. 이 값이 적을수록 진동변위에 대한 기여도가 적은 인자이다. 여기서는 진동변위가 적을수록 좋은 망소 조건이므로 각 인자의 최저값을 선택하였다.

Fig. 6

The main effect of each factor on RMS

따라서 최저값의 강성계수는 k₁=2880 kN/m, k₂=2400 kN/m, k₃=1760 kN/m, k₄=800 kN/m이며, 감쇠계수는 c₁(ζ=0.06), c₂(ζ=0.06), c₃(ζ=0.06), c₄(ζ=0.04)이다.

최적 설계안을 평가하기 위하여 지반진동에 대한 진동변위의 초기 설계값과 다구치방법을 통한 최적설계값을 나타내어 Fig. 7에 나타내었으며 파란색은 초기 설계값을 나타내고 빨간색은 최적 설계값을 나타낸다.

Fig. 7

Comparison of initial and optimum design vibration displacements by ground vibration

Fig. 7에 있는 각층의 응답을 RMS로 계산하여 Table 5에 나타내었다. 초기값보다 최적 설계값으로 구한 RMS가 전반적으로 낮아졌으며 4층에서 10.23 %로 가장 많이 감소하였다.

Table 5

Comparison of initial and optimum design vibration displacements by ground vibration

5. 결 론

지반진동이 있을 때 감쇠전단구조물의 응답해석을 해석하였으며 다음과 같은 결론을 얻었다.

(1)확장된 감쇠 전달행렬법을 개발하였고 이를 이용하여 감쇠전단구조물의 전달함수를 해석하였다.

(2)전달함수와 지반진동에 의해 감쇠전단구조물의 응답을 해석하는 방안을 제시하였다.

(3)다구치방법을 이용하여 전단감쇠구조물의 설계 변수를 최적화하여 지반진동에 의한 구조물의 진동 변위를 감소시켰다.

Acknowledgments

이 연구는 경기도의 경기도 지역협력연구센터 사업의 일환으로 수행하였음(GRRC경기2017-B02 혁신형제조시스템연구).

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