연료 슬로싱 효과를 고려한 위성 기동 간의 SAR 안테나 반사판의 진동 분석

1. 서 론

슬로싱(sloshing)은 용기에 부분적으로 채워진 액체의 자유유체표면(free liquid surface)의 움직임을 말한다. 이러한 슬로싱은 용기에 있어 외란을 발생시키고, 이는 용기와 용기를 포함하는 구조체의 동적 안정성에 영향을 끼칠 수 있다. 이러한 영향 때문에, 1960년대부터 액체 연료 슬로싱이 우주 발사체의 비행 안정성에 미치는 영향이 연구되었으며⁽¹⁾, 선박이나 자동차의 액체 화물의 슬로싱을 저감하는 연구가 진행되었다^(2,3).

슬로싱은 일반적으로 수치해석을 통해 자유 경계면의 변위와 압력분포를 계산하여 용기에 미치는 영향을 분석한다^(4,5). 이러한 방법은 실제 유체의 움직임을 보다 정확히 표현할 수 있는 장점이 있지만, 해석시간이 오래 걸린다는 단점이 있다. 이러한 단점을 해결하기 위해, Fig. 1과 같이 실제 슬로싱에 의한 힘과 모멘트와 동일한 크기의 힘과 모멘트를 발생시키는 등가 기계 모델(equivalent mechanical model, E.M.M.)이 사용되어왔다⁽⁶⁾. 이러한 등가 기계 모델은 이전에 실험적으로 검증된 바 있으며, 용기와 구조물에 가해지는 슬로싱에 의한 외란을 예측하기 위해 사용되어왔다. 슬로싱은 유체 연료를 이용하는 위성체의 탱크 내부에서도 발생할 수 있는데, 특히 전개형 SAR(synthetic aperture radar) 안테나를 탑재한 위성체의 경우, 안테나 반사판에 얇고, 가벼운 소재를 사용하기 때문에 다른 외란 뿐 아니라 슬로싱에 의한 진동에도 더욱 민감할 가능성이 있다^(7,8).

Fig. 1

Equivalent mechanical model (E.M.M.)

이 연구는 향후 위성에 탑재되는 전개형 SAR 안테나의 beam pointing error 분석을 수행하기 위한 목적으로, 위성의 자세 변화 기동 간 SAR 안테나 반사판에서 발생하는 진동을 분석하고, 등가 기계 모델을 이용한 슬로싱 모사를 통해, 슬로싱의 유무에 따른 SAR 안테나 반사판의 진동 변화와 그에 따른 안테나 성능 저하에 대한 분석을 수행하였다.

2. 슬로싱 분석 기법

3. SAR 안테나 반사판 진동 분석

3.1 전개형 SAR 안테나 탑재 위성체

이 연구에서는, MSC사의 상용 동역학 해석 소프트웨어인 Adams를 이용하여 등가 기계 모델을 포함하는 전개형 SAR 안테나를 탑재한 위성체의 기동 및 안테나 반사판의 진동 해석을 수행하였다. 전개형 위성체의 형상은 Fig. 2와 같다.

Fig. 2

SAR satellite model with E.M.M

해석과정에서 SAR 안테나를 탑재한 위성체를 500 kg급으로 가정하였으며, 위성체의 크기를 고려한 원통형 연료탱크를 상정하였다. 위성의 주축 관성모멘트(principal moment of inertia) 값과 연료 탱크의 제원은 다음과 같다.

$\[ I_{xx}=534.3 \mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2 \]$

(4.a)

$\[ I_{yy}=426.5 \mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2 \]$

(4.b)

$\[ I_{zz}=370.6 \mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2 \]$

(4.c)

$\[ {\mathrm{R}}_0=0.3\mathrm{m}, {\mathrm{h}}_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}}=1.4\mathrm{m} \]$

(4.d)

궤도 상 중력을 지상 대비 약 0.5 %인 0.05 m/s²로 가정하고 액체 연료를 단일 추진제로 주로 사용되는⁽¹³⁾ 하이드라진(hydrazine)으로 가정하면 이 경우의 본드 수는 약 72.8로 저중력 환경에 해당한다.

위성 기동에 의한 슬로싱 현상을 모사하기 위하여, 원통형 연료탱크에 저중력 환경을 고려한 등가 기계 모델을 수립하였으며, Fig. 2에 나타낸 바와 같이 spring-damper와 translational joint를 이용하여 해석 모델을 구축하였다.

이 해석에 사용된 전개형 SAR 안테나는 총 36개 반사판으로 구성되어 있으며 변위 측정을 위해, 각 반사판 당 12개의 측정점(measuring point)을 Fig. 3와 같이 지정하였다.

Fig. 3

SAR antenna panels

3.2 안테나 패널 진동 분석

(1) E.M.M. 파라미터 및 토크 프로파일

위성 연료탱크 내부 유체의 높이를 0.5 m, 0.4 m, 0.3 m로 가정하면, 등가 기계 모델의 파라미터들은 Table 1과 같다. 각 경우에 대하여, 모두 1 %의 감쇠비를 적용하였다.

Table 1

E.M.M. parameters

위성의 자세 변화 기동 시 일반적으로 가정되는 토크 입력은 bang-bang 토크 입력이다. 하지만 bang-bang 토크 입력(step input)과 같은 갑작스러운 토크 변화는 현실적으로 구현하기 어렵고 시스템에 무리가 갈 수 있기에 사인 함수나 다항식을 이용한 평탄화된(smoothed) 토크 입력 방식이 제안되었다⁽¹⁴⁾. 다항식을 이용한 평탄화된 토크(T) 입력은 식 (5)와 같다.

$\[ T=\left\{\begin{array}{lll}{\left(\frac{t}{\Delta t}\right)}^2\left[3-2\left(\frac{t}{\Delta t}\right)\right]T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}& \cdots \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r} 0\le t\le \Delta t& \left(\mathbf{5}.\mathbf{a}\right)\\ T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}& \cdots \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r} \Delta t\le t\le t_f∕2-\Delta t\equiv t_1& \left(\mathbf{5}.\mathbf{b}\right)\\ \left(1-2\left\{{\left(\frac{t-t_1}{2\Delta t}\right)}^2\left[3-2\left(\frac{t-t_1}{2\Delta t}\right)\right]\right\}\right)T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}& \cdots \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r} t_1\le t\le t_f∕2+\Delta t\equiv t_2& \left(\mathbf{5}.\mathbf{c}\right)\\ -T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}& \cdots \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r} t_2\le t\le t_f-\Delta t\equiv t_3& \left(\mathbf{5}.\mathbf{d}\right)\\ \left(-1+\left\{{\left(\frac{t-t_3}{\Delta t}\right)}^2\left[3-2\left(\frac{t-t_3}{\Delta t}\right)\right]\right\}\right)T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}& \cdots \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r} t_3\le t\le t_f& \left(\mathbf{5}.\mathbf{e}\right)\end{array}\right. \]$

Fig. 4는 ∆t = 1s를 갖는 15초 간의 평탄화된 y방향 토크 입력을 나타낸 것이다.

Fig. 4

Smoothed torque profile: 15 s

(2) 안테나 반사판 진동 분석 결과

Fig. 4에 해당하는 토크 입력에 대하여, Figs. 5 ~ 7은 위성의 자세 변화 기동 이후 연료탱크 내부의 유체 높이에 따른 1번 반사판의 1번 측정점의 x변위를 나타낸 그래프이며, Table 2는 Figs. 5 ~ 7에서 슬로싱을 고려한 경우의 최대 변위를 나타낸 표다.

Fig. 5

Vibration of SAR antenna reflector (15 s, h = 0.5m)

Fig. 6

Vibration of SAR antenna reflector (15 s, h = 0.4m)

Fig. 7

Vibration of SAR antenna reflector (15 s, h = 0.3m)

Table 2

Max. displacement of SAR antenna reflector

Figs. 5 ~ 7과 Table 2에서 h = 0.3 m일 때 슬로싱에 의한 반사판 진동이 가장 큰 것(worst case)을 확인할 수 있다.

Worst case인 h = 0.3 m인 경우에, Fig. 8과 같이 상대적으로 더 긴 자세 변화 시간을 갖는 ∆t = 1s, 20초 간의 토크 입력을 가했을 때의 결과는 Fig. 9와 같다.

Fig. 8

Smoothed torque profile: 20 s

Fig. 9

Vibration of SAR antenna reflector (20 s, h = 0.3 m)

입력 주파수의 성분이 슬로싱의 1차 모드 주파수(ω₁)와 유사할 때 SAR 안테나 반사판의 진동 수준이 크게 증가할 수 있다. 일반적인 슬로싱의 1차 모드 형상은 Fig. 10과 같다⁽⁹⁾.

Fig. 10

Sloshing fundamental mode shape

이러한 슬로싱 모드 형상은 용기 형상에 따라 전반적인 형상이 결정되고, 중력가속도와 유체 특성에 의해 용기와의 접촉부 형상이 달라진다.

Worst case인 h = 0.3 m에 대해, Fig. 11과 같이 슬로싱의 1차 모드 주파수에 해당하는 주기(11.4s)를 갖는 smoothed 토크 입력을 가했을 때의 결과는 Fig. 12와 같다.

Fig. 11

Smoothed torque profile: 11.4 s

Fig. 12

Vibration of SAR antenna reflector (11.4 s, h = 0.3 m)

Fig. 12의 결과로 보아 다른 토크 입력보다 입력 토크의 주파수 성분이 슬로싱의 1차 모드 주파수(ω₁)와 유사한 경우, SAR 안테나 반사판의 진동에 큰 영향을 주는 것을 확인할 수 있다.

SAR 안테나 반사판 모드와 슬로싱 모드 간의 공진이 발생하면 반사판의 진동이 더 증가할 수 있다. 이를 확인하기 위해, Fig. 12(h = 0.3 m)의 반사판 변위 결과를 주파수 영역에서 분석하였다.

Fig. 13에서 0.06 Hz와 1.67 Hz 부근에서 높은 값을 나타내는데, 상대적으로 저주파인 0.06 Hz 부근의 값이 위성체를 포함한 등가 기계 모델의 슬로싱 1차 모드에 의한 값임을 확인할 수 있고, 1.67 Hz 부근의 값이 SAR 안테나 반사판의 모드 주파수에 의한 값임을 확인할 수 있다. 이 경우, 슬로싱의 1차 모드에 의해 발생하는 SAR 안테나 변위의 주파수 값은 Table 1에 정리된 슬로싱 모드 주파수보다 낮은데, 이는 E.M.M.이 유한한 질량을 갖는 위성과 결합된 계로 안테나에 작용하기 때문이다.

Fig. 13

Frequency analysis result (11.4 s, h = 0.3m)

반사판 변위의 주파수 성분 분석을 통하여, h = 0.3 m인 경우에 SAR 안테나 반사판 모드와 슬로싱 모드 간의 공진이 발생하지 않는 것을 확인할 수 있었다. 용기 내부의 연료 충전율이 변하더라도 식 (1)로 유도되는 슬로싱의 1차 모드 주파수의 최대값은 0.09 Hz기 때문에, 이 연구에서 고려한 SAR 안테나 탑재 위성체에서 SAR 안테나 반사판 모드와 슬로싱 모드 간의 공진 발생 가능성이 없음을 확인하였다.

이 연구에서는 위성의 갑작스런 자세 변화 등 슬로싱에 의한 영향이 심각할 수 있는 상황을 가정하였기 때문에 일반적인 위성 운용과정에서 발생하는 유체 슬로싱에 의한 영향은 이 연구에서 제시한 수준보다 훨씬 낮을 수 있다.

4. 결 론

이 연구에서는 슬로싱을 등가 기계 모델을 이용하여 표현하고 전개형 SAR 안테나 탑재 위성체의 기동해석을 수행함으로써 슬로싱이 전개형 SAR 안테나 반사판의 진동에 미치는 영향을 확인하였다. 주어진 조건에서, 연료 충전율이 낮고 기동 시간이 줄어들수록 슬로싱 효과가 다소 증가하였으며, 특히, 토크 입력이 슬로싱의 모드를 가진할 때 슬로싱 효과가 크게 증가하는 것을 확인하였다. 추가로, SAR 안테나 반사판 모드와 슬로싱 모드 간의 공진 가능성을 확인하였다.

Acknowledgments

이 연구는 ‘위성용 경량화 SAR 안테나 기술 개발’ 사업의 일환으로 방위사업청과 국방과학연구소의 지원(G06180006)으로 수행되었습니다.

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