각종 주름판 코어 샌드위치 패널의 강성 및 진동 해석

1. 서 론

주름판(corrugated plate)은 강성(rigidity)을 증대시키기 위하여 평판을 정현파형(sinusoidal waveform), 삼각파형(triangle waveform), 사다리꼴파형(trapezoidal waveform), 구형파형(rectangular waveform) 등으로 주름잡아준 판구조물이다. 특히 이러한 주름판을 심재(core)로 하는 샌드위치 패널은 큰 굽힘강성에 비해 비교적 가벼운 경량의 구조물 구성요소로서, 자동차, 항공우주, 선박 및 플랜트 산업분야에서 널리 사용되고 있다.

주름판 코어 샌드위치 패널(corrugated core sandwich panel)은 주름판 구조물의 기하학적 특성상 등방성(isotropy)이 아닌 직교이방성(orthotropy) 구조물로서, 이에 대한 강성 및 진동 해석 시 어느 정도의 정확치를 도출하는데 한계가 있을 수 있으며 주름형상에 따라 큰 오차를 가져올 수 있다. 그러므로 주름판 샌드위치 패널의 진동해석을 하는데 있어서 주름판은 직교이방성판으로서 취급하여 엄밀 강성해석이 선행되어야 비교적 합리적인 진동해석 결과를 가져올 수 있다.

하지만 그 동안 발표된 연구논문들을 살펴보면, Seydel⁽¹⁾은 파형 주름판에 대하여 압축실험을 통하여 강성을 규명하고자 하였고, Fung⁽²⁾은 파형 주름판을 평판에 부착시킨 패널에 대하여, Kinloch⁽³⁾는 사다리꼴 주름판과 평판이 조립된 패널에 대하여, Perel⁽⁴⁾은 사다리꼴 주름판에 대하여 기하학적으로 강성을 구하고자 하였으나, 실험적이거나 비교적 단순한 강성해석으로 일반성 및 엄밀성이 떨어진다.

주름판을 비롯한 직교이방성판에 대하여 진동 해석한 논문을 살펴보면, Hoppmann 등⁽⁵⁾이 보강판에 대한 강성을 실험을 통하여 결정하고 4변이 단순지지인 경계조건에 대해 진동해석을 하였다. 또한 Hearmon 등^(6~8)은 직교이방성판의 강성을 임의로 가정하고 특정 경계조건에 대해 고유진동수를 해석하였다. Chen 등⁽⁹⁾은 4변이 모두 자유인 경계조건의 사다리꼴 주름판과 평판이 조립된 패널에 대하여 유한요소법에 의한 진동해석을 하고 그 결과를 실험결과와 비교하였다. 이 밖에도 유한요소법에 의한 장방형 절곡판(folded plate)의 진동해석 논문^(10~12), 주름판에 대하여 등가의 개념에 의한 근사적 정적 및 동적 해석 논문 등^(13~15)을 살펴볼 수 있다. 그러나 이들 논문들도 대부분 실험, 유한요소 및 특정 경계조건에 대하여 진동 해석한 것이다.

그 동안 이 저자 등은 한정된 길이의 주름판을 용접이나 볼트로 이어 결합할 때 이음부를 보강재 및 집중질량으로 고려한 사다리꼴 주름판에 대하여 진동 해석한 논문⁽¹⁶⁾, 적층복합 주름판을 균일 두께의 직교이방성판 균질화 모델로 취급하여 강성을 해석한 논문⁽¹⁷⁾, 사다리꼴 주름판에 대한 엄밀강성 및 자유진동을 해석한 논문 등^(18,19), 주름판의 강성 및 진동과 관련한 연구를 지속적으로 진행해왔다.

그러나 이들 논문의 대부분은 일반 주름판의 강성 및 진동 해석에 관한 것으로, 많은 산업분야에서 널리 사용되고 있는 중요한 구조물 구성요소임에도 불구하고 주름판을 심재로 하는 샌드위치 패널에 관하여 강성 및 진동 해석을 한 연구는 상당히 미진한 상태이다.

따라서 이 연구에서는 정현파형, 삼각파형, 사다리꼴파형, 구형파형 등으로 주름잡아준 주름판 코어 샌드위치 패널에 대한 강성을 제시함과 아울러 최적의 샌드위치 패널을 결정한다. 또한 임의의 경계조건에 대한 샌드위치 패널의 진동해석을 함으로써, 각종 주름판 코어 샌드위치 패널의 실용적이고 효율적인 정적 및 동적 설계데이터 추출을 위한 비주얼베이직(visual basic) 프로그램을 완성한다.

2. 주름판 코어 샌드위치 패널의 강성해석

이 연구에서의 해석모델은 정현파형, 삼각파형, 사다리꼴파형, 구형파형 등의 주름판을 심재로 하는 샌드위치 패널로서 Fig. 1과 같으며, Fig. 2는 각종 파형 중 사다리꼴파형 주름판을 나타낸 것이다. 여기서, a는 주름판 및 패널의 x방향 길이, b는 y방향 길이, θ는 주름각, t는 면판 및 코어의 두께, m_c(=ℓ₁/1ℓ)는 수평 및 경사 길이 비, h는 주름높이, a₁은 주름판 주름요소 하나의 길이, s는 주름요소 하나의 전체길이를 나타낸 것이다.

Fig. 1

Sandwich panels of various waveforms

Fig. 2

Corrugated plate of trapezoidal waveform

3. 주름판 코어 샌드위치 패널의 진동해석

주름판 코어 샌드위치 패널의 최대변형에너지(V_max)와 최대운동에너지(T_max)는 식 (17), (18)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, D₁ = ν_yD_x + ν_xD_y이고, ρ는 밀도, ω는 각진동수(angular frequency)이다. 그리고 Betti의 상반작용의 정리(Betti's reciprocal theorem)에 의하여 ν_yD_x = ν_xD_y로 나타낼 수 있고, 푸아송비 ν_x, ν_y는 재료상수가 아닌 구조 시스템의 기하학적 형상에 따른 탄성상수이다.

주름판 코어 샌드위치 패널의 Ritz법에 의한 진동해석을 함에 있어 도입되는 처짐함수는 식 (19)와 같이 가정한다.

여기서, X_m(x)과 Y_n(y)는 각각 x 및 y 방향의 직교성(orthogonality)을 만족시키는 함수로서, 이 연구에서는 보함수(beam function)를 도입한다.

식 (20)은 최소에너지원리(minimum total energy principle)를 나타낸 것이다.

따라서 식 (19)를 식 (17)과 식 (18)에 대입하고 최소에너지원리 식 (20)에 적용하면 식 (21)과 같은 고유치문제로 유도된다.

여기서, λ²=ρtω²a⁴/D, ω=2πf_mn, δ_mn=1 (m=k와 n=l), δ_mn=0 (m≠k 또는 n≠l)이다.

1) m = k와 n = l인 경우

2) m ≠ k 또는 n ≠ l인 경우

여기서, α, β, δ, γ는 무차원 강성으로 식 (24)와 같다.

D는 코어와 면판이 모두 평판인 경우의 강성 즉, D = E(3t)³/r12(1-ν²)이고, (D_xy)_a = (D_xy+D_yx)/2이다.

또한 (a/b)는 주름판 코어 샌드위치 패널의 형상비, κ_m, κ_n은 각각 x, y방향의 경계조건에 따른 보함수의 파수(wave numbers), f_mn은 고유진동수(natural frequencies)를 나타낸 것이다.

4. 결과 및 고찰

4.1 주름판 코어 샌드위치 패널의 강성

앞서 언급한 바와 같이 주름판 코어 샌드위치 패널은 각각 정현파형, 삼각파형, 사다리꼴파형, 구형파형 등의 주름판을 심재로 하는 샌드위치 패널로 나눌 수 있다. 따라서 이 연구에서는 이러한 각종 샌드위치 패널에 대하여 동일중량 하에서의 주름판 형상에 따른 강성을 구하고 비교함으로써 최적의 샌드위치 패널을 결정한다.

Table 1은 정현파형의 주름판 높이 h가 25 mm일 때와 동일중량의 크기인 각각 삼각파형, 사다리꼴파형, 구형파형의 주름판 주름높이 h, 수평 및 경사 길이 비 m_c(=ℓ₁/ℓ), 주름각 θ를 나타낸 것이다.

Table 1

Waveform sizes under same weight with cosine wave of h = 25 mm

Table 2와 Fig. 3은 Table 1의 정현파형의 주름판 높이 h가 25 mm일 때와 동일중량의 크기인 삼각파형, 사다리꼴파형, 구형파형의 주름판 코어 샌드위치 패널에 대한 무차원 굽힘 및 비틀림 강성을 나타낸 것이다. 그 결과, 삼각파형 주름판 코어 샌드위치 패널의 굽힘 및 비틀림 강성이 전반적으로 다른 파형의 경우와 비교하여 큼을 알 수 있고 특히, 삼각파형 주름판 코어 샌드위치 패널의 y면 굽힘 강성 D_y가 최대치임을 알 수 있다.

Table 2

Rigidities of sandwich panels under same weight with cosine wave of h = 25 mm

Fig. 3

Rigidities of sandwich panels under same weight with cosine wave of h = 25 mm

Table 3은 정현파형, 삼각파형, 사다리꼴파형, 구형파형의 주름판 높이 h가 모두 25 mm일 때의 각각 주름판 주름요소 하나의 전체길이 s, 수평 및 경사 길이 비 m_c(=ℓ₁/ℓ), 주름각 θ를 나타낸 것이다.

Table 3

Waveform sizes when h = 25 mm

Table 4와 Fig. 4는 Table 3과 같은 주름판 높이 h가 모두 25 mm일 때의 정현파형, 삼각파형, 사다리꼴파형, 구형파형의 주름판 코어 샌드위치 패널에 대한 무차원 굽힘 및 비틀림 강성을 나타낸 것으로, 모든 파형의 샌드위치 패널에 대하여 x면의 굽힘 강성 D_x와 비틀림 강성 D_xy의 크기가 거의 차이가 없음을 알 수 있으며, 이것은 같은 주름높이를 갖는 주름판의 경우 주름형상에 영향을 받지 않음을 알 수 있다. 그러나 y면의 굽힘 강성 D_y는 주름형상 및 중량에 따라 다소 차이 있음을 알 수 있다. 특히 정현파형과 삼각파형 주름판의 경우 강성 크기가 거의 같음을 알 수 있는데, 이것은 정현파형 주름판보다 삼각파형 주름판 코어 샌드위치 패널이 적은 중량으로 비교적 더 큰 강성을 나타냄을 알 수 있다.

Table 4

Rigidities of sandwich panels when h = 25 mm

Fig. 4

Rigidities of sandwich panels when h = 25 mm

4.2 주름판 코어 샌드위치 패널의 진동

이 연구에서는 각종 주름판 코어 샌드위치 패널에 대한 강성뿐만 아니라 진동해석을 하고 비주얼 베이직 프로그래밍을 하였다. Fig. 5는 완성된 정현파형 주름판 코어 샌드위치 패널에 대한 진동해석 프로그램의 데이터 입력창을 나타낸 것이다.

Fig. 5

Data input window for vibration analysis

Table 5는 a/b=1, a=1000 mm, 주름판 및 면판의 두께가 t=5 mm이고, 주름수가 n_c=10개, 주름판 및 면판의 밀도가 ρ=7850 kg/m³, 탄성계수가 E=200 000 MPa, 푸아송비가 ν=0.3인 정현파형의 주름판 높이 h가 25 mm일 때와 동일중량의 크기인 삼각파형, 사다리꼴파형, 구형파형의 주름판 코어 샌드위치 패널에 대하여, x=0와 a에서 자유와 자유, y=0와 b에서 고정과 자유의 경계조건, 즉 F-F&C-F에 대한 5차까지의 고유진동수를 나타낸 것으로서, 강성과 마찬가지로 삼각파형 주름판 코어 샌드위치 패널의 진동수가 전반적으로 큼을 알 수 있다. 여기서, F-F&C-F는 자유(free), 고정(clamp), 단순지지(simply support)의 경계조건을 이니셜로 표기한 것이다.

Table 5

Natural frequencies of sandwich panels under same weight with cosine wave of h = 25 mm for boundary condition of F-F&C-F

Table 6은 주름판 코어 샌드위치 패널에서 가능한 36개 경계조건 중 임의로 선택한 3가지 경계조건에 대하여 파형별로 진동 해석한 기본진동수(fundamental frequency)를 나타낸 것이다.

Table 6

Fundamental frequencies of sandwich panels under same weight with cosine wave of h = 25 mm for various boundary conditions

5. 결 론

이 연구에서는 정현파형, 삼각파형, 사다리꼴파형, 구형파형 등 각종 주름판 코어 샌드위치 패널들에 대한 강성 및 진동 해석을 한 결과, 다음과 같은 결론을 얻었다.

(1) 동일중량의 정현파형, 삼각파형, 사다리꼴파형, 구형파형의 주름판 코어 샌드위치 패널의 경우, 삼각파형 주름판 코어 샌드위치 패널이 최대치의 강성을 나타냄으로써 정량적 측면에서 최적의 샌드위치 패널이라고 할 수 있다.

(2) 동일 주름높이를 갖는 샌드위치 패널의 경우, 정현파형 주름판보다 삼각파형 주름판 코어 샌드위치 패널이 적은 중량으로 비교적 더 큰 강성을 나타낸다.

(3) 비주얼베이직에 의한 각종 주름판 코어 샌드위치 패널의 강성 및 진동 해석 프로그램을 완성함으로써, 임의의 경계조건 및 형상에 대하여 실용적이고 효율적인 정적 및 동적 설계데이터를 쉽게 얻을 수 있다.

References

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