임의 형상 멤브레인의 자유 진동 해석을 위한 NDIF법에서의 고유치 추출 기법 개선

1. 서 론

이 논문의 저자는 임의 형상 멤브레인의 고정밀도 자유 진동 해석을 위한 무차원 동영향 함수법(NDIF법, Non-dimensional dynamic influence function method))을 처음 개발 하였다⁽¹⁾. NDIF법을 처음 개발한 이후, 저자는 다양한 경계 조건을 가진 임의 형상 평판으로 NDIF법을 확장하였으며, NDIF법의 정밀도를 향상시키기 위한 연구 결과들도 최근까지 발표하였다^(2~7).

NDIF법은 유한요소법⁽⁸⁾ 및 경계요소법⁽⁹⁾과는 차별적으로 노드들 사이에 보간 함수를 사용하지 않기 때문에, 이론적으로 간결하고 결과적으로 매우 정확한 자유 진동 해석 결과를 제공한다. 한편, NDIF법은 보다 정확한 고유치 추출을 위해 노드의 수를 증가시킬 경우 저차의 고유치가 추출되지 않는 문제점이 존재한다. 저자의 최근 연구⁽¹⁰⁾에서, 이러한 문제점은 저주파수 영역에서 시스템 행렬의 랭크(rank)가 풀 랭크(full rank)가 되지 않고 시스템 행렬의 크기보다 작아지기 때문인 것으로 밝혀졌다. 이러한 원인 발견을 통해, 시스템 행렬의 판별식을 계산하는 새로운 방법을 최근 연구에서 제안하여 저차의 고유치까지도 성공적으로 추출할 수 있게끔 하였다. 그러나, 이 방법은 저차 고유치 추출을 위해 추가적인 고유치 해석을 해야하는 비효율성과 저차 고유치의 정밀도가 다소 저하되는 문제점을 가진다.

저자는 상기 방법의 비효율성과 문제점을 해결하기 위해, 시스템 행렬의 랭크가 변하는 주파수 구간별로 시스템 행렬의 판별식 값을 계산하는 방안을 가장 최근의 연구⁽¹¹⁾에서 제안하였다. 그러나 이 방법은 고유치를 추출하기 위한 판별식 곡선에서 시스템 행렬이 랭크 값이 변하는 지점들에서 불연속점들이 발생하는 단점이 존재한다. 이러한 불연속으로 인해 고유치를 추출하는 데에 어려움이 발생하게 된다.

이 논문에서는 앞에서 설명한 판별식 곡선의 불연속성 문제를 해결하기 위한 개선된 NDIF법을 제안하였다. 또한, 최근의 두 연구^(10,11)에서는 제안된 방법을 검증하기 위해 엄밀해가 존재하는 원형 멤브레인 만을 검증 예제로 채택하였지만, 이번 연구에서는 원형, 사각형, 임의 형상 멤브레인을 이용한 다양한 예제 검증들이 이루어졌다.

2. 멤브레인에 대한 NDIF법 이론

2.1 지배방정식과 경계조건

Fig. 1과 같은 임의 형상 멤브레인의 자유 진동 지배방정식은 식 (1)과 같이 헤름홀츠(Helmholtz) 방정식의 형태를 가진다⁽¹²⁾.

$\[ {\nabla }^{2}W\left(\mathbf{r}\right)+{\mathbf{\Lambda }}^{2}W\left(\mathbf{r}\right)=0 \]$

(1)

Fig. 1

Arbitrarily shaped membrane discretized with boundary nodes P1, P2,⋯,PN

여기서 W(r)은 멤브레인의 진동 변위, r은 멤브레인 내부 한 점 P에 대한 위치 벡터, Λ는 주파수파라미터를 나타낸다. Fig. 1에서 실선으로 표시된 멤브레인의 경계 Γ는 식 (2)와 같은 고정 경계 조건(변위가 0인 조건)을 가진다.

$\[ W\left({\mathbf{r}}_{\mathrm{\Gamma }}\right)=0 \]$

(2)

여기서 r_Γ는 멤브레인 경계 상의 한 점에 대한 위치 벡터를 의미한다.

3. 판별식 곡선의 불연속성 및 그 해결 방안

3.1 판별식 곡선의 불연속성

최근의 연구⁽¹¹⁾에서 발생하는 판별식 곡선의 불연속성 문제를 엄밀해가 존재하는 Fig. 2의 원형 멤브레인의 예를 들어 설명하고자 한다. 먼저 NDIF법을 적용하기 위하여, 원형 멤브레인의 경계는 32개의 경계 노드로 Fig. 2와 같이 이산화된다.

Fig. 2

Circular membrane discretized with 32 boundary nodes

먼저 2절에서 설명한 기존 NDIF법을 이용하여, 32개의 경계 노드로 이산화된 원형 멤브레인에 대한 시스템 행렬의 판별식 곡선을 그려보면 Fig. 3과 같다. 판별식 곡선에서 극소점에 해당되는 주파수 파라미터 값(S₃~S₈)이 원형 멤브레인의 3~8번째 고유치에 해당되며, 이들 고유치들은 엄밀해⁽¹³⁾와 정확히 일치하는 것으로 확인된다. 하지만, 기존 NDIF법에서는 판별식 곡선에서 알 수 있듯이 1~2번째 저차 고유치는 추출되지 않는 문제점을 확인할 수 있다.

Fig. 3

Determinant curve for the circular membrane obtained by the original NIDF method

저자는 상기의 문제점을 해결하기 위한 최근의 연구⁽¹¹⁾에서, 시스템 행렬의 판별식을 계산하는 방법을 다음과 같이 제안하였다.

$\[ \det \left(\mathbf{S}\mathbf{M}\left(\mathbf{\Lambda }\right)\right)=\prod _{i=1}^{R\left(\mathbf{\Lambda }\right)}{\lambda }_{ i}\left(\mathbf{\Lambda }\right), \]$

(9)

여기서 R(Λ)은 주파수 파라미터 Λ의 함수로 주어지는 시스템 행렬의 랭크이며, λ_i(Λ)는 식 (10)과 같은 시스템 행렬에 대한 대수 고유치 문제에서 i번째 고유치를 의미한다.

$\[ \mathbf{S}\mathbf{M}\left(\mathbf{\Lambda }\right){\mathbf{\nu }}_i={\lambda }_i\left(\mathbf{\Lambda }\right){\mathbf{\nu }}_i, \]$

(10)

여기서 ν_i는 i번째 고유 벡터를 의미한다.

이제 식 (9)를 이용하여 시스템 행렬의 판별식 곡선을 그려보면 Fig. 4와 같다. 이 판별식 곡선은 기존 NDIF법에서 추출하지 못했던 1, 2차 고유치를 포함한 1~8차 고유치들(S₁~S₈)을 엄밀해⁽¹³⁾와 정확히 일치하게 추출함을 확인할 수 있다. 하지만, 기설명한 바와 같이 이 판별식 곡선의 저주파수 구간(Λ<5)에서는 곡선이 불연속적으로 변하는 문제점을 확인할 수 있다. 최근 연구에서 이러한 불연속성은 시스템 행렬의 랭크가 불연속적으로 변하기 때문인 것으로 밝혀졌다. 32개의 경계 노드로 분할된 원형 멤브레인에 대한 랭크를 주파수 파라미터의 함수로 그려보면 Fig. 5와 같이 랭크가 저주파수 영역에서 불연속적으로 변하는 것을 확인할 수 있다. 이 논문에서 이러한 판별식 곡선의 불연속성을 제거하기 위한 방안이 제안되어진다.

Fig. 4

Determinant curve for the circular membrane obtained by the improved NDIF method

Fig. 5

Rank of the circular membrane discretized using 32 boundary nodes

3.2 판별식 곡선 불연속성 제거 방안

Fig. 5에서 랭크의 첫 번째 불연속(1st discontinuity)은 주파수 파라미터가 2.24에서 2.25로 변할 때 발생하며, 이때 시스템 행렬의 랭크 값은 21에서 23으로 증가함을 확인할 수 있다. 이러한 랭크 값의 증가로 인해, 식 (9)에서 판별식을 계산할 때 곱해지는 고유치들의 개수가 21개에서 23개로 증가하게 된다. 이때 추가로 곱해지는 고유치 2개가 0에 가까운 매우 작은 값들이기 때문에, 판별식 값의 크기가 갑자기 작아지는 첫 번째 불연속(1st discontinuity)이 Fig. 4에서 주파수 파라미터가 2.24에서 2.25로 변할 때 발생하게 된다. 이러한 첫 번째 불연속 이후에 나타나는 추가적인 불연속들도 랭크 값의 증가에 의해 같은 이유로 발생하게 된다.

이 연구에서는 이러한 판별식 곡선의 불연속을 제거하기 위하여, 랭크의 변화에 의해 추가로 곱해지는 고유치들의 곱($$ =\prod {\lambda }_{add}\left(\mathbf{\Lambda }\right)$$)을 식 (9)의 판별식 계산식에서 나누어 주는 방안인 식 (11)을 개발하였다.

$\[ \det \left(\mathbf{S}\mathbf{M}\left(\mathbf{\Lambda }\right)\right)=\prod _{i=1}^{R\left(\mathbf{\Lambda }\right)}{\lambda }_i\left(\mathbf{\Lambda }\right)÷\prod {\lambda }_{add}\left(\mathbf{\Lambda }\right) \]$

(11)

식 (11)을 이용하여 32개의 경계 노드로 이산화된 원형 멤브레인에 대한 판별식 곡선을 그리면 Fig. 6과 같다. 새로이 개발된 방법에 의해, 판별식 곡선(Fig. 6)의 불연속성이 성공적으로 제거되었으며, 이 곡선에서 추출된 1~8번째 고유치들은 엄밀해⁽¹³⁾와 정확히 일치하는 것으로 확인된다. 추가적으로, $$ \prod {\lambda }_{add}\left(\mathbf{\Lambda }\right)$$를 주파수 파라미터의 함수로 구하면 Fig. 7과 같다.

Fig. 6

Determinant curve for the circular membrane obtained by the proposed method

Fig. 7

Product of the added eigenvalues for the circular membrane obtained by the proposed method

4. 예제 검증

4.1 엄밀해가 존재하는 직사각형 멤브레인

가로 1.2 m, 세로 0.9 m인 직사각형 멤브레인을 Fig. 8과 같이 32개의 경계 노드로 이산화하였다. 이 이산화 모델에 대해 기존 NDIF법을 적용하여 판별식 곡선을 그리면 Fig. 9와 같이 구해진다. 이 판별식 곡선으로부터 추출된 4~8번째 고유치들(S₄~S₈)은 Table 1의 두 번째 열에 정리되었다. 기존 NDIF법은 노드의 개수가 32개로 많아지면 저차의 고유치들(1~3번째 고유치들)이 추출되지 않음을 확인할 수 있다. 참고로, 노드의 개수가 8, 12, 16개로 적은 경우들에는 1~8번째 고유치들이 모두 구해짐을 이전 연구⁽¹⁾에서 확인할 수 있다.

Fig. 8

Rectangular membrane discretized with 32 boundary nodes

Fig. 9

Determinant curve for the rectangular membrane obtained by the original NDIF method

Table 1

Eigenvalues of the rectangular membrane by the original NDIF method, the proposed method, the exact solution, and FEM (ANSYS) (parenthesized values denote errors (%) with respect to the values by the exact solution)

다음으로, 이 논문에서 제안된 방법인 식 (11)을 사용하여 판별식 곡선을 그리면 Fig. 10과 같이 구해진다. 이 판별식 곡선으로부터 추출한 1~8번째 고유치들(S₁~S₈)은 Table 1의 세 번째 열에 정리되었다. 기존 NDIF법과는 달리 제안된 방법에 의해서는 저차의 고유치까지 모든 고유치가 성공적으로 구해짐을 확인할 수 있다. 그리고, 이들 고유치들은 엄밀해와 정확히 일치함도 확인할 수 있기에, 제안된 방법은 고정밀도 고유치 추출 성능을 가진다고 말할 수 있다. 반면에, 289개의 많은 노드를 사용한 FEM(ANSYS) 고유치들은 엄밀해와 일치하지 않고 오차를 가짐을 Table 1에서 확인할 수 있다.

Fig. 10

Determinant curve for the rectangular membrane obtained by the proposed method

4.2 임의 형상 멤브레인

제안된 방법의 타당성 및 정확성 추가 검증을 위해, 예 Fig. 11과 같은 임의 형상 멤브레인이 고려되었다. 멤브레인의 경계는 32개의 노드로 이산화되었으며, 이 이산 모델에 기존 NDIF법을 적용하여 판별식 곡선을 그리면 Fig. 12와 같이 구해진다. 판별식 곡선을 살펴보면, 1~3번째 저차 고유치들은 추출되지 않고, 4~8번째 고유치들(S₄~S₈)만이 추출됨을 확인할 수 있다. 추출된 이들 고유치들은 Table 2의 두 번째 열에 요약되었다. 참고로, 노드의 개수가 12, 16, 20, 24개로 적은 경우들에는 1~8번째 고유치들이 모두 구해짐을 이전 연구⁽¹⁾에서 확인할 수 있다.

Fig. 11

Arbitrarily shaped membrane discretized with 32 boundary nodes, which consists of a half circle of unit radius and two edges of length 2

Fig. 12

Determinant curve for the arbitrarily shaped membrane obtained by the original NDIF method

Table 2

Eigenvalues of the arbitrarily shaped membrane by the original NDIF method, the proposed method, and FEM (ANSYS) (parenthesized values denote errors (%) with respect to the values by FEM)

다음으로, 이 연구에서 개발한 식 (11)을 사용하여 판별식 곡선을 그려보면, Fig. 13과 같이 구해진다. 판별식 곡선으로부터 1~8번째 고유치들(S₁~S₈)이 빠짐없이 성공적으로 추출되었으며, 이들 고유치들은 Table 2의 세 번째 열에 정리되었다. 한편, 임의 형상 멤브레인은 엄밀해를 가지고 있지 않기 때문에, 제안된 방법의 정확성을 확인하기 위해 FEM 해석 결과를 이용하고자 한다. FEM 해석 결과의 정밀도를 최대한 높이기 위해, 노드의 수를 점점 증가시켜서 고유치 값이 수렴되도록 하였다. Table 2의 네 번째 열에 제시된 고유치들이 1614개의 많은 노드를 사용해서 수렴시킨 FEM 해석 고유치들이다. 이들 고유치들과 단지 32개의 노드를 사용하여 제안된 방법에 의해 구한 고유치들이 오차 없이 정확히 일치하는 것을 확인할 수 있다. 이러한 사실로부터, 임의 형상 멤브레인의 경우도 제안된 방법의 타당성과 정확성이 검증되었다고 말할 수 있다.

Fig. 13

Determinant curve for the arbitrarily shaped membrane obtained by the proposed method

5. 결 론

NDIF법을 이용하여 임의 형상 멤브레인의 고유치 해석을 수행할 때, 노드의 수를 증가시킬 경우 저차 고유치가 추출되지 않은 문제점이 존재한다. 이런 문제점을 해결하기 위한 방안을 최근에 연구에서 제안하였으나, 여전히 판별식이 불연속성을 가지는 문제점이 존재한다. 이 연구에서는 이러한 불연속성 문제를 해결할 수 있는 방안을 성공적으로 제안하였으며, 다양한 예제 검증을 통해 제안된 방법의 타당성과 정확성이 검증되었다.

향후에는 고유치 뿐만 아니라 고유 모드 형상 추출 방법에 대한 연구와, 보다 다양한 형상의 멤브레인과 평판에 대한 확장 연구가 수행될 예정이다.

Acknowledgments

이 연구는 한성대학교 교내학술연구비 지원 과제임.

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