대형 레이더의 수송 진동 해석을 위한 주요 모드 결정 방법론

2.1 유한요소 해석 모델 구축

이 연구의 대상은 Fig. 1과 같이 매우 거대하고 고중량의 구조물이다. 고중량의 대형 레이더는 크게 안테나부와 구동부로 나눌 수 있다. 구동부는 레이더의 회전과 기립의 동력을 제공하는 구동장치(driving system)와 레이더의 회전력을 전달하고 구조적 지지 역할을 하는 플랫폼장치(platform system)로 나뉜다. 안테나부는 레이더 중앙부의 하우징프레임조립체(housing frame assembly)와 양쪽 측면의 배열소자프레임조립체(array element frame assembly)로 이루어져 주요 탐지 역할을 하는 주안테나와 아군과 적군을 식별하는 피아식별안테나(IFF antenna; identification friend or foe antenna)로 이루어진다.

Fig. 1

Schematic diagram of large radar

대형 안테나가 수송될 때에는 하우징프레임조립체, 배열소자프레임조립체, 피아식별안테나, 구동장치, 플랫폼장치가 각각 대형 트레일러에 단단히 체결되어 이동된다. 총 5개의 대형 레이더를 구성하는 주요 조립부 중에서 탐지용 배열 소자와 다양한 전자 장비를 포함하여 수송 진동에 대한 구조건전성을 최우선적으로 확보해야 하는 하우징프레임조립체에 대하여 유한요소 해석모델을 구축하였다. 정적 및 동적 해석에 관련하여 기 검증된 전산 코드인 ANSYS Mechanical 2021R2 상용 유한요소 해석 프로그램을 이용하여 유한요소 해석모델을 구축하였다.

복잡한 대형 레이더에 대하여 효과적인 유한요소 해석모델을 구축하기 위하여 대형 레이더의 전체적인 거동에 큰 영향을 미치지 않을 것으로 판단되는 작은 구멍, 필렛 등을 모델링 과정에서 생략하였다. 하우징프레임조립체의 전면에 고정되는 44개의 배열소자는 강체로 가정하여 각 배열 소자의 무게중심에 44개의 점질량으로 모사하였다. 레이더의 전체적인 뼈대 역할을 하는 프레임 구조물들은 서로 M16 볼트로 연결되는데, 92.1 kN 의 초기 장력(pre-tension)을 가지고 체결되는 것으로 경계 조건을 선정하였다. 최종적으로 구축된 유한요소 해석모델은 사면체 요소와 육면체 요소로 구성하였다. 그리고 이 연구는 탄성 영역에서의 선형 해석이 목적이기 때문에 상대적으로 비선형 해석에 적합한 2차 요소를 이용하지 않고 각 방향으로 2개의 적분점을 사용하는 1차 요소(SOLID185)를 이용하였다. 대형 레이더에 대한 유한요소 해석모델은 총 1 173 782개의 요소와 914 732개의 절점으로 이루어지며 Fig. 2에 나타냈다. 하우징프레임조립체가 대형 트레일러에 탑재될 때 발생하는 각도인 15°를 유한요소 해석모델에도 적용하였다. 그리고 하우징프레임조립체의 측면의 총 8개의 체결부가 대형 트레일러에 고정된다. 실제로는 댐퍼와 같이 충격 및 진동을 완화시키는 장치가 적용되지만 가장 가혹한 수송 진동 조건을 가정하여 모든 체결부를 고정단으로 적용하여 충격 및 진동 흡수 장치가 소산시키는 에너지를 무시하였다.

Fig. 2

Detailed information of finite element model

2.2 수송 진동 해석

MIL-STD-810H 에서 차량의 수송 진동 환경은 랜덤 진동(random vibration) 방법을 이용하여 시험 및 평가하도록 요구하고 있다. 이 연구에서는 구축한 유한요소 해석모델을 통하여 규격에 따라서 해석적인 방법으로 수송 진동 환경에 대한 대형 레이더의 진동 응답을 도출하였다.

먼저, 각 프레임들을 연결하는 역할을 하는 볼트에 의한 체결력을 모사하고 중력에 의한 대형 레이더의 변형 및 강성 변화를 반영하기 위하여 정해석을 수행하였다. 정해석을 통하여 계산된 볼트로 연결된 프레임 간의 체결력과 중력에 의한 구조물 변형 및 강성 변화는 다음으로 수행될 모드 해석의 초기 조건 및 경계 조건으로 반영하였다.

수송 진동에 대한 랜덤 진동 해석은 모드 중첩을 기반으로 수행되기 때문에 모드 해석을 수행해야 한다. 대형 레이더가 차량에 탑재된 조건을 Fig. 2의 (b)와 같이 체결부를 고정단으로 반영하였다. 원하는 주파수 영역 내에서 고유진동수가 누락되지 않도록 모드를 추출하는 방법인 block lanczos method를 이용하여 모드 해석을 수행하였다. Fig. 3과 같이 749.76 Hz의 763차 모드까지 추출하였으며 모드 해석 결과에서 직교 좌표계의 독립적인 세 방향으로 유효 질량을 계산하였다. 누적 유효 질량은 차량의 수직 방향으로 93.65 %, 수평 방향으로 93.75 %, 주행 방향으로 90.00 %를 차지한다. 추출한 고유 모드의 누적 유효 질량이 대형 레이더의 전체 질량의 90 % 이상이므로 수송 진동 해석에서 모드 중첩을 하기 위하여 충분한 모드가 계산되었다.

Fig. 3

Modal analysis results: number of extracted modes, natural frequencies and cumulative effective mass fraction

일반적으로 모드 해석 결과에서 구조 진동 응답에 지배적인 영향을 미칠 것으로 예상되는 주요 모드를 판별할 때 유효 질량을 비교하며, 높은 유효 질량을 가지는 모드를 주요 모드로 판별한다. 따라서 모드 해석 결과에서 대형 레이더의 전체 질량에 대한 각 모드의 3축 방향별 유효 질량비가 높은 순서대로 5개씩의 고유 모드를 Table 1에 정리하였다. 대형 레이더는 길이 및 폭에 비하여 두께가 얇고 길이가 긴 구조적 형상을 가지고 있기 때문에 수직 방향으로 저차 모드가 지배적이고 수평 및 주행 방향으로 상대적으로 주파수가 높은 고차 모드가 주요 모드로 판별된다.

Table 1

Main modes selected based on the effective mass of the modal analysis result

차량으로 전달되는 노면 진동 신호는 불규칙한 가속도로 구성된다. 불규칙한 신호는 가우시안 분포를 한다고 가정하고 주파수에 따른 신호의 성분을 파워 스펙트럼 밀도(PSD; power spectral density)로 나타낸다. 일반적으로 차량의 노면 진동은 가속도로 나타내어 Table 2 및 Fig. 4와 같이 가속 스펙트럼 밀도(ASD; acceleration spectral density)의 규격화된 입력 신호를 사용하여 랜덤 진동에 대한 확률적인 구조 응답을 도출한다. 단일 바닥 가진 입력 PSD에 대한 랜덤 진동 응답은 모드 중첩을 기반으로 식 (1)과 같이 기술된다^(11,12). 그리고 상대 변위의 분산은 식 (2)와 같이 계산되며 아인슈타인 표기법을 이용하여 모달 좌표계의 공분산 행렬에 대한 항으로 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

Table 2

Three-directional input values of acceleration spectral density

Fig. 4

Three-directional input acceleration spectral density

공분산 행렬은 식 (4)와 같이 계산된다. 랜덤 진동에 대한 등가 응력 평균 제곱 응답(equivalent stress mean square response)은 식 (5)와 같이 모달 응력 벡터와 공분산 행렬로 계산되며 연산자 [A]는 식 (6)과 같다.

최종적인 랜덤 진동에 대한 등가 응력 응답은 3-sigma 규칙을 따라 등가 응력의 RMS(root mean square) 값에 1, 2, 3을 곱하여 등가 응력 상한에 대한 보수적인 추정치를 산출한다.

예를 들어 랜덤 진동 해석의 3-sigma 등가 응력 결과는 계산된 값보다 작거나 같을 가능성이 99.73 %임을 나타낸다. 식 (5)를 통하여 랜덤 진동에 대한 구조물의 등가 응력 응답은 파워 스펙트럼 밀도 가진력과 구조물의 동특성 간의 상관관계로 결정됨을 알 수 있다.

2.3 공분산 행렬 계산 및 주요 모드 선별

2.2절 수송 진동 해석에서 랜덤 진동 응답은 입력으로 하는 파워 스펙트럼 밀도와 구조물의 동특성의 상관관계로 결정됨을 확인하였다. 따라서 해당 상관관계의 지표인 공분산 행렬을 계산하여 랜덤 진동 응답에 지배적인 영향을 미치는 대형 레이더의 고유 모드를 선별할 수 있다.

노면으로부터 전달되는 차량 진동에 대한 입력은 수직 방향, 수평 방향, 주행 방향 각각 총 세 방향의 독립적인 입력으로 주어지고 각 방향의 입력은 직교성을 만족하기 때문에 각 방향에 대한 공분산 행렬을 계산하였다. 각 방향별로 계산된 공분산 행렬에 대하여 식 (7)과 같이 정규화하여 공분산 비율(covariance ratio)을 계산하여 Fig. 5에 나타냈다.

Fig. 5

Calculated covariance ratio for all modes

수직 방향에 대한 공분산 비율의 대부분을 1차 모드가 차지하며 15차 모드 이하의 저주파수 고유 모드의 공분산 비율이 상대적으로 높다. 반면에, 수평 방향에 대한 공분산 비율은 약 30차 모드와 50차 모드 사이에서 높은 값을 나타내며, 상대적으로 고주파수 고유 모드인 100차 모드에서 150차 모드 사이에서도 공분산 비율이 일부 높게 나타난다. 마지막으로 주행 방향의 공분산 비율은 3차 모드에서 가장 높으며 약 140차 모드에서도 비교적 높은 값을 나타낸다. 계산된 공분산 비율이 높은 순서대로 고유 모드를 Table 3에 정리하였다.

Table 3

Main modes selected based on the calculated covariance ratio

Table 1과 Table 3을 비교하면 모드 해석을 통하여 유효 질량비를 기준으로 선정한 주요 모드와 공분산 비율을 기준으로 선정한 주요 모드는 일부 모드가 공통되지만 서로 다른 모드를 구조 응답에 지배적인 영향을 미칠 것으로 예상되는 주요 모드로 판별한다. 수직 방향에 대해서는 4개의 공통된 모드를 주요 모드로 선정하지만, 수평 방향 및 주행 방향에 대해서는 2개의 공통된 모드를 주요 모드로 선정하여 각 기준에 따라서 선정되는 주요 모드가 크게 상이하다. 그리고 공분산 비율을 기준으로 선정한 대형 레이더의 주요 모드가 상대적으로 저주파 대역의 저차 모드이다. 이는 공분산 비율을 계산할 때 입력으로 사용되는 파워 스펙트럼 밀도가 포함되기 때문이다. 3축 방향의 입력 파워 스펙트럼 밀도가 모두 40 Hz 이하의 저주파 대역에서 높은 가진 수준을 나타내므로 저차 모드에 대한 공분산 비율 계산값이 높아 상대적으로 저차 모드가 주요 모드로 선정되는 것이다. 즉, 공분산 비율을 기준으로 주요 모드를 판별하는 것은 입력 신호의 주파수 특성을 고려하여 응답에 영향을 미칠 수 있는 고유 모드를 판별할 수 있다.

유효 질량비와 공분산 비율에 대한 기준으로 각각 선정된 5개의 주요 모드(Table 1, 3)를 중첩하여 랜덤 진동 해석을 수행하여 응답 차이를 Table 4에 비교하였다. 대형 레이더의 총 질량 대비 90 % 이상의 누적 유효 질량을 차지하도록 763개의 모드를 중첩하여 랜덤 진동 해석한 결과를 reference로 하여 유효 질량을 기준으로 선별한 주요 모드 5개를 중첩하여 수직, 수평, 주행 방향으로 랜덤 진동 해석을 수행한 결과는 각각 9.87 %, 31.2 %, 35.9 %의 오차를 나타낸다. 반면, 공분산 비율을 기준으로 선별한 주요 모드 5개를 중첩하여 수직, 수평, 주행 방향으로 랜덤 진동 해석을 수행한 결과의 오차는 각각 0.823 %, 11.6 %, 7.08 %로 상대적으로 정확한 해석 결과를 나타낸다. 수직 방향의 경우에는 유효 질량 기준과 공분산 비율 기준으로 선별된 주요 모드가 4개의 공통된 모드를 포함하기 때문에 랜덤 진동 해석 결과 차이가 상대적으로 낮다. 하지만 수평 및 주행 방향의 경우에는 각각 2개의 공통된 모드를 포함하고 유효 질량을 기준으로 선별된 주요 모드는 공분산 비율이 높은 고유 모드를 포함하지 않는다. 따라서 수평 및 주행 방향 랜덤 진동 해석 결과 차이가 크게 나타난다. 그리고 공분산 비율을 기준으로 수직 및 주행 방향에 대하여 선정한 주요 모드는 5개의 고유 모드만으로도 공분산 비율이 0.07수준으로 떨어져 응답에 지배적인 영향을 미치는 고유 모드를 대부분 포함한다. 하지만 수평 방향의 경우에는 5개의 고유 모드만으로는 공분산 비율이 0.37의 높은 수준이다. 즉, 수평 방향의 경우에는 응답에 영향을 미치는 고유 모드가 더 존재하며 이러한 이유로 수평 방향의 랜덤 진동 해석 결과의 오차가 11.6 %로 수직 및 주행 방향의 해석 결과의 오차보다 높은 수준으로 나타난다.

Table 4

Random vibration analysis results by mode super-positioning the main modes selected based on the effective mass of modal analysis and the calculated covariance ratio

이와 같이 공분산 비율을 기준으로 주요 모드를 선정하고 중첩한 해석 결과가 유효 질량을 기준으로 주요 모드를 선정하고 중첩한 해석 결과에 비하여 상대적으로 정확하다. 이는 공분산 행렬을 계산할 때, 각 고유 모드의 유효 질량뿐만 아니라 입력 성분이 응답에 기여하는 정도를 함께 고려하기 때문이다. 따라서 공분산 비율을 기준으로 주요 모드를 선별하고 모드 중첩하여 랜덤 진동 응답을 도출하면 상대적으로 높은 정확성을 나타내는 해석 결과를 도출할 수 있다.

2.4 수송 진동 내구성 분석

공분산 비율을 기준으로 대형 레이더 탑재 차량의 수직 방향, 수평 방향, 주행 방향에 대하여 각각 5개의 주요 모드를 모두 포함할 수 있도록 143.61 Hz의 144차 모드까지 모드 중첩하여 수송 진동 해석을 수행하였다. 3축 방향에 대하여 동시에 파워 스펙트럼 밀도를 입력하여 랜덤 진동 해석을 수행하였고 대형 레이더에 대하여 수송 진동 내구성 분석을 수행하기 위하여 안전 여유도(M.S.; margin of safety)를 계산하였다. 안전 여유도는 식 (8)과 같이 대형 레이더 구조물 재료의 피로 한도 대비 작용하는 응력의 비율로 계산되며 안전 여유도가 0보다 크면 구조물이 안전한 것으로 판단할 수 있다. 이때 대형 레이더 구조물의 재료는 aluminum 6061이고 S-N 선도에서 10⁷사이클의 반복하중에 대한 피로 강도 값을 피로 한도로 이용하였다⁽¹³⁾.

안전 여유도를 계산할 때 필요한 안전계수(factor of safety)는 구조물에 작용하는 하중의 불확실성을 고려하여 안전율 1.50을 사용하였다⁽¹⁴⁾. 대형 레이더의 모든 부재에 작용하는 최대 등가 응력을 기준으로 안전 여유도를 계산하였고, Fig. 6에 계산된 안전 여유도의 분포를 나타냈다. 대형 레이더가 트레일러에 고정되는 위치인 사이드 블록과 부재가 연결되는 접합부에서 가장 낮은 안전 여유도가 계산되었다. 사이드 블록과 부재가 연결되는 접합부의 안전 여유도 최솟값은 0.14331이고 모든 부재에 대하여 안전 여유도가 0보다 높은 값으로 계산되었다. 따라서 수송 진동 환경에서 대형 레이더가 안전한 것으로 판단할 수 있다.

Fig. 6

Margin of safety distribution of large radar