오목 멤브레인의 저차 고유치 미 추출 문제 극복을 위한 분할 영역법 기반 무차원동영향함수법 개발: 제3부(허위 고유치 제거 방안 및 검증)

1. 서 론

무차원동영향함수법(non-dimensional dynamic influence function method, NDIF법)은 구조물의 자유진동 해석에서 고정밀도의 고유치를 적은 계산량으로 추출할 수 있는 해석 기법으로, 유한요소법(finite element method)이나 경계요소법(boundary element method)에 비해 높은 효율성을 제공한다⁽¹⁾. NDIF법은 해석 대상의 경계(boundary)만을 절점(node)으로 이산화하고 절점 간 보간 함수를 사용하지 않는 특징을 가지며, 이로 인해 수치 오차가 줄어들고 적은 절점 수로도 높은 정확도를 얻을 수 있다는 장점을 가진다⁽¹⁾.

그러나 기존 NDIF법은 절점 수가 증가할수록 저차 고유치가 추출되지 않는 문제가 나타났다. 이를 해결하기 위해 최근 제안된 개선된 NDIF 방법은 볼록 형상 멤브레인과 평판, 음향 공동 등에 대해 저차 고유치 미추출 문제를 극복할 수 있음을 보였다^(2~4). 하지만 오목 형상 멤브레인의 경우에는 형상을 여러 개의 볼록 영역으로 분할하여 해석하는 영역 분할법(sub-domain method)을 사용해야 하므로, 기존 개선된 방법이 그대로 적용되기 어렵다.

이에 이 연구의 제1부에서는 영역 분할법 기반 NDIF 이론을 새롭게 정립하여, 오목 멤브레인에서도 절점 수와 무관하게 저차 고유치를 안정적으로 추출할 수 있는 방법을 제시하였다. 이어서 제2부에서는 V형, L형, 오목 원형 등 다양한 형상을 가진 멤브레인에 대한 예제 연구를 통해, 제안된 방법이 FEM 결과와 잘 일치함을 확인함으로써 이론의 정확성과 타당성을 검증하였다^(5,6).

그러나 최근의 추가적인 연구 과정에서, 오목 멤브레인의 형상이 비대칭(asymmetric)인 경우 또 다른 한계가 나타났다. 즉, 고유치 해석 과정에서 물리적 의미를 갖지 않는 허위 고유치(spurious eigenvalue)가 발생하는 문제가 확인되었다. 이러한 허위 고유치는 수치 계산 과정에서 나타나는 비물리적 산출값으로, FEM이나 다른 이론 해석과 비교했을 때 실제로 존재하지 않는 값이다. 허위 고유치가 포함되면 진동 해석 결과의 신뢰도가 크게 저하되고, 나아가 설계 과정에서 잘못된 결론을 초래할 수 있으므로 반드시 제거되어야 한다.

따라서 이 논문(제3부)에서는 먼저, 엄밀해(exact solution)를 가지는 직사각형 멤브레인을 의도적으로 비대칭적으로 두 개의 영역으로 분할하여 2영역 분할법 기반 NDIF를 적용했을 때 발생하는 허위 고유치 문제를 집중적으로 고찰한다. 직사각형 멤브레인은 정확한 해석해가 존재하므로, 허위 고유치의 발생 원인을 명확히 파악하는 데 적합하다. 직사각형 멤브레인에 대한 고찰을 통해 허위 고유치를 제거할 수 있는 실용적이고 안정적인 계산 방안을 새롭게 제안하며, 마지막으로 이 방안을 비대칭 형상의 임의 오목 멤브레인에 적용하여 제안된 방법의 타당성과 정확성을 검증한다.

결국, 이 연구의 제3부는 1부에서 제시된 이론 정립과 2부의 예제 검증을 넘어, 실제 공학적 활용에서 중요한 허위 고유치 문제 해결을 다룸으로써, 오목 멤브레인의 고유치 해석을 위한 영역 분할법 기반 NDIF의 신뢰성과 적용 범위를 한층 더 확장하는 것을 목표로 한다.

2. 허위 고유치 발생 원인 고찰

오목 멤브레인의 고정밀도 고유치 해석을 위해 개발된 분할 영역법 기반 무차원동영향함수법에서는 시스템 행렬 $$ \mathbf{S}\mathbf{M}\left(\wedge \right)$$이 특이치를 가지는 주파수 파라미터를 찾는 방법으로 고유치를 추출한다^(1,5). 이를 위해 식 (1)과 같은 시스템 행렬 판별식을 사용한다.

여기서 축약 시스템 행렬 $$ \mathbf{S}\mathbf{M}\left(\wedge \right)$$은 식 (2)와 같으며 $$ S$$는 $$ \mathbf{S}\mathbf{M}\left(\wedge \right)$$의 크기이다. 식 (1)에 대한 자세한 설명은 논문 1부를 참고하면 된다⁽⁵⁾.

이 논문에서는 허위 고유치 발생 원인을 고찰한 후에 허위 고유치 제거 방안을 제안하고자 한다. 그래서 Fig. 1과 같은 가로 1.2 m, 세로 0.9 m 직사각 멤브레인이 고려된다. 이 직사각형 멤브레인은 41개 절점을 사용하여 두 가지 방법으로 분할한다. Fig. 1(a)는 멤브레인을 좌우 대칭적으로, Fig. 1(b)는 좌우 비대칭적으로 분할한 경우이다. 이 두 멤브레인에 식 (1)을 적용하여 판별식 곡선을 그려 보면 Fig. 2와 같다. Fig. 2에서 점선 판별식 곡선은 대칭 분할한 경우(Fig. 1(a))이고 실선 판별식 곡선은 비대칭 분할한 경우이다. 이 두 곡선의 저주파수 영역에서는 공통적으로 시스템 행렬의 판별식 값이 발산하는 것이 보이는데 이는 절점 수와 관련되는 것으로 이전 연구에서 확인되었다^(2~4).

Fig. 2에서 두 곡선의 차이점을 살펴보면, 비대칭 분할의 경우 주파수 파라미터 값 9와 주파수 파라미터 값 10 사이(동그라미 표시된 부분)에서 2개의 허위 고유치 9.392와 9.631이 발생했음을 확인할 수 있다. 여기서 허위 고유치 9.392는 비대칭 분할 멤브레인의 영역 $$ {\mathrm{D}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$$와 같은 형상을 가진 멤브레인(가로 0.5 m, 세로 0.9 m)의 두 번째 고유치와 일치하고, 허위고유치 9.631은 영역 $$ {\mathrm{D}}_{\mathrm{I}}$$과 같은 형상을 가진 멤브레인(가로 0.7 m, 세로 0.9 m)의 세번째 고유치와 일치하는 것으로 Table 1로부터 확인된다⁽⁷⁾. 결과적으로 멤브레인의 내부 영역을 비대칭적으로 분할을 하면, 분할된 내부 영역들과 같은 형상을 가진 멤브레인들의 고유치들과 일치하는 허위고유치가 발생하게 된다고 말할 수 있다.

Fig. 1

Symmetrically and asymmetrically partitioned rectangular membranes with 45 nodes, respectively

Fig. 2

Determinant curves of the symmetrically and asymmetrically partitioned rectangular membranes plotted by the original NDIF method using Eq. (1)

Table 1

Eigenvalues for domains DI and DII of the asymmetrically partitioned rectangular membrane obtained by the exact solution

다음으로 논문 1부에서 제안한 식 (3)을 사용하여 Fig. 2에서 나타난 시스템 행렬의 저주파수 발산 현상을 먼저 제거해서 저주파수 고유치들도 구해보자.

여기서, $$ \mathbf{T}\mathbf{M}$$은 식 (4)와 같은 비축약 시스템 행렬이며 $$ R_T\left(\wedge \right)$$는 $$ \mathbf{T}\mathbf{M}$$의 랭크이다. 식 (3)에 대한 자세한 설명은 논문 1부를 참고하면 된다.

식 (3)을 이용하여 Fig. 1(b)의 비대칭 분할 사각 멤브레인에 대한 판별식 곡선을 그려보면 Fig. 3과 같으며 저주파수 영역에서의 발산 현상이 제거되었음이 보여진다. 이 판별식 곡선으로부터 추출된 고유치(허위 고유치 포함)들은 Table 2의 두 번째 열에 정리하였다. 이들 고유치들을 엄밀해(세 번째 열)와 비교해보면 괄호친 5개 고유치 S⁽¹⁾ ~ S⁽⁵⁾가 허위 고유치임을 알 수 있다. 이 허위 고유치들이 어떤 원인에 의해 발생되었는지 재확인하기 위해, 분할된 영역들($$ {\mathrm{D}}_{\mathrm{I}}$$, $$ {\mathrm{D}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$$)과 같은 형상을 가진 두 멤브레인에 대한 고유치들을 요약한 Table 1을 활용한다. Table 2의 괄호친 허위고유치들을 Table 1의 고유치들과 비교해보면, S⁽¹⁾, S⁽³⁾, S⁽⁵⁾는 영역 $$ {\mathrm{D}}_{\mathrm{I}}$$과 같은 형상을 가진 멤브레인의 1차 ~ 3차 고유치에 해당되며, S⁽²⁾, S⁽⁴⁾는 영역 $$ {\mathrm{D}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$$과 같은 형상을 가진 멤브레인의 1차 ~ 2차 고유치에 해당됨이 확인된다. 결과적으로, 멤브레인이 비대칭적으로 분할된 경우에는, 분할된 각각의 영역과 같은 형상을 가진 멤브레인들의 고유치가 허위 고유치로 나타나게 된다는 사실을 확인하였다⁽⁷⁾.

Fig. 3

Determinant curve of the asymmetrically partitioned rectangular membrane plotted by NDIF method using Eq. (3)

Table 2

Eigenvalues of the asymmetrically partitioned rectangular membrane obtained by NDIF method using Eq. (3), the exact solution, and FEM(ANSYS)

이제 Fig. 3의 판별식 곡선에서 나타난 허위 고유치를 제거하기 위한 방법을 제안하고자 한다. Fig. 3의 판별식 곡선에 의해 구해지는 고유치(허위 고유치 포함)들은 식 (3)의 근에 해당되므로 식 (5)를 만족한다.

식 (5)의 근들은 Table 1과 Table 2에서 확인한 바와 같이 직사각 멤브레인의 고유치, 분할 영역 $$ {\mathrm{D}}_{\mathrm{I}}$$의 고유치(허위 고유치), 분할 영역 $$ {\mathrm{D}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$$의 고유치(허위 고유치)로 구성되므로, 식 (5)는 식 (6)와 같이 변형될 수 있다.

여기서, $$ {\mathbf{T}\mathbf{M}}_{\text{net}}$$은 허위 고유치를 제외한 진짜 고유치만을 제공하는 시스템 행렬을 의미하며, $$ {\mathbf{S}\mathbf{M}}_{\mathrm{I}}$$과 $$ {\mathbf{S}\mathbf{M}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$$는 각각 영역 $$ {\mathrm{D}}_{\mathrm{I}}$$과 $$ {\mathrm{D}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$$의 고유치들을 제공하는 시스템 행렬을 의미한다. 식 (6)로부터 식 (7)을 얻을 수 있으며, 식 (7)의 우변의 식을 이용하여 판별식 곡선을 그리면 허위 고유치가 제거된 진짜 고유치를 구할 수 있을 것으로 예상된다.

Fig. 4는 식 (7)을 이용하여 그린 판별식 곡선이다. Fig. 3의 판별식 곡선과는 차별적으로 허위 고유치들이 모두 제거 되었음을 확인할 수 있다. 비대칭 분할 사각 멤브레인의 진짜 고유치 값을 판별식 곡선에 직접 표기하였으며, 이들 고유치 값들은 단지 41개의 절점을 사용했음에도 Table 1의 엄밀해와 정확히 일치한다. 반면에 1089개 절점을 사용한 FEM 결과는 엄밀해와 오차가 존재함도 확인할 수 있으며, 이를 근거로 제안된 방법은(식 (7)) FEM 보다 더 정확한 해를 제공한다고 결론 지을 수 있다.

Fig. 4

Determinant curve of the asymmetrically partitioned rectangular membrane plotted by the proposed method using Eq. (7)

3. 예제 연구

이 논문에서 제안한 식 (7)이 임의 형상 비대칭 오목 멤브레인에도 유효성을 가지는 지 확인하기 위하여 Fig. 5와 같은 비대칭 V형 오목 멤브레인이 고려 된다. 먼저 이 멤브레인에 대한 FEM 고유치 해석(1964개 절점)을 수행하여 저차 7개의 고유치를 추출하였으며 그 결과는 Table 3의 두 번째 열에 제시하였다.

Fig. 5

Asymmetric V-shaped membrane discretized with 44 nodes

Table 3

Eigenvalues of the asymmetric V-shaped membrane obtained by FEM (ANSYS), NDIF method Eq. (1), Eq. (3) and the proposed method using Eq. (7)

이제 이 멤브레인을 Fig. 5와 같이 2개의 영역으로 비대칭 분할한 후에 44개의 절점으로 이산화 하였다. 그리고 기존 방법인 식 (1)을 적용하여 판별식 곡선을 그리면 Fig. 6과 같다. 이 판별식 곡선을 살펴 보면, 저주파수 영역에서 발산하는 것이 보이며 고주파수 영역에서는 3개의 고유치(10.64, 11.40, 11.67)가 발견된다. 이 고유치들은 Table 3의 세 번째 열에 정리되었으며, 이들을 두 번째 열의 FEM 고유치와 비교해 보면 11.40과 11.67은 각각 6차, 7차 고유치이고 10.64는 허위 고유치임을 알 수 있다. 허위 고유치 10.64는 Fig. 5에서 분할된 두 영역과 같은 형상을 가지는 멤브레인들의 고유치 중의 하나일 것이라 추정할 수 있을 것이다.

Fig. 6

Determinant curve of the asymmetric V-shaped membrane plotted by the original NDIF method using Eq. (1)

이제 저주파수 영역에서의 발산 현상을 제거하기 위해 논문 1부에서 개발된 식 (3)을 사용하여 판별식 곡선을 그려보면 Fig. 7과 같다. 이 판별식 곡선으로부터 총 12개의 고유치(허위 고유치 포함)를 추출하여 Table 3의 네 번째 열에 정리하였다. 이들 고유치들을 FEM 고유치와 비교해보면, Λ⁽¹⁾ ~ Λ⁽⁷⁾은 진짜 고유치이며 S⁽¹⁾ ~ S⁽⁵⁾는 허위 고유치임을 알 수 있다.

Fig. 7

Determinant curve of the asymmetric V-shaped membrane plotted by NDIF method using Eq. (3)

마지막으로 허위 고유치 S⁽¹⁾ ~ S⁽⁵⁾를 제거하기 위해 이 논문에서 제안한 식 (7)을 사용하여 판별식 곡선을 그려보면 Fig. 8과 같다. 이 판별식 곡선에서는 허위 고유치가 성공적으로 제거되었으며 진짜 고유치 7개만이 정확히 추출되었음을 확인할 수 있다. 추출된 진짜 고유치들은 Table 3의 다섯 번째 열에 요약하였으며, 단지 44개의 절점만을 사용했음에도 이들 고유치들은 1964개의 많은 절점을 사용한 FEM 결과와 오차가 거의 없음을 확인할 수 있다. 결과적으로 이 논문에서 제안된 방법은 판별식 곡선의 저주파수 발산을 방지함과 동시에 허위 고유치를 제외한 고정밀도 진짜 고유치를 제공한다고 말할 수 있다. 참고로 멤브레인의 모드 형상을 추출하는 방법에 대한 연구는 후속 논문에서 수행될 예정이다.

Fig. 8

Determinant curve of the asymmetric V-shaped membrane plotted by the proposed method using Eq. (7)

4. 결 론

이 논문(제3부)에서는 1부 · 2부에서 제안된 영역 분할법 기반 NDIF 방법이 비대칭 형상의 오목 멤브레인에 적용될 경우 발생하는 허위 고유치(spurious eigenvalue) 문제를 다루었다. 우선, 엄밀해가 존재하는 직사각형 멤브레인을 비대칭적으로 2개의 영역으로 분할하여, 허위 고유치가 진짜 고유치와 뒤섞여 발생하는 현상과 원인을 규명하였다. 이를 바탕으로 허위 고유치를 제거할 수 있는 실용적인 방안을 제안하였다.

제안된 방법의 타당성을 검증하기 위해 임의 형상 비대칭 V형 오목 멤브레인에 대한 예제 연구가 수행되었다. 그 결과, 기존 NDIF 방법에서는 허위 고유치가 포함되어 정확한 진짜 고유치만을 제공하지 못하였으나, 제안된 방법을 적용한 경우 허위 고유치가 효과적으로 제거되고, FEM 해석 결과와 비교했을 때 높은 일치도를 보였다. 이는 제안된 방법이 비대칭 형상을 포함하는 오목 멤브레인 해석에서도 안정적이고 신뢰성 있는 고유치 추출을 보장함을 의미한다.

따라서 이 연구에서 제안된 허위 고유치 제거 방안은 영역 분할법 기반 NDIF 방법의 적용 범위를 확장시키는 중요한 진전이며, 향후 보다 복잡한 비대칭 형상이나 다영역 분할법(multi-domain method)에도 적용 가능할 것으로 기대된다.

Acknowledgments

이 연구는 한성대학교 교내학술연구비 지원 과제임.

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