슬로싱의 해석해는 일반적으로 비점성 유동(inviscid flow)을 가정하며, 용기 형상에 따른 자유 경계면과 용기의 경계조건을 이용해 속도 포텐셜(velocity potential)과 자유 경계면의 모드 주파수(mode frequency)를 구한다. 속도 포텐셜과 모드 주파수를 구하면 특정한 가진에 대한 압력 분포를 계산해 슬로싱에 의한 힘과 모멘트를 구할 수 있다.

슬로싱의 해석해를 구하면 자유 경계면의 변위나 시간에 따른 유체의 전체적 형상을 구할 수 있다. 그러나 단지 슬로싱에 의한 힘과 모멘트를 구하는 것이 목적이라면 슬로싱 해석해를 구하는 것은 계산 시간 측면에서 비효율적일 수 있다. 그 점에서, 슬로싱에 의한 힘과 모멘트와 동일한 크기의 힘과 모멘트를 발생시키는 등가 기계 모델이 제안되었다⁽⁶⁾.

Fig. 1은 대표적 등가 기계 모델 중 하나인 질량-스프링 모델(mass-spring model)이다⁽⁹⁾. 질량-스프링 등가 기계 모델은 크게 스프링과 이동 질량(moving mass), 그리고 고정 질량(fixed mass)으로 구성된다. 등가 기계 모델은 슬로싱 모사를 위해 식 (1)과 같은 조건들을 만족해야 한다⁽⁹⁾.

등가 기계 모델은 슬로싱의 감쇠를 상대적으로 쉽게 표현할 수 있다. 슬로싱의 감쇠비는 일반적으로 배플(baffle)을 포함하더라도 5 %를 넘지 않는다고 알려져 있다⁽¹⁰⁾. 이렇듯, 감쇠가 크지 않기 때문에 등가 기계 모델에서는 이를 선형 댐퍼로 모사한다. 유체는 연속체이기 때문에 슬로싱의 모드 또한 무수히 많이 존재한다. 그에 비해 등가 기계 모델은 이동 질량의 개수(N)만큼 슬로싱 모드를 표현할 수 있다. 다만 슬로싱의 고차 모드는 1차 모드(fundamental mode)에 비해 힘과 모멘트 측면에서는 그 영향이 미미하므로, 일반적으로 1개의 이동 질량으로도 유의미한 결과를 얻을 수 있다⁽¹¹⁾.

위성체 연료탱크 내부의 슬로싱을 다룰 때 궤도 상에서 운용되는 위성체 상의 중력은 지상보다 낮다는 점을 고려해야 한다. 이는 고중력(high-gravity) 환경에서와 저중력(low-gravity) 환경에서의 슬로싱 거동이 다소 다르기 때문인데, 이러한 고중력 환경과 저중력 환경을 구분하는 기준으로 본드 수(bond number)를 이용한다. 본드 수는 중력과 표면장력의 비를 나타내는 무차원 수로 식 (2)와 같이 정의한다.

식 (2)의 ρ는 유체 밀도, g는 중력가속도, R₀는 용기 반지름, σ는 표면장력을 의미한다. 본드 수 Bo > 100인 경우를 고중력 환경, 그보다 작은 경우를 저중력 환경으로 분류한다. 저중력 환경의 슬로싱에서는 표면장력의 영향을 고려해야 하며, 그에 따라 슬로싱의 모드 주파수도 변한다.

저중력 환경에서 원통형 용기의 횡방향 슬로싱의 1차 모드 주파수는 식 (3)과 같은 관계를 갖는 것으로 알려져 있다⁽¹²⁾.

본드 수가 100보다 크거나 100보다 조금 작은 경우에는 표면장력의 영향을 고려하지 않은 고중력 등가 기계 모델을 사용해도 수치상 큰 차이가 없으나, 100보다 확연히 작은 본드 수에서는 표면장력의 영향을 고려한 등가 기계 모델이 필요하다. 이에 대해 Dodge. et al.⁽¹¹⁾은 원통형 용기에 대해 본드 수 10<Bo<100의 저중력 환경에서의 표면장력의 영향으로 인한 자유 경계면의 곡률 변화와 유체와 용기 사이의 접촉각(contact angle)을 고려한 등가 기계 모델을 정립하고 실험적으로 검증한 바 있다. 동일한 양의 유체를 기준으로, 저중력 환경에서는 슬로싱에 의해 용기에 가해지는 힘과 모멘트가 고중력 환경에 비해 줄어들게 되는데, 이것은 유체가 저중력 환경에서 중력의 영향 보다 표면장력의 영향을 크게 받는 것에 의한 결과로, 전체 유체 중 더 많은 유체가 용기의 움직임을 따라가기 때문에 나타나는 결과이다. 이는 같은 크기의 용기와 같은 양의 유체일 때 등가 기계 모델의 이동 질량에 더 적은 질량이 배정되는 것으로 이해할 수 있다. Dodge. et al.의 연구에서는, Bo=0의 저중력 환경에서 등가 기계 모델의 이동 질량이 고중력 환경에서보다 약 10 % 정도 줄어든 결과를 보여주었다.

이 연구에서는, MSC사의 상용 동역학 해석 소프트웨어인 Adams를 이용하여 등가 기계 모델을 포함하는 전개형 SAR 안테나를 탑재한 위성체의 기동 및 안테나 반사판의 진동 해석을 수행하였다. 전개형 위성체의 형상은 Fig. 2와 같다.

Fig. 2 
SAR satellite model with E.M.M

해석과정에서 SAR 안테나를 탑재한 위성체를 500 kg급으로 가정하였으며, 위성체의 크기를 고려한 원통형 연료탱크를 상정하였다. 위성의 주축 관성모멘트(principal moment of inertia) 값과 연료 탱크의 제원은 다음과 같다.

궤도 상 중력을 지상 대비 약 0.5 %인 0.05 m/s²로 가정하고 액체 연료를 단일 추진제로 주로 사용되는⁽¹³⁾ 하이드라진(hydrazine)으로 가정하면 이 경우의 본드 수는 약 72.8로 저중력 환경에 해당한다.

위성 기동에 의한 슬로싱 현상을 모사하기 위하여, 원통형 연료탱크에 저중력 환경을 고려한 등가 기계 모델을 수립하였으며, Fig. 2에 나타낸 바와 같이 spring-damper와 translational joint를 이용하여 해석 모델을 구축하였다.

이 해석에 사용된 전개형 SAR 안테나는 총 36개 반사판으로 구성되어 있으며 변위 측정을 위해, 각 반사판 당 12개의 측정점(measuring point)을 Fig. 3와 같이 지정하였다.

Fig. 3 
SAR antenna panels