양강성(positive stiffness)을 갖는 일반적인 스프링은 Fig. 1과 같이 외력이 작용하면 외력과 동일한 방향으로 변위가 발생하고, 변위에 의한 스프링의 내력은 변위를 복원하려는 방향으로 작용하며, 해당 변위에서 내력과 외력은 평형을 이룬다. Fig. 1의 외력과 변위의 관계 그래프에서 기울기가 강성(stiffness)을 나타내며, 기울기는 양(positive)의 값을 갖는다.

Fig. 1 
Relationship between the external force and the displacement of positive stiffness

Fig. 2는 음강성을 구현한 형상이다. 두 개의 바(bar)가 힌지로 연결되어 있고, 바(bar) 끝단에 압축방향으로 힘이 작용하고 있다. 외력(F)이 작용하지 않는 평형상태는 바(bar)가 일직선으로 놓인 상태이다. 변위가 발생하면 변위에 따른 내력은 변위를 확대시키려는 방향으로 작용하며, 해당 변위에서 내력과 평형을 이루기 위한 외력은 변위의 방향과 반대로 작용한다. 이러한 외력과 변위의 관계를 그래프에서 기울기, 즉 강성(stiffness)은 음(negative)의 값을 갖는다.

Fig. 2 
Relationship between the external force and the displacement of negative stiffness

음강성을 이용한 기존 진동절연방법으로 QZS(quasi zero stiffness)은 진동시스템에 양강성 스프링과 평행하게 음강성을 배치하여 전체 시스템의 고유진동수를 거의 0(zero)에 가깝게 만듦으로써 시스템의 전달률을 낮추어 진동절연을 구현하는 방법으로, 전체 시스템의 정적강성이 낮아지므로 외부의 추가적인 하중변화에 대한 시스템의 정적안정성이 취약하다는 단점이 있다.

TMD(tuned mass damper)의 진동절연 방법은 Fig. 3과 같이 기존 절연시스템의 절연 대상인 주질량(m)에, 부가질량(m_D), 스프링(k_p), 댐퍼(C_D)로 구성된 진동시스템을 추가하여 외력(f(t))에 의한 운동에너지를, 추가된 부가질량(m_D)의 운동에너지로 전환하여 주질량(m)의 진동을 절연하는 방법이다. 힘의 관점에서 살펴보면 주질량(m)에 가해지는 외력과 부가질량(m_D) 운동에 의해 주질량(m)에 전달되는 힘이 평형을 이루어 주질량(m)의 진동을 절연하게 된다.

Fig. 3 
TMD(tuned mass damper) system

Fig. 3의 TMD 시스템의 운동방정식은 식 (1), 식 (2)와 같이 유도된다.

여기에서 외력을 조화가진(harmonic excitation)으로 가정하면 외력 f(t)는 식 (3)으로 표현되며, X_ST는 외력에 의한 시스템의 정적 처짐을 의미한다. 시스템의 조화응답을 식 (4), 식 (5)로 표현할 수 있으며, X~, Y~는 일반적으로 복소수(complex)이다.

식 (1), 식 (2)에 식 (3), 식 (4), 식 (5)의 관계를 적용하여 정리하면 식 (6), 식 (7)을 얻으며, 식 (7)을 식 (6)에 대입하면 식 (8)을 얻는다.

식 (8)에서 TMD 시스템에 가해진 외력(kX_ST)은 주질량의 관성력(ω2mX~), 변위에 의한 스프링력(kX~), 부가질량의 관성력(ω2mDX~)과 평형을 이루며, 부가질량의 관성력을 통해 주질량의 변위 감소, 즉 절연의 효과를 얻을 수 있다.

TMD시스템의 외력에 의한 정적 처짐(X_ST)과 진동하중에 의한 변위 X~, Y~의 비, 즉 전달함수(transfer function)는 식 (6), 식 (7)을 이용하여 정리하면 식 (9)와 같이 얻을 수 있다.

무차원화된 변수를 이용하여 전달함수를 구하기 위하여 식 (10)과 같이 무차원 변수⁽⁴⁾를 정의하였다. 식 (10)을 적용하면 식 (9)는 식 (11)과 같이 표현된다.

Fig. 4는 식 (11)에서 정의된 T~XMT를 무차원 가진주파수 q의 함수로 나타낸 그래프이다. TMD 시스템의 최대 전달율은 부가질량비(μ)의 값이 클수록 전달률(T~XMT)의 값이 작아진다. 즉, TMD 시스템에서 진동절연 향상을 위해서는 부가질량(m_D)의 크기를 증가시켜야 한다. Fig. 4에서 전달함수 T~XMT는 전체 그래프의 통일성을 위해 T~XM으로 나타내었다.

Fig. 4 
T_XM vs. q for 4 different μ’s

KDamper 시스템은 Fig. 5와 같이 Fig. 3의 TMD 시스템에 음강성 요소(k_N)를 추가 배치한 형태이다. 전체 시스템 강성(k_eq)값은 음강성(k_N)과 기존 강성 값(k_p, k)의 함수로, 음강성과 기존 스프링의 직렬, 병렬 관계에 의해 식 (12)와 같이 정리된다.

Fig. 5 
Configuration of a KDamper system

Fig. 5에서 m, m_D에 대하여 각각 뉴턴의 운동법칙을 적용하여 유도된 운동방정식은 아래와 같다.

식 (13), 식 (14)에 식 (3) ~ (5)를 적용하면 식 (15), 식 (16)이 유도되며, 식 (16)을 식 (15)에 대입하여 정리하면 식 (17)을 얻을 수 있다.

KDamper의 운동방정식 식 (17)을 TMD의 운동방정식 식 (8)과 비교하여 살펴보면, 식 (17)에는 음강성에 의한 스프링력(kNY~)이 추가되어 있다. 여기서 k_N은 음의 값을 가지므로 음강성에 의한 스프링력(kNY~)과 부가질량에 의한 관성력(-ω2mDY~)은 동일한 위상을 갖는다. TMD 시스템의 경우 절연효과 향상을 위하여 부가질량(m_D)의 크기 증가를 통한 부가질량의 관성력 증가가 필요하지만 KDamper의 경우 부가질량(m_D)의 크기를 증가시키지 않고 음강성의 스프링력을 통해 TMD 시스템의 부가질량 관성력 증가와 같은 절연효과를 달성할 수 있다.

KDamper의 외력에 의한 정적처짐(X_ST)과 진동변위 X~, Y~의 비, 즉 전달함수(transfer function)는 식 (18), 식 (19)과 같으며 전달함수 식에서 k_D는 식 (20)으로 정의된다.

식 (21)과 같이 무차원 변수(κ)를 정의하면, k_N이 음수이므로 κ는 항상 양의 값을 갖으며 κ값의 증가는 음강성(k_N)의 증가를 의미한다.

식 (10)에 정의된 변수들과 식 (21)의 κ로 식 (18), 식 (19)을 정리하면 식 (22), 식 (23)과 같다.

Figs. 6 ~ 14 그래프에서 TMD(T~XMT)와 KDamper 시스템(T~XMT)의 전달 함수 크기 비교를 위해서, 통합적으로(T~XM)으로 나타내었다.

Figs. 6 ~ 7은 부가질량비(μ)와 음강성비(κ)에 따른 KDamper 시스템의 전달함수(T~XMT)를 나타낸다. TMD 시스템과 마찬가지로 부가질량비(μ)가 증가할수록 절달률이 감소, 즉 절연효과가 향상되며, 동일한 부가질량비(μ)를 갖는 경우 음강성비(κ)가 클수록 절연효과가 향상됨을 알 수 있다.

Fig. 6 
Transfer function T_XM vs. q for different mass ratios (κ = 0.5)

Fig. 7 
Transfer function T_XM vs. q for different mass ratios (κ = 1.0)

KDamper는 TMD에 음강성을 추가함으로써, 진동절연효과 향상을 위해 부가질량을 증가시켜야 하는 TMD의 단점을 극복하고 음강성의 크기를 증가시킴으로써 진동절연을 효과적으로 달성할 수 있다.