이 구동계의 운동에너지와 위치에너지의 합 E는 식 (1)과 같다.

여기서 J1=JmJi=Ji,1+Ni-12Ji-1,2,i=2,3,...,n이다.

식 (1)에서 계의 운동방정식은 식 (2)와 같다.

여기서 [J]는 관성행렬, [K]는 강성행렬이며 [B]는 입력벡터, x~는 변수벡터로 다음과 같다.

여기서 diag[.....]는 대각행렬(diagonal matrix), 0~i는 요소가 모두 0인 i-차 행벡터(row vector)이다. 식 (3)의 강성행렬을 구성하는 행벡터가 식 (4)의 관계를 갖게 된다.

그 결과 이 시스템이 반한정계(semi-definite system)임을 알 수 있으며, 따라서 고유치가 0인 모드, 즉 모터-기어트레인의 각 기어-부하가 정해진 기어비의 관계 만족하며 상대적 진동이 없이 회전하는 모드가 존재함을 확인할 수 있다. 이 모드의 고유벡터(eigen-vector)는 다음과 같다.

여기서 N=N₁N₂……N_n-1N_n이다.

식 (2)의 진동계에서 모드해석을 통해 고유치(eigen-value)와 해당 고유벡터 및 고유벡터로 구성되는 고유행렬(modal matrix)을 구할 수 있다. 단, 모든 고유치는 서로 다른 것으로 가정한다. 이 가정은 실제 진동계에서 일반적인 가정이다.

고유치를 λ_i, i = 1, 2, .., n+1라 하고, 고유치의 순서는 λ₁ < λ₂ < ..... < λ_n+1으로 가정한다. 단, λ₁ = 0.

각 고유치에 해당하는 질량 정규화(normalized)된 고유벡터를 u~i, i = 1, 2, .., n+1라 하고, 이 고유벡터로 구성된 고유행렬을 식 (6)으로 정의된 [U]라 하자.

여기서 u~iT=ui,1ui,2…ui,nui,n+1는 주좌표계이다.

식 (6)의 고유행렬을 이용하여 식 (7)과 같이 좌표변환을 할 수 있다.

여기서 q~T=q1q2 ⋯qn+1

식 (2)와 (7)의 관계를 적용하여 다시 쓰면 식 (8)을 얻을 수 있다.

고유행렬의 직교성 및 정규화 특성에 따라 식 (8)은 연성이 없는 각 모드의 독립된 n+1개의 운동방정식을 얻게 되고, 이를 라프라스 변환하면 다음으로 정리된다.

여기서 Q_i(s)와 T_m(s)는 각각 q_i(t)와 T_m(t)의 라프라스 변환이다.

Fig. 1의 구동계는 n+1개의 진동모드가 존재하므로 이를 무시하고 부하를 제어할 경우 심한 진동이 발생하거나 불안정해질 수 있다. 따라서 부하의 운동 제어를 위해 기어트레인의 강성에 의한 진동 안정화가 필요하다.

이 연구에서는 구동계의 진동 안정화를 위해 식 (10)과 같이 모터와 부하의 상대적인 운동만을 이용하여 모터의 구동 토크를 제어하는 경우를 고려한다.

여기서 N_c(s)/D_c(s)는 제어기 전달함수이며, N_c(s)와 D_c(s)는 각각 일계수다항식(monic polynomial)이고, μ는 제어기 이득, s는 라프라스 연산자이다.

식 (10)의 제어기는 모터와 부하의 회전각 또는 각속도를 측정하여 되먹임하는 구조이다. 기어트레인 내부 기어의 회전각이나 각속도를 측정하여 제어에 적용하는 것은 실제적으로 제한이 많은 데 비해, 이 제어기는 모터와 부하의 운동만을 측정하면 되므로 구현이 용이하다.

제어기에서 부하의 회전각에 총기어비 N을 곱한 이유는 기하학적 모드(모터-기어열-부하가 정해진 기어비로 상대적 진동 없이 회전하는 고유진동수가 0인 운동 모드, 첫 번째 모드)는 제어에 영향을 받지 않도록 하기 위함이다.

식 (9)와 (10)을 적용하여 식 (11)의 모터와 부하의 폐회로 응답을 구할 수 있으며, 이 때 폐회로의 특성방정식은 식 (12)와 같다.

여기서 W_i,1과 W_i,n+1은 다음과 같다.

정리 1. Fig. 1 또는 식 (2)의 운동방정식을 갖는 시스템에서 식 (10)의 제어를 적용할 경우 기하학적 모드를 제외한 폐회로 응답은 다음 식 (14)를 만족하면 제어이득 μ∈(0,μ_cr)의 범위에서 점근안정성(asymptotic stability)을 만족한다.

여기서 Re[*]는 복소수 *의 실수부를 의미하며, j=-1, μ_cr 은 0 < μ가 증가함에 따른 폐회로의 극궤적 중 허수축과 처음 교차하는 근궤적이 발생할 때의 μ값을 의미한다.

증명 1. 식 (12)의 폐회로 특성방정식에서 제어기 이득 μ가 미소값 Δμ를 가질 경우 1 < k-번째 폐회로 극점(±jω_k)이 미소 이동을 하게 되고, 이 미소 이동한 극점을 s_±k = ± jω_k + Δs_±k, ω_k > 0라 하면 특성방정식 식 (12)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 j=-1이다.

식 (15)에서 제어기 이득의 미소변화와 k-번째 폐회로 극점의 변화의 관계는 식 (16)과 같다.

식 (16.1)에서 Δs_+k와 Δs_-k는 실수축에 대칭이므로, 식 (16.1)은 (16.2)로 단순화할 수 있다.

따라서 폐회로 극점이 라프라스 평면의 좌평면으로 이동하여 안정화될 조건은 식 (14)와 같다.

식 (14)는 연속계에서의 안정성 조건⁽¹³⁾에 대응되는 이산계에서의 조건에 해당한다.

주 1.

μ_i,1 - Nμ_i,n+1 = 0을 만족하는 i-번째 모드는 제어에 의한 영향을 받지 않으므로 가제어성(controllability)을 만족하지 못한다. 식 (5)에서 μ_1,1 - Nμ_1,n+1 = 0이므로 첫 번째 모드는 가제어성을 만족하지 못하며, 폐회로 극점은 제어기 전달함수에 관계없이 원점에서 변화가 없다.

주 2.

식 (14)를 만족하지 못하는 경우 폐회로의 극점은 이득이 증가하면서 불안정 영역으로 이동하며, 더 증가할 경우 전방경로전달함수의 극점과 영점의 위치에 따라 일부의 극점이 안정 영역으로 이동할 수는 있다.

식 (10)은 모든 형태의 제어기를 포함하지만, 이 제어는 기어열 강성에 의한 진동의 감쇠를 목적으로 하므로 가장 일반적인 제어기로 비례제어와 미분제어를 들 수 있다.

아래의 주는 비례와 미분제어를 적용한 경우 각각에 대한 폐회로 안정성 분석이다.

주 3.1 강성제어(비례제어)

식 (10)의 제어기가 식 (17)과 같이 모터와 기어비를 고려한 부하 회전각의 차이에 비례하는 강성제어인 경우를 고려한다.

식 (16.2)에서 제어기 이득이 K = Δk일 때 폐회로 극점의 미소 변화는 식 (18)과 같다.

따라서 폐회로 극점은 허수축을 따라 이동을 시작하며, 다음 식을 만족할 경우 폐회로 극점은 제어기 이득의 증가에 따라 고유진동수가 증가하는 방향으로 이동한다.

부록 A의 근궤적 분석의 결과와 같이 식 (19)를 만족하면 개회로의 영점은 두 극점 사이에 존재하게 된다. 따라서 폐회로 극점은 제어이득의 증가에 따라 허수축을 따라 원점에서 멀어지는 방향으로 이동하여 두 극점 사이에 존재하는 영점으로 접근하게 된다.

만일 μ_i,1 - Nμ_i,n+1 = 0인 i-번째 모드가 존재하면 이 모드는 제어 이득에 관계없으며, 폐회로 극점은 원래의 위치에서 변화가 없다.

만일 μ_i,1(μ_i,1 - Nμ_i,n+1) < 0인 i-번째 모드가 존재하면, 이 모드는 고유진동수가 감소하게 된다. 따라서 고유진동수가 증가하는 모드와 감소하는 모드가 존재하면 두 폐회로 극점은 허수축에서 만나게 된다. 이 때의 제어이득을 k_cr라 하면, k_cr < k의 이득 범위에서 극점은 라프라스 평면의 좌측과 우측으로 분리 이동하게 되어 폐회로가 불안정하게 된다.

정리하면 식 (17)의 제어기를 적용했을 때 모든 고유벡터가 식 (19)를 만족하면 폐회로의 모든 극점은 고유진동수가 증가하는 방향으로 이동하며, 따라서 강성이 증가하게 된다. 반대로 식 (19)를 만족하지 못하는 모드가 존재할 경우에는 폐회로 안정성을 보장하지 못한다. 단, 첫 번째 모드의 극점은 원점에서 변화가 없다.

주 3.2 댐핑제어(미분제어)

식 (10)의 제어기가 식 (20)과 같이 모터와 기어비를 고려한 부하의 각속도 차이에 비례하는 댐핑제어인 경우를 고려한다.

식 (16)에서 제어기 이득이 C=Δc일 때 폐회로 극점의 미소 변화는 식 (21)과 같다.

이에 따라 점근안정성 조건은 식 (19)와 같다. 따라서 모든 모드(첫 번째 모드 제외)가 식 (19)를 만족하면 폐회로 극점은 허수축에서 라프라스 평면의 좌평면으로 이동하게 된다.

부록 A의 근궤적 분석의 결과와 같이 식 (19)를 만족하면 개회로의 영점은 두 극점 사이에 존재하므로, 제어이득이 커짐에 따라 근궤적은 허수축에서 출발하여 라프라스 좌평면으로 이동하고 이득이 무한대가 되면 허수축에 있는 개회로 영점에 접근하게 된다. 즉, 진동모드에 감쇠가 발생하게 된다.

앞에서와 같이 μ_i,1 - Nμ_i,n+1 = 0인 i-번째 모드는 폐회로 제어이득과 관계없이 극점 위치 변화가 없으며, μ_i,1(μ_i,1 - Nμ_i,n+1) < 0인 i-번째 모드는 제어이득의 증가에 따라 라프라스 평면의 우측으로 이동하게 되어 폐회로가 불안정해진다.

주 3.3 댐핑+강성제어

식 (10)의 제어기가 식 (22)와 같이 앞의 댐핑제어와 강성제어를 모두 포함하는 경우를 고려한다.

식 (19)를 만족하면 모든 모드의 댐핑과 강성을 증가시킬 수 있다.

식 (19)는 모터와 부하가 서로 반대 방향으로 회전하는 이상(out of phase) 모드인 경우는 자동으로 만족하며, 동일방향으로 회전하는 동상(in phase) 모드일 경우 조건 만족 여부가 중요하다.

앞의 분석에 근거하여 다음의 케이스 분석을 제시한다.

케이스 1. 1-단 기어

Fig. 2와 같은 1-단 기어 구동계를 고려한다. 이 구동계의 운동방정식은 식 (23)과 같다.

여기서 JLeq=JL+N12J1,2 이다.

Fig. 2 
Schematic of single stage gear driving system

모드해석을 통한 고유치와 고유벡터는 식 (24)와 같다.

식 (19)를 k = 1, k = 2일 때 나누어 쓰면 식 (25)와 같다.

따라서 이 구동계는 식 (22)의 제어를 적용하면 변화가 없는 첫 번째의 기하학적 모드(k = 1)와 감쇠와 강성이 증가한 안정한 두 번째 모드가 존재하므로 안정화가 가능하다.

이는 앞의 논의에서와 같이 두 번째 진동 모드에서 모터와 부하가 서로 이상(out of phase) 진동이므로 당연히 만족하게 된다.

케이스 2. 2-단 기어

Fig. 3과 같은 2-단 기어 구동계를 고려한다. 이 구동계의 운동방정식은 식 (26)과 같다.

Fig. 3 
Schematic of 2-stage gear driving system

여기서 [J]는 관성행렬, [K]는 강성행렬이며 다음과 같다.

이 구동계에서 모드해석을 통해 고유값과 고유벡터를 해석적으로 구하는 것은 쉽지 않겠지만, 강성행렬의 특징에서 첫번째 모드는 기하학적모드임을 알 수 있다. 즉 식 (28)과 같이 표현할 수 있다.

또한 기하학적모드를 제외한 진동 모드의 고유벡터를 u~T=u1u2u3라 하면 그 관계는 다음과 같다.

식 (29)를 적용하여 다음 관계를 유도할 수 있다.

따라서 식 (19), (22)에서 강성과 댐핑제어를 적용하여 안정화시키기 위해서는 식 (30)이 양이 되어야 하며, 고유치가 다음 식 (31)을 만족해야한다.

2-번째와 3-번째 고유치가 식 (31)을 만족하기 위한 조건은 부록 B의 유도를 통해 다음과 같다

3-단 이상의 기어구동계에서는 식 (19)를 만족하는 구동계 파라미터의 해석적인 관계를 구하기가 쉽지 않다. 이 경우 수치해석적 모드해석을 통해 안정성 여부를 확인할 수 있다.

결론적으로 다단의 기어트레인을 이용한 기어구동계에서 기어트레인의 진동문제를 피하고 제어하는 방법으로 식 (10) 형태의 제어기 구조를 적용할 수 있다. 단, 이 때는 제어기와 구동계 동특성이 식 (14)의 안정화 조건을 만족해야 된다.

지금까지 분석은 회전 서보제어계를 대상으로 하였으나, 이 결과는 Fig. 4와 같은 직선 서보제어계에도 적용할 수 있다.

Fig. 4 
Schematic of linear driving system

Fig. 4의 (n+1)-차의 직선운동계의 운동방정식은 식 (33)과 같다.

여기서 [M]은 질량행렬, [K]는 강성행렬이며 [B]는 입력벡터, x~는 변수벡터로 다음과 같다.

여기서 diag[.....]는 대각행렬(diagonal matrix)이다.

식 (34)의 운동방정식은 식 (2), (3)의 운동방정식에서 기어비를 모두 N_i = 1, k = 1, .., n로 한 경우와 일치한다. 따라서 결과도 유사하다. 즉, 식 (33)의 구동제어계에서 진동 안정화를 위해 식 (35)의 제어입력을 적용할 경우다.

이 식에서 사용한 기호의 정의는 식 (10)과 동일하다.

정리 2. Fig. 4 또는 식 (33), (34)의 운동방정식을 갖는 시스템에서 식 (35)의 제어를 적용하면 기하학적 모드를 제외한 폐회로 응답은 다음 식 (36)을 만족하면 제어이득 μ∈(0, μ_cr)의 범위에서 점근안정성(asymptotic stability)을 만족한다.

여기서 Re[*]는 복소수 *의 실수부를 의미하며, μ_cr은 0 < μ가 증가함에 따른 폐회로의 근궤적 중 허수축과 처음 교차하는 근궤적이 발생할 때의 μ값을 의미한다.

식 (36)은 식 (14)에서 N =1을 대입한 결과에 해당된다. 따라서 정리 2의 증명은 증명 1의 방법을 따르면 용이하게 얻을 수 있다.

결론적으로 제어기가 댐핑제어와 강성제어를 모두 포함하는 경우, 즉 식 (37)과 같다.

다음 식 (38)을 만족하면 2번째 모드 이상의 모든 모드에서 댐핑과 강성을 증가시킬 수 있다.

아울러 3-자유도 구동계에서 식 (38)을 만족하기 위한 조건은 식 (39)와 같으며, 이 조건은 식 (32)와 유사하다.

식 (10)의 제어는 구동계의 무감쇠 모드에 댐핑을 부여하고 강성을 증가시킬 수 있는 제어이며, 부하의 위치나 속도를 제어하기 위한 서보제어는 추가적으로 설계해야 된다.

이를 위한 방법으로, 주어진 시스템이 식 (14)의 조건을 만족하며 기어열 기어의 회전관성이 상대적으로 작은 Fig. 1의 구동계의 경우 Fig. 5와 같이 2-자유도 2-질량계로 단순화하고, 2-질량계를 기준으로 서보제어기를 설계할 수 있다. 이 설계 방법은 후속 논문에서 제안할 예정이다.

Fig. 5 
Schematic of simplified gear driving system