풍하중을 받는 구조물이 바람 방향 1차 모드 고유진동수가 1 Hz를 초과하거나 박스 내부의 단면 형상을 유지하기 위한 구조 부재가 적절히 설치된 경우에는 단면 비틀림에 대해 강체로 가정할 수 있다⁽¹⁴⁾. 따라서 풍하중을 받는 구조물에 대한 해석 및 실험에서 강체 모형을 많이 고려한다. Fig. 1은 Helgedagsrud 등⁽¹⁵⁾의 연구에서 제시된 교량바닥판의 동역학 모델을 나타내고 있다. 교량바닥판은 질량이 m이며 관성모멘트가 J 인 단일 강체로 모델링되었으며 교각과 바닥판을 연결하는 탄성체는 상하대칭 형태의 4개의 선형 스프링으로 모델링되었다. 선형 스프링들은 각각 무게중심으로부터의 거리가 r₁과 r₂인 지점에 위치해 있으며 강성은 모두 동일하게 k로 하였다. Fig. 1의 교량바닥판은 평면상에서 총 3개의 자유도를 갖게 되며 각 자유도의 운동은 서로 연성되어 있다. 기준점이 무게중심(C)과 일치할 경우 4개의 선형스프링들을 각각 선벡터(line vector)로 표현하여 구성한 자코비안 행렬은 식 (1)과 같다.

Fig. 1 
Modeling of the bridge deck with 2DOF tuned mass damper

식 (1)을 이용하여 미소 변위에 대한 강성행렬은 식 (2)와 같이 얻을 수 있다⁽¹⁶⁾.

기준점에서 나타낸 관성행렬은 식 (3)과 같이 대각화된 형태로 나타낼 수 있다.

교량바닥판이 Ω의 주파수로 미소 조화운동을 할 경우 변위는 식 (4)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 X^=δx,δy,ϕT이며 δ와 ϕ는 각각 선형 및 회전 변위의 크기를 의미한다. 식 (2)와 (3)의 강성, 관성행렬로부터 운동방정식을 구성하면 식 (5)를 얻을 수 있다.

식 (5)로부터 3개의 공진주파수 Ω_i와 공진모드 X^i를 얻을 수 있는데, 이중 강성행렬의 형태로 인해 1개의 강체 모드가 발생하므로 Fig. 1의 단일 강체 구조물은 2개의 공진주파수 및 공진 모드를 갖게 된다.

이 연구에서는 교량바닥판의 2개의 공진주파수에서 발생하는 공진모드를 억제하기 위한 단일강체 2자유도 진동흡진기의 설계식을 제시하고자 한다. Fig. 1의 점선부분 안에 표현되어 있는 2자유도 진동흡진기는 질량 m_a와 관성모멘트 J_a를 갖는 강체와 수직방향으로 무게중심으로부터 l인 지점에 설치되어 있는 강성 k_a인 2개의 선형 스프링으로 구성되어 있다. 진동흡진기의 무게중심(C_a)을 기준점으로 할 때 앞 절과 동일한 방법으로 진동흡진기의 강성행렬 및 관성행렬을 구하면 식 (6), (7)과 같다.

식 (6)과 (7)의 강성 및 관성행렬은 모두 대각화된 형태이므로 병진 및 회전 운동은 모두 비연성(decouple)되어 있으며 식 (6)과 (7)를 (5)에 대입하고 진동흡진기의 관성모멘트를 J_a = m_aρ²로 두면 식 (8)과 같은 진동흡진기의 공진주파수식을 간단히 얻을 수 있다.

여기서 ρ는 진동흡진기의 관성반경(radius of gyration)이다. 진동흡진기의 경우도 강성행렬의 형태로 인해 3개의 공진모드 중 1개는 강체모드이다. 식 (8)에서 볼 수 있듯이 두 개의 공진주파수는 진동흡진기의 질량과 강성의 비율 및 선형 스프링의 위치와 관성반경의 비율에 의해 결정되는 것을 알 수 있다.

2자유도 진동흡진기를 부착하고자 하는 교량바닥판에는 통행 하중 및 바람에 의한 풍하중이 작용하게 되며 이로 인한 진동이 발생하게 된다. Fig. 1과 같이 교량바닥판과 진동흡진기가 결합되어 있는 2 물체계의 운동방정식은 식 (9)와 같이 표현할 수 있다.

여기서 X^a는 진동흡진기의 변위이고, KCa및 MCa는 교량바닥판의 무게중심에서 표현한 진동흡진기의 강성 및 관성행렬로서 KCa=ECaCTKCaaECaC 및 MCa=ECaCTMCaaECaC 관계로부터 얻을 수 있다. 평면 평행축 합동변환(parallel axis congruence transformation) 행렬은 식 (10)과 같다.

조화가진을 가정하고 가진 주파수가 Ω이라고 할 때 가진벡터 w는 식 (11)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 w^=fx,fy,mzT 이며 f와 m_z는 각각 평면 힘 및 평면 모멘트를 의미한다. 식 (4)와 (11)을 식 (9)에 대입하여 정리하면 식 (12)를 얻을 수 있다.

식 (11)에서 X^a를 소거하여 정리하면 식 (13)과 같다.

이때, ZCa=KCaaKCaa-Ω2MCaa-1KCaa-KCaa 이며, 이를 전개하면 식 (14)와 같이 정리할 수 있다.

여기서 Δi=Ωa,i2-Ω2/Ω2, Δ=Δ1Δ2이다. 가진 주파수가 진동흡진기의 공진주파수 중 하나에 접근하게 되면 Δ는 0에 수렴하며 이때 식 (14)는 식 (15)와 같이 간단하게 표현할 수 있다.

여기서 Z˜Ca=ΔZCa이다. 식 (15)를 전개하면 식 (16)과 같이 나타낼 수 있다.

Ω = Ω_i (i = 1, 2)일 때 식 (16)은 각각 축약된 형태로 나타낼 수 있다.

식 (17a)에서 Ω = Ω₁일 때 변위 δ_y와 ϕ가 연성된 형태로 나타나게 되며 흡진이 이루어지지 않게 된다. 따라서 2자유도 진동흡진기의 2개의 공진주파수들, 즉 Ω₁, Ω₂를 모두 활용하여 교량바닥판의 변위를 제어하기 위해서는 d_x = 0인 조건이 만족되어야 한다. 이는 진동흡진기의 무게중심의 수평위치가 교량바닥판의 무게중심의 수평위치가 일치해야 함을 의미한다. 만일 이러한 조건이 만족되지 않을 경우 교량바닥판의 변위는 Ω = Ω₁ = Ω₂인 경우, 즉 하나의 공진주파수에서만 제어될 수 있다.

Table 1은 교량바닥판 축소모형의 설계변수 및 진동 특성이다⁽¹⁵⁾. 축소모형은 5.0087 rad/s, 12.6351 rad/s의 2개의 공진주파수를 가지며 각각 수직병진 및 회전 모드를 나타낸다. 축소모형은 실스케일 모델과 공진주파수들의 비율이 일치되도록 설정되었다. Fig. 1과 같은 형태를 가지며 Table 1와 동일한 질량과 관성모멘트 및 진동주파수를 갖는 진동시스템은 Park and Jang⁽¹⁷⁾이 제안한 방법으로부터 Table 2와 같이 합성할 수 있다. 이 연구에서 제안하는 2자유도 진동흡진기는 Table 1의 공진주파수들을 식 (8)과 (17)에 따라 2자유도 진동흡진기의 2개의 공진주파수들과 각각 일치시켜 공진 모드를 소거할 수 있다. 진동흡진기의 질량과 교량바닥판 질량의 비율(μ)가 0.1이며 진동흡진기의 관성반경(ρ)이 56 mm이라고 할 때, 식 (8)로부터 진동흡진기의 설계변수들을 구하면 Table 3과 같다.

설계된 2자유도 진동흡진기의 성능을 평가하기 위해 모드 해석을 수행하였다. 전체 계에 대한 관성 및 강성행렬을 식 (18)과 같이 구할 수 있다.

식 (18)의 행렬로부터 얻은 모드 벡터들의 행렬을 Ψ = [Φ Φ^a]^T라 할 때, 식 (19)를 이용해 주파수 응답을 구할 수 있다.

여기서 k_r, m_r은 각각 Ψ^TK_CΨ, Ψ^TM_CΨ의 r번째 원소이다. 또한 β는 비례감쇠계수이다. 식 (19)를 이용하여 구한 주파수 응답선도를 Fig. 2에 나타내었다. 녹색 점선은 진동흡진기를 적용하기 전 β=0.5 %인 경우의 응답이며 적색 파선은 진동흡진기를 적용한 경우의 비감쇠 응답을 나타낸다. 흑색 실선은 진동흡진기를 적용하고 β=0.5 %인 경우의 응답이다. 2자유도 진동흡진기에 의해 교량바닥판의 2개의 모드가 동시에 제어되는 것을 확인할 수 있다. 2자유도 진동흡진기의 성능은 기존의 단자유도 시스템과 달리 진동흡진기와 흡진 대상물체의 질량비(μ) 뿐만 아니라 진동흡진기의 관성반경(ρ)에도 영향을 받게 된다. Fig. 3은 질량비 및 관성반경을 각각 변경하였을 경우의 교량바닥판의 주파수 응답 특성을 나타내고 있다. 대체적으로 진동제어 성능은 질량비 및 관성반경이 커질수록 향상되는 것을 확인할 수 있다. 그러나 Fig. 3의 5 Hz 근처의 응답에서 볼 수 있듯이 질량비가 커질 때 오히려 일부 응답의 크기가 약간 증가하는 것을 관찰할 수 있는데 이것은 식 (17)에서 교량바닥판의 공진주파수와 2자유도 진동흡진기의 공진주파수가 정확히 일치하도록 설계하였기 때문인 것으로 보인다. 즉 제어하고자 하는 교량바닥판의 공진주파수와 2자유도 진동흡진기의 공진주파수 간의 약간의 차이가 있을 경우 보다 효율적인 제어가 가능할 수 있을 것으로 보이며 여기에 관한 최적화 연구를 추후 진행하고자 한다.

Fig. 2 
Frequency response of bridge deck without 2DOF absorber (green dotted), with 2DOF absorber (red dashed), and with damped absorber (black solid)

Fig. 3 
Frequency response of bridge deck when μ=0.05 and ρ=28 mm (red dotted), μ=0.05 and ρ=56 mm (green dashed), μ=0.1 and ρ=28 mm (blue dash-dotted), and μ=0.1 and ρ=56 mm (black solid)