음향 공동의 지배방정식은 식 (1)과 같이 헤름홀츠 방정식(Helmholtz equation)의 형태를 가진다⁽⁹⁾.

여기서 r은 음향 공동 내부의 한 점에 대한 위치 벡터를 의미하고, p(r)은 음향 공동 내부의 한 점에서의 음압(sound pressure)을 나타내며, k는 파수(wavenumber)이다. 그리고 강체벽(rigid wall) 음향 공동의 경계 r에서의 경계 조건은 다음과 같이 주어진다.

여기서 r_Γ는 음향 공동 경계상의 한 점에 대한 위치 벡터이며, n은 경계에서의 법선 방향을 의미한다.

Fig. 1에서와 같이 해석 대상 음향 공동(실선으로 표시된 다각형)을 두 개의 볼록 다각형 영역 D_I와 D_II로 분할한다. 영역 D_I은 Na개의 경계 모서리 Γ₁^(I), Γ₂^(I), …, Γ_Na^(I)로 둘러싸여 있다고 가정하며, Γ_Na^(I)은 분할된 두 영역 사이의 접경(interface)인 Γ_c에 해당한다. 그리고 이들 Na개의 경계 모서리 각각에 대해 지역(local) 좌표계 (x₁^(I), y₁^(I)), (x₂^(I), y₂^(I)), …, (x_Na^(I), y_Na^(I))를 설정한다. 마찬가지로, 영역 D_II은 Nb개의 경계 모서리 Γ₁^(II), Γ₂^(II), …, Γ_Nb^(II)로 둘러싸여 있다고 가정하며, Γ_Nb^(II)는 분할된 두 영역 사이의 접경인 Γ_c에 해당한다. 그리고 이들 Nb개의 경계 모서리 각각에 대해 국부 직각 좌표계 (x₁^(II), y₁^(II)), (x₂^(II), y₂^(II)), …, (x_Nb^(II), y_Nb^(II))를 설정한다.

Fig. 1  
Arbitrarily shaped, concave acoustic cavity divided into two regions D_I and D_II

이 논문에서는 분할된 영역 각각에 대한 시스템 행렬식을 먼저 추출할 것이다. 이를 위해 영역 D_I에서의 음압 p^(I)는 식 (3)과 같이, D_I의 경계 모서리들에서 발생한 평면파(plane wave)의 선형 중첩으로 가정한다.

여기서 A_m⁽ⁱ⁾은 평면파의 진폭 미지 계수, L_i^(I)는 i번째 경계 모서리의 길이, (x₁^(I), y₁^(I))는 i번째 경계 모서리에 설정된 지역 좌표계, Ns는 평면파에 사용된 코사인 시리즈 함수의 개수, j는 순허수를 나타낸다.

다음으로 영역 D_I를 둘러싸고 있는 경계 모서리들에서의 음압의 기울기는 코사인 시리즈 함수의 선형 중첩으로 가정한다.

여기서 U_n^(r)은 미지 계수, (x_r^(I), y_r^(I))은 r번째 경계 모서리에 설정된 지역 좌표계를 나타낸다.

이제 경계조건 식 (4)를 가정된 음압 식 (3)에 적용한 후, 경계 모서리를 따라 적분을 수행하면 식 (5)를 얻을 수 있다.

여기서

나중에 두 영역의 접경 Γ_c에서 음압과 음압 기울기 연속 조건을 적용하기 위하여, 식 (5)는 다음과 같이 경계 모서리 Γ₁^(I), Γ₂^(I), …, Γ_Na-1^(I)와 접경 Γ_c(=Γ_Na^(I))에 대한 식으로 분리된다.

여기서 접경을 제외한 나머지 경계 모서리는 강체벽 경계라는 사실을 고려하면, 식 (7)의 우변은 0이 된다(즉, U_q^(r)=0, r=1,2,…,Na-1). 마지막으로 식 (7)과 식 (8)은 다음과 같이 시스템 행렬식의 형태로 각각 표현될 수 있다.

여기서 위첨자 b와 c는 경계 모서리(boundary edge)와 접경(interface)을 각각 의미한다.

이제 영역 D_II에 대한 시스템 행렬식을 구하기 위하여, 식 (3)과 식 (4)와 같은 방식으로 영역 D_II의 내부 음압과 경계 모서리에서의 음압 기울기를 다음과 같이 각각 가정한다.

여기서 B_m⁽ⁱ⁾와 V_n^(r)은 미지 계수를 나타내며, (x_i^(II), y_i^(II))는 영역 D_II의 i번째 경계 모서리에 설정된 지역 좌표계를 나타낸다.

다음으로, 영역 D_I에 대해 수행된 식 (3~10)의 과정을 식 (11, 12)에 적용을 하면, 다음과 같은 영역 D_II에 대한 시스템 행렬식을 얻을 수 있다.

접경 Γ_c에서의 음압과 음압 기울기 연속 조건을 고려하는 방법에 의해, 시스템 행렬식 식 (9, 10, 13, 14)를 하나의 시스템 행렬식으로 통합하고자 한다. 접경 Γ_c에서 음압 기울기 연속 조건을 고려하면, 식 (10)의 우변과 식 (14)의 우변이 같아야 한다. 즉,

여기서 우변에 -1이 곱해진 이유는 접경 Γ_Na^(I)와 Γ_Na^(II)에 각각 설정된 지역 좌표계의 y_Na^(I)와 y_Nb^(II) 방향이 반대이기 때문이다. 식 (15)를 식 (10, 14)에 적용하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

추가적으로 접경 Γ_c에서 음압 연속 조건을 고려하기 위하여, 영역 D_I의 관점에서 접경 Γ_Na^(I)(=Γ_c)에서의 음압을 다음과 같이 가정한다.

여기서 U^nNa는 미지 계수이다. 다음으로 영역 D_I의 음압 식 (3)을 식 (17)에 대입한 후, 접경을 따라 적분을 수행하면, 다음의 식을 구할 수 있다.

여기서

마지막으로 식 (19)는 다음과 같이 행렬식의 형태로 간단히 표현된다.

마찬가지로, 영역 D_II의 관점에서 접경 Γ_Nb^(II)(=Γ_c)에서의 음압은 다음과 같이 가정된다.

여기서 V^nNa는 미지 계수이다. 다음으로 영역 D_II의 음압 식 (11)을 식 (21)에 대입한 후, 접경을 따라 적분을 수행하면, 다음의 식을 구할 수 있다.

여기서

마지막으로 식 (22)는 다음과 같이 행렬식의 형태로 간단히 표현된다.

접경에서 음압은 연속이므로, 식 (20)과 식 (24)에서 U^Ic=V^IIc이 성립한다. 그래서 다음의 식을 식 (20)과 식 (24)으로부터 얻을 수 있다.

앞에서 구한 행렬식 식 (9, 13, 16, 25)를 하나의 행렬식으로 머지(merge)하면 다음과 같이 하나의 시스템 행렬식을 얻을 수 있다.

여기서 시스템 행렬 SM와 벡터 C는 다음과 같이 주어진다.

음향 공동의 고유치는 SM의 판별식(determinant)이 영이 되는 조건인 식 (29)로부터 구해질 수 있다.

한편, 식 (29)에서 시스템 행렬 SM은 크기가 (Na+Nb)Ns인 정사각 행렬이다. 만약 해석 대상 음향 공동의 모서리의 수 또는 사용된 시리즈 함수의 개수가 많아지게 되면, 시스템 행렬의 크기가 커지게 되어 식 (29)를 계산하는 과정에서 수치 계산량이 증가하는 문제점이 발생한다. 이 논문에서는 이러한 문제점을 해결하기 위해, 시스템 행렬의 크기를 축소하는 방안을 제시한다.

먼저 식 (9, 13)은 다음과 같이 변형한다.

다음으로, 식 (30, 31)을 식 (16, 25)에 각각 대입하면 다음의 식들을 얻을 수 있다.

마지막으로, 식 (32, 33)은 다음과 같이 하나의 시스템 행렬식으로 표현될 수 있다.

여기서

축소된(reduced) 정사각 시스템 행렬 SMr의 크기는 2Ns이며, SM에 비해 크기가 2/(Na+Nb)배 만큼 감소했음을 알 수 있다. 마지막으로 고유치는 식 (37)에 의해 구해진다. 참고로 수치 해석 프로그램인 Mathematia를 사용하여 식 (37)로부터 고유치를 추출하였다.

이 논문에서 제안된 방법의 타당성 및 정확성을 검증하기 위해 첫 번째 예제로 엄밀해가 존재하는 직사각형 2차원 음향 공동이 고려되었다. Fig. 2와 같이 가로 길이가 1.2 m, 세로 길이가 0.9 m인 직사각형 음향 공동을 의도적으로 두 개의 영역 D_I과 D_II로 나눈 다음, 이 논문에서 제안된 방법이 적용되었다.

Fig. 2  
Rectangular acoustic cavity divided into two regions

Table 1은 이 논문에서 제안된 방법(proposed method), 엄밀해(exact solution)⁽¹⁰⁾, FEM(ANSYS)에 의해 구해진 고유치 결과들을 보여준다. 표에서 알 수 있듯이, 이 논문에서 제안된 방법은 단지 Ns=3일 때 엄밀해에 완전히 수렴된 정확한 결과를 제공함을 확인할 수 있으며, 2500개의 많은 노드를 사용한 FEM보다 더 정확한 결과를 제공함을 확인할 수 있다.

이 예제에서는 Fig. 3과 같이 앞의 예제에서 고려된 직사각형 음향 공동의 위쪽 모서리가 0.2 m 들어간 오목 음향 공동이 고려되었다. 그리고 이 논문에서 제안된 방법을 적용하기 위하여 그림과 같이 두 개의 볼록 영역 D_I과 D_II로 분할하였다.

Fig. 3  
Arbitrarily shaped, concave acoustic cavity divided into two regions

Table 2는 이 논문에서 제안된 방법(proposed method)과 FEM(ANSYS)에 의해 구해진 고유치 결과들을 보여준다. Table 2에서 확인할 수 있듯이, 제안된 방법은 단지 Ns=5인 경우에 고유치가 수렴되었음을 알 수 있다. 그리고 이 결과는 2806개의 많은 노드를 사용한 FEM 결과와 비교해볼 때 0.11 % 오차 이내의 정확한 값임을 확인할 수 있다. 참고로, 이 예제는 엄밀해가 존재하지 않는 경우이기에, 많은 노드를 사용한 FEM 해석 결과를 오차를 계산할 때의 기준값으로 사용하였다.

한편, Table 2에서 제안된 방법에 의해 추출된 네 번째 고유치 4.527은 FEM에서는 추출되지 않는 허위 고유치(spurious eigenvalue)이다. 이 허위 고유치는 Fig. 2의 영역 D_I(또는 D_II)에 해당하는 강체벽 음향 공동의 세 번째 고유치인 것으로 확인되었다. 이러한 허위 고유치가 발생한 원인과 제거 방안에 대한 연구가 현재 진행 중에 있으며, 향후 논문에서 관련 연구 결과를 제시할 예정이다.