Fig. 1에 나타난 바와 같이 노면 프로파일은 파장 영역에 따라 차량에 각각 다른 형태로 영향을 주기 때문에 이를 각 파장 영역별로 이를 구분해야 할 필요가 있다. 파장이 0.5 mm 이하인 영역을 microtexture라고 하고 이 영역에서 노면은 타이어 트레드(tread)의 마모와 타이어의 마찰력에 큰 영향을 끼친다⁽⁸⁾. 노면의 파장이 0.5 mm에서 50 mm까지의 영역은 macrotexture라고 부르고 이 영역은 타이어와 노면사이에서 발생하는 마찰력과 소음에 주로 영향을 끼치게 된다^(8,9). Megatexture 영역은 파장이 50 mm에서 0.5 m인 영역의 노면을 의미하며 이 영역의 노면은 타이어의 회전 저항과 타이어와 노면사이에서 발생하는 소음에 영향을 준다^(10,11). 노면 프로파일의 파장이 0.5 m에서 100 m인 영역을 도로 조도(road roughness)라고 부르며 이 영역에서 도로 조도는 차량의 수직방향 힘으로 작용하는 도로 가진의 형태로 차량에 영향을 주기 때문에 이 영역에서 노면 프로파일은 차량의 승차감에 주된 영향을 준다. 그리고 노면 프로파일의 파장이 100 m 이상이면 노면 프로파일의 거리에 따른 높낮이의 변화가 아주 적다는 것을 의미하고 이를 도로 구배(road gradient)라고 정의한다. 따라서 현가장치를 보다 정밀하게 해석하기 위해서는 도로 조도의 특성에 대한 연구가 필요하다.

Fig. 1  
Classification of a road profile by its wavelength

도로 조도는 노면의 불규칙한 상하 변화를 나타내기 때문에 일반적으로 시스템을 다룰 때 많이 사용하는 결정론적 모델(deterministic model)을 통해 이를 모델링 하기에는 어려움이 많다. 따라서 도로 조도와 같이 랜덤특성을 갖는 랜덤 프로세스(random process)는 확률론적 모델(stochastic model)을 도입해 모델링을 해야 한다. 랜덤 프로세스는 시간 영역에서는 그 특징을 파악하기 어렵기 때문에 주파수 영역에서 정의되는 PSD(power spectral density) 함수를 이용하여 분석을 수행한다. 특히 도로 조도는 측정하는 차량의 속력에 영향을 받기 때문에 이를 고려하기 위해 공간 주파수 영역(spatial frequency domain)을 정의할 필요가 있다.

도로 조도를 시간에 따라 측정하면 차량의 속력(v)에 영향을 받기 때문에 속력의 효과를 없애기 위해 다음과 같이 시간(t) 영역에서 공간(s) 영역으로 변환하여 정의를 한다.

• where s: travelling distance, v: vehicle speed, t: travelling time.

또한 공간 주파수 영역을 정의하기 위해 다음과 같이 도로 조도의 파장(L)을 정의한다.

• where L: wavelengh of road profile, Ω: wave number.

Wave number(Ω)는 공간 영역에서의 각 주파수를 의미하며 시간 영역에서의 각 주파수(ω)와는 다음과 같은 관계를 갖는다.

따라서 시간 영역에서의 주파수(f)는 노면 프로파일의 파장(L)과 다음과 같은 관계를 갖는다.

식 (4)를 통해 도로 조도의 파장이 같다고 해도 차량의 속력에 따라 차량에 영향을 주는 주파수가 달라진다는 것을 확인할 수 있다. 특히 현가장치에서는 도로 가진의 주파수가 어떤 범위에 있는지 아는 것이 중요하기 때문에 도로 조도의 파장과 시간 영역의 주파수와의 관계를 아는 것이 중요하다.

ISO8608 규정에서는 도로 조도를 다음과 같은 PSD함수로 정의하고 있다⁽¹²⁾.

여기서 노면 지수 W는 노면의 종류에 따라 결정되는 상수이며 대부분의 노면에서 W=2이다. 식 (5)와 같은 형태에서 wave number가 0이면 PSD 함수가 무한대의 값을 가지게 된다. 이 때문에 wave number를 Ω₀와 Ω₁의 값만 가지도록 정의해야 식 (5)와 같은 모델을 사용할 수 있다. 또한 PSD 함수의 주파수 범위를 제한하는 모델을 사용하기 때문에 시뮬레이션으로 구현하기 위해서는 조화(harmonic) 함수의 무한 급수를 이용하여 근사를 하는 복잡한 방법을 사용해야 한다. 따라서 이 논문에서는 위 모델보다 시뮬레이션이 훨씬 간단한 Gauss-Markov 모델을 이용한 도로 조도 모델을 사용하였다.

Gauss-Markov 모델은 확률론적 모델이 필요한 많은 분야에서 사용되는 랜덤 프로세스 모델 중 하나이다. 이 모델은 랜덤 프로세스의 확률적 특성을 나타내는 자기상관함수(autocorrelation function)과 PSD 함수가 간단한 형태로 표현되기 때문에 이 모델로 표현되는 랜덤 프로세스는 수학적으로 처리하기 쉽다는 장점을 가지고 있다. Gauss-Markov 모델의 자기상관함수와 PSD 함수는 다음과 같은 형태로 표현된다.

여기서 σ는 랜덤 프로세스의 표준편차를 의미하고 β는 랜덤 프로세스의 특성에 따라 결정되는 상수이다. 특히 식 (7)과 같이 표현되는 랜덤 프로세스는 형상 필터(shaping filter)와 같은 방법을 사용하면 식 (5)와는 달리 쉽게 시뮬레이션을 수행할 수 있다. 또한 식 (5)와는 달리 주파수가 0일 때 PSD 함수가 특정한 상수값을 가지기 때문에 주파수의 범위를 한정할 필요가 없다. 따라서 이 논문에서는 식 (7)을 wave number의 함수로 표현한 식 (8)과 같은 모델을 사용할 것이다.

또한 Φ(Ω)와 Φ(ω)는 다음과 같은 관계를 갖는다는 것이 알려져 있다⁽¹²⁾.

식 (8)의 PSD 함수에 공간주파수와 시간주파수와의 관계인 식 (3)을 대입하고 식 (9)를 이용하여 정리하면 다음과 같다.

식 (10)에 따르면 시간영역에서 도로 조도의 랜덤 프로세스는 속력이 증가함에 따라서 파워가 증가한다는 사실을 확인할 수 있다. 따라서 차량의 속력이 증가하면 같은 노면을 주행해도 차량에 영향을 더 크게 준다는 사실을 확인할 수 있다.

Fig. 2는 도로 조도 측정을 위한 실험장비의 구성을 나타낸다. 실험은 중형 SUV 차량(현대자동차, 뉴 싼타페2)에 레이저 센서(Wenglor, CP08MHT80)을 장착하여 도로 조도 측정을 위한 노면 프로파일을 측정하였다. 또한 노면 프로파일을 측정하는 과정에서 차량의 수직방향 진동으로 인해 오차가 발생하는데 이를 보정해주기 위해서 가속도계(Brüel & Kjær, DeltaTron Type 4506)를 레이저 센서와 함께 장착하였다. 또한 가속도계로 측정한 가속도로부터 차량의 수직방향 진동 오차를 보정하기 위해 측정된 가속도 신호를 적분하여 변위를 계산해야 한다. 가속도계에서 측정한 신호를 적분할 때 드리프트 오차(drift error)가 발생하기 때문에 이를 제거해주기 위해 고역통과필터(high pass filter)를 사용해야 한다. 이에 대한 내용은 3.2절에서 언급한다.

Fig. 2  
Photograph of sensor setup for road profile measurement

Fig. 2의 측정 장비를 이용하여 도로 조도를 측정하는 방법은 Fig. 3과 같다. 앞서 언급한 바와 같이 레이저 센서의 측정치(x_l)는 차량의 수직방향 진동으로 인해 차체의 변위(x_b)만큼의 오차를 포함하게 된다. 따라서 가속도계를 이용하여 차체의 변위(x_b)를 계산하여 오차를 보정해주면 노면 프로파일 (x_r)은 다음과 같이 계산할 수 있다.

Fig. 3  
Schematic of road roughness measurement method

식 (11)로부터 노면 프로파일(x_r)을 계산하기 위해서는 가속도계의 신호를 적분하여 차체 변위(x_b)를 구해야 한다. 일반적으로 가속도계와 같은 관성센서는 지구의 자전으로 인한 코리올리 효과(Coriolis effect)로 인해 편향 오차(bias error)를 가지는 것으로 알려져 있고 이로 인해 가속도계를 적분하면 적분 값이 발산하게 된다⁽¹³⁾. 가속도계에서 발생하는 편향 오차는 주로 저주파 성분으로 이루어져 있기 때문에 고역통과필터를 사용하여 이를 제거해줄 필요가 있다. 현가장치의 대역폭이 0.5 Hz에서 15 Hz까지로 알려져 있기 때문에 가속도계 적분을 위한 고역통과필터의 차단 주파수(cut-off frequency)를 0.5 Hz로 정하였다. MATLAB Signal Processing Toolbox를 사용하여 차단 주파수가 0.5 Hz인 1차 디지털 버터워스(butterworth) 필터를 설계하면 다음과 같다.

식 (12)에서 분자에 (1-z^-1)는 디지털 적분기의 분모에 존재하는 (1-z^-1)과 서로 상쇄되기 때문에 고역통과필터는 적분기의 불안정한 극점(pole)을 제거해서 적분되는 신호가 발산하지 않도록 방지해주는 역할을 한다. 위와 같이 설계된 고역통과필터는 Fig. 4와 같이 적분기의 앞뒤에 연결한다.

Fig. 4  
Schematic of signal processing to calculate the road roughness

식 (11)과 같이 계산된 노면 프로파일(x_r)에서 도로 조도를 얻어내기 위해 도로 조도에 해당하는 파장 영역으로 필터링할 필요가 있다. 도로 조도는 0.5 m에서 100 m사이의 파장을 가지기 때문에 도로 조도의 주파수 영역은 식 (4)에 의해 다음과 같이 결정된다.

• where v: vehicle speed, f: bandwidth of bandpass filter

따라서 식 (11)로부터 얻은 노면 프로파일(x_r)을 식 (13)에 해당하는 대역폭을 가지는 대역통과필터(band pass filter)를 사용하여 필터링 해줄 필요가 있다. 대역통과필터는 MATLAB Signal Processing Toolbox를 사용하여 식 (13)의 대역폭을 가지는 2차 디지털 버터워스 필터를 설계된다. 이와 같이 설계된 대역통과필터를 사용하여 Fig. 4와 같이 적용하면 도로 조도를 측정할 수 있다.