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Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering - Vol. 28 , No. 6

[ Article ]
Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration EngineeringVol. 28, No. 6, pp.735-741
Abbreviation: Trans. Korean Soc. Noise Vib. Eng.
ISSN: 1598-2785 (Print) 2287-5476 (Online)
Print publication date 20 Dec 2018
Received 14 Sep 2018 Revised 02 Nov 2018 Accepted 16 Nov 2018
DOI: https://doi.org/10.5050/KSNVE.2018.28.6.735

사다리꼴 주름판의 최적형상 및 엄밀진동에 관한 연구
김영완* ; 정강

A Study on Optimal Shape and Refined Vibration of Trapezoidal Corrugated Plates
Young-Wann Kim* ; Kang Jung
*Member, Department of Mechanical Design Engineering, Chonnam National University
Correspondence to : Member, Department of Mechanical Design Engineering, Chonnam National University E-mail : ckang@jnu.ac.kr
‡ Recommended by Editor Gi-Woo Kim


© The Korean Society for Noise and Vibration Engineering

Abstract

In this study, the refined rigidities, optimal shapes, and free vibration of trapezoidal corrugated plates were analyzed. The rigidities of trapezoidal corrugated plates by material mechanical analysis have large errors as compared with practical behavior. Thus, the refined rigidities of the plates are proposed by calculating two-variable functions by surface fitting for the correction of errors. These rigidities were applied in analyzing the optimal shapes and free vibration of the plates. In addition, a Visual Basic program was developed for the vibration analysis.


Keywords: Corrugated Plate, Orthotropy, Surface Fitting, Correction of Error, Refined Rigidity, Optimal Shape, Natural Frequency
키워드: 주름판, 직교이방성, 곡면피팅, 오차보정, 엄밀강성, 최적형상, 고유진동수

1. 서 론

주름판(corrugated plate)은 평판을 파형(wave form)으로 주름잡아 강성(rigidity)을 크게 증대시킨 판구조물로 많은 산업분야에서 널리 사용되고 있다.

주름판은 평판이 등방성(isotropy)인 반면에 주름방향의 직각방향 강성이 증대된 것으로 기하학적 특성상 직교이방성(orthotropy) 구조물로서 분류된다. 이와 같은 직교이방성판으로서의 주름판에 대한 강성 및 진동 데이터는 재료역학적 해석으로 어느 정도의 정확치로 도출되는 데는 한계가 있으며 그 기하학적 형상에 따라 큰 오차가 뒤따른다.

이러한 주름판의 파형 종류는 정현파(sine wave), 사다리꼴파(trapezoid wave), 방형파(square wave), 삼각파(triangle wave), 톱니파(sawtooth wave) 등이 있다.

그동안 발표된 연구논문들을 살펴보면, 주름판의 진동해석은 직교이방성판으로서 강성해석이 선행되어야 하는데, Seydel은(1) 파형 주름판에 대하여 압축실험으로 강성을 규명하고자 하였고, Fung은(2) 파형 주름판을 평판에 부착시킨 패널에 대하여 기하학적 해석방법을 제시하였다. Kinloch는(3) 사다리꼴 주름판과 평판이 조립된 패널에 대하여 강성해석을 하고자 하였으며, Perel은(4) 사다리꼴 주름판에 대하여 비교적 단순하게 기하학적으로 강성을 구하고자 하였다.

주름판 등 직교이방성판에 대한 진동을 해석한 논문의 경우는 Hoppmann 등이(5) 보강판에 대하여 실험으로 강성을 결정하고 단순지지 경계조건에 대해 진동해석을 하였고, Hearmon 등은(6~8) 직교이방성판에 대하여 강성을 임의로 가정하고 특정 경계조건에 대해 고유진동수를 해석하였다. 또한, Chen 등은(9) 사다리꼴 주름판과 평판이 조립된 완전 자유의 경계조건을 갖는 패널(panel)에 대하여 유한요소 해석 및 진동실험을 하였다.

그 외에도 주름판에 대하여 등가의 개념을 적용시켜 근사적으로 정적 및 동적 해석한 논문(10~12), 주름요소 판 하나의 길이가 두께에 비하여 상당히 긴 장방형 절판(folded plate)의 진동해석 논문(13~15) 등을 살펴볼 수 있다.

그동안, 이 저자 등은(16,17) 연결 판을 보강재로, 연결 볼트를 집중질량으로 취급하여 주름판에 대한 진동해석을 하였고, 적층복합 주름판을 균일한 두께를 지닌 직교이방성판의 균질화 모델로 취급하여 강성을 해석을 하는 등, 주름판의 강성 및 진동 해석과 관련한 연구를 지속적으로 진행하고 있다.

그러나 주름판의 강성은 이전의 논문(18)에서도 언급하였듯이 기하학적 특성과 기본가정 그리고 등가의 개념만을 고려하여 재료역학적으로 해석함으로써 제시되는 것은 엄밀성(exactitude) 차원에서 큰 오차를 유발하는 문제를 지닐 수 있고, 근사적 해석 또는 실험적 방법에 의하여 제시되는 것은 특정 경계조건, 모델에 대해서만 도출 가능한 적용 한계성(application limit)을 가질 수 있다.

따라서 이 연구에서는 사다리꼴 주름판에 대한 재료역학적 해석결과에서 유발되는 오차를 보정하기 위하여 곡면피팅(surface fitting)에 의한 2변수 오차보정(correction of error)식을 산출함으로써 엄밀강성(refined rigidity)을 제시함과 아울러 주름판의 최적형상(optimal shape)을 결정한다. 또한, 이러한 엄밀강성을 적용하여 Ritz법에 의한 주름판의 진동해석 및 비주얼베이직(visual basic) 프로그램을 완성하고, 이 결과는 유한요소 해석 코드인 ANSYS의 결과와 비교함으로써 그 타당성을 검증한다.


2. 주름판의 강성 및 진동
2.1 주름판의 강성

이 연구에서의 사다리꼴 주름판 해석모델은 다음 Fig. 1과 같으며 여기서, a는 주름판의 주름진 x방향 길이, b는 주름판의 y방향 길이다. 또한, 주름판 하나의 주름요소에서 주름각은 θ, 판의 두께는 t, 수평 및 경사 길이 비는 mc(= l1/l), 주름높이는 h이며, a′는 주름요소의 길이, at′는 주름요소의 전체 길이다.


Fig. 1 
Trapezoidal corrugated plate

이 연구에서의 해석모델인 사다리꼴 주름판의 재료역학적 해석에 의한 강성은 다음과 같다(18).

주름판의 x축에 대하여 순수 굽힘모멘트가 작용하는 경우, 주름판의 x면에 대한 굽힘강성(flexural rigidity) Dx는 다음 식 (1)과 같다.

Dx=Et3(mc+cosθ)12(1-v2)(1+mc)(1) 

여기서, E는 탄성계수, v는 푸아송비이다.

주름판 하나의 주름요소에 대한 y면의 단위길이 당 면적관성모멘트는, 수평면의 경우 평행축 정리를, 경사면의 경우는 경사축에 대한 면적관성모멘트를 각각 중립축에 대하여 적용하면, 주름판의 y면에 대한 굽힘강성 Dy는 다음 식으로 표현할 수 있다.

Dy=Ett2mc+cos2θ+4h21+3mc121-v2mc+cosθ(2) 

주름판의 x면에 대한 비틀림모멘트는 경사길이의 비틀림각을 x축에 등가하고 수평길이의 비틀림각과 합하여 유도될 수 있고, 따라서 다음과 같은 x면의 비틀림강성(torsional rigidity) Dxy를 구할 수 있다.

Dxy=Et3mc+cosθ121+vmc+cos3θ(3) 

y면에 대한 비틀림모멘트는 경사면의 경우 중립축에 등가의 개념을 적용하고 수평면의 경우와 합하여 구함으로써, Dyx는 다음과 같이 결정된다.

Dyx=Et3mc+1121+vmc+cosθ(4) 
2.2 엄밀강성을 위한 오차보정식

주름판의 최대변형에너지(Vmax)와 최대운동에너지(Tmax)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Vmax=120b0aDx2Wx22+Dy2Wy22+D12Wx22Wy2+Dxy+Dyx2Wxy2dxdy(5) 
Tmax=12ρtω20b0aW2dxdy(6) 

여기서, D1 = vyDx + vxDy이고, ρ는 밀도, ω는 각진동수(angular frequency)이다. 그리고 Betti의 상반작용의 정리(Betti’s reciprocal theorem)에 의하여 vyDx = vxDy로 나타낼 수 있다. 여기서의 푸아송비 vx, vy는 재료성질이 아닌 구조 시스템의 기하학적 환경에 따라 좌우되는 탄성상수로서, 각각 주름판의 직교이방성에 따른 xy 방향의 푸아송비이다.

주름판의 처짐함수 W(x, y)는 다음과 같이 가정할 수 있다.

Wx,y=AmnXmxYn(y)(7) 

여기서, Amn은 상수이고, Xm(x)과 Yn(y)는 각각 xy 방향의 직교성(orthogonality)과 경계조건을 만족시키는 보함수(beam function)이다.

따라서 보함수의 직교성을 고려하고 식 (7)식 (5)식 (6)에 대입하여 Rayleigh법을 이용하면, 다음 식 (8)과 같이 나타낼 수 있다.

ακm4+βa/b4κn4+δa/b2EmmFnn+γa/b2GmmHnn=4π2ρta4/Dfmn2(8) 

여기서, D=Et3121-v2, Dxya=Dxy+Dyx2이고

α=DxD, β=DyD, δ=D1D, γ=2DxyaD(9) 
Emm=a0aXm''xXm(x)dxFnn=b0bYn''yYnydyGmm=a0aXm'x2dxHnn=b0bYn'y2dy(10) 

또한, (a/b)는 주름판의 형상비(aspect ratio)이고, km, kn은 각각 x, y방향의 경계조건에 따른 보함수의 파수(wave numbers), fmn은 주름판의 고유진동수(natural frequencies)이다.

앞서 언급한 바와 같이 기하학적 특성과 기본가정 그리고 등가의 개념만을 고려한 주름판의 재료역학적 강성은 실제거동과 큰 오차를 나타낼 수 있고, 유한요소 해석에 의한 방법으로도 강성을 직접 해석할 수 없다.

따라서 이 연구에서는 임의로 선정한 경계조건, 즉 x방향 고정-자유, y방향 고정-자유의 경계조건에 대하여 주름각 θ와 수평 및 경사 길이 비 mc (=l1/l)에 따른 4차까지의 고유진동수 fmn을 유한요소 해석으로 구한 후, 이에 대응하는 Xm(x)와 Yn(y)에 대한 미적분을 행하고 식 (8)에 적용, 4차 연립방정식을 통해 α, β, δ, γ를 구함으로써 강성을 도출한다. 그리고 이러한 강성을 앞서의 재료역학적 강성과 비교함으로써 오차보정식을 산출하고, 다음과 같은 주름판의 엄밀강성 식 (11)을 제시한다.

Dxr=DxCxθ, mcDyr=DyCyθ, mcDxyr=DxyaCxyθ, mc(11) 

여기서, Cx (θ, mc), Cy (θ, mc), Cxy (θ, mc)는 곡면피팅에 의한 2변수 오차보정식으로서 θmc를 2차식으로 나타내면, 다음 식 (12)와 같다.

Cθ,mc=p00+p10θ+p01mc+p20θ2+p11θmc+p02mc2(12) 

여기서, (p00, p10, p01, p20, p11, p02)는 다음과 같다.

  • Cx의 경우 (1.001, -0.149, 0.042, -0.311, 0.299, -0.058)
  • Cy의 경우 (1.001, -0.346, 0.035, -0.133, 0.176, -0.037)
  • Cxy의 경우 (1.054, -0.608, 0.246, 0.481, -0.017, -0.067)
2.3 주름판의 진동해석

이 연구에서는 Ritz법에 의한 주름판의 진동해석을 함에 있어, 처짐함수를 다음과 같이 가정한다.

Wx,y=m=1Mn=1NAmnXmxYny(13) 

다음의 최소에너지원리(minimum total energy principle)를 도입한다.

VAkl-TAkl=0(K=1,2,,M, l=1,2,,N)(14) 

따라서 식 (13)식 (5)식 (6)에 대입하고 식 (14)에 적용하면 다음과 같은 고유치문제가 된다.

m=1Mn=1NSmnkl-λ2δmnAmn=0(K=1,2,,M ; l=1,2,,N)(15) 

여기서, λ2 = ρtω2a4/D

δmn = 1 (m = kn = l), δmn = 0 (m kn l)

  • 1) m = kn = l인 경우
Smnkl=αrκm4+βra/b4κn4+δra/b2EmmFnn+γra/b2GmmHnn(16) 
  • 2) m kn l인 경우
Smnkl=δr/2a/b2EkmFnl+EmkFln+γra/b2GmkHnl(17) 

여기서, 식 (10)과 함께

Emk=a0aXmXk''dx, Ekm=a0aXmXkdxFnl=b0bYnYl''dy , Fln=b0bYn''Yldy Gmk=a0aXm'Xk'dx, Hnl=b0bYn'Yl'dy(18) 

또한, αr, βr, δr, γr는 (Dx)r, (Dy)r, (D1)r, 2(Dxy)r를 각각 D로 나눈 무차원 엄밀강성이다.


3. 결과 및 고찰
3.1 사다리꼴 주름판의 최적형상

앞서 언급한 바와 같이 주름판은 평판을 주름잡아줌으로써 y면의 강성을 크게 증대시킨 것으로, 재료역학적 해석에 의한 강성은 실제 거동과는 큰 차이를 나타낸다. 따라서 이 연구에서는 오차보정식을 통한 엄밀강성식을 제시하였다. Table 1a/b = 1, a = 1000 mm, t = 2 mm이고, 주름수 nc = 10개, 재료물성치 ρ = 7850 kg/m3, E = 200 000 MPa인 경우의 y면에 대한 재료역학적 무차원 강성 β과 무차원 엄밀강성 βrmc = 1인 경우의 주름각 θ에 따라 비교하여 나타낸 것으로 그 차이가 매우 큼을 알 수 있다.

Table 1 
Materials-mechanical non-dimensional rigidities and non-dimensional refined rigidities
θ (deg) β βr Relative
error(%)
30
35
40
45
50
55
60
24.985
35.074
47.781
63.694
83.587
108.48
139.72
21.504
28.912
38.396
49.974
63.459
78.627
95.549
16.2
21.3
24.4
27.5
31.7
37.9
46.2

또한, 이러한 주름판의 강성은 동일중량 하에서 그 형상에 따라 큰 차이를 나타낼 수 있다.

Tables 2 ~ 3은 주름판의 동일중량 상태에서의 θmc에 따른 무차원 엄밀강성 βr을 나타낸 것이다. 산형 주름판 즉, mc = 0인 경우의 θ = 30°와 동일중량인 사다리꼴 주름판의 강성은 θ = 34°, mc = 0.2761에서, 각각 θ = 40°인 경우는 θ = 45°, mc = 0.2519에서, θ = 45°인 경우는 θ = 50°, mc = 0.2196에서, θ = 60°인 경우는 θ = 66°, mc = 0.1865에서 최대치임을 알 수 있다.

Table 2 
Non-dimensional refined rigidities in same weight as cases for θ = 30° and θ = 40°, mc = 0
θ (°) mc βr θ (°) mc βr
30 0 190.4498 40 0 400.2727
31 0.0661 200.0603 41 0.0484 415.1717
32 0.1342 206.0555 42 0.0979 425.7172
33 0.2042 209.2446 43 0.1483 432.65
34 0.2761 210.2601 44 0.1996 436.5725
35 0.3499 209.5989 45 0.2519 437.977
36 0.4255 207.6524 46 0.3051 437.2688
37 0.503 204.7301 47 0.3592 434.7843
38 0.5823 201.0774 48 0.4142 430.8055
39 0.6634 196.8891 49 0.4701 425.5714
40 0.7463 192.3203 50 0.5268 419.2869
41 0.8309 187.4943 51 0.5844 412.13
42 0.9172 182.5086 52 0.6428 404.2571
43 1.0052 177.4405 53 0.702 395.8078
44 1.0949 172.3502 54 0.7619 386.9078
45 1.1862 167.2842 55 0.8227 377.6717

Table 3 
Non-dimensional refined rigidities in same weight as cases for θ = 45° and θ = 60°, mc = 0
θ (°) mc βr θ (°) mc βr
45 0 566.113 60 0 1634.12
46 0.0425 584.6854 61 0.0304 1669.458
47 0.0857 598.2966 62 0.0611 1696.265
48 0.1297 607.662 63 0.092 1715.504
49 0.1743 613.3748 64 0.1233 1728.078
50 0.2196 615.9317 65 0.1548 1734.854
51 0.2656 615.7532 66 0.1865 1736.672
52 0.3122 613.2002 67 0.2185 1734.362
53 0.3595 608.587 68 0.2508 1728.745
54 0.4074 602.1916 69 0.2833 1720.647
55 0.4559 594.2643 70 0.316 1710.897
56 0.505 585.0338 71 0.3489 1700.33
57 0.5547 574.7124 72 0.382 1689.788
58 0.605 563.5 73 0.4153 1680.122
59 0.6558 551.5867 74 0.4487 1672.185
60 0.7071 539.1556 75 0.4824 1666.835

Fig. 2Table 2에서의 θ = 30°, mc = 0와 동일중량인 사다리꼴 주름판의 엄밀강성을 주름각 θ에 따라 그래프로 나타낸 것이다.


Fig. 2 
Non-dimensional refined rigidities in same weight as case for θ = 30°, mc = 0

3.2 사다리꼴 주름판의 엄밀진동

재료역학적 해석에 의한 강성 Dy는 실제거동보다도 상당히 큰 값을 나타냄으로써 진동해석에 있어서도 그 오차는 매우 크게 발생한다.

따라서 이 연구에서는 (Dx)r, (Dy)r, (D1)r, 2(Dxy)r 등의 엄밀강성을 사다리꼴 주름판의 진동해석에 적용하여 비주얼베이직 프로그래밍을 하였다. Fig. 3은 완성된 진동해석 프로그램의 입력창을 나타낸 것이다.


Fig. 3 
Input window for vibration analysis

Table 4a/b = 1, a = 1000 mm, t = 2 mm이고, 주름수 nc = 10개, 재료물성치 ρ = 7850 kg/m3, E = 200 000 MPa,v = 0.3인 사다리꼴 주름판에 대하여, θ = 45°, mc = 1이고 F-F&C-F의 경계조건에 대한 이 연구에서의 해석결과와 유한요소 해석결과로서 5차까지의 고유진동수를 비교하여 나타낸 것인데, 그 오차는 2 %대 이내로 매우 잘 일치하고 있음을 알 수 있다. 여기서, F-F&C-F (x방향 경계조건 & y방향 경계조건)는 자유(free), 고정(clamp)의 경계조건을 이니셜로 표시한 것으로서, 각각 x = 0와 a에서 F와 F, y = 0와 b에서 C와 F의 경계조건을 나타낸다.

Table 4 
Results of vibration analysis for F-F&C-F
Boundary
condition
fi Theoretical
frequencies(Hz)
FEM(ANSYS)
frequencies(Hz)
Relative
error(%)
F-F&C-F 1
2
3
4
5
24.044
24.507
27.649
38.663
60.476
23.937
24.547
28.167
39.627
61.560
0.4
0.2
1.9
2.5
1.8

Table 5는 주름판에서 가능한 36개 경계조건 중 임의의 3가지 경계조건에 대하여 주름각 θ가 각각 30°, 40°, 50°, 60°인 경우의 mc가 0.5, 1, 2일 때의 기본진동수(fundamental frequency)를 유한요소 해석결과와 비교하여 나타낸 것이다. 그 결과는 마찬가지로 상당히 잘 일치하고 있음을 알 수 있고, 그 밖의 경계조건 및 임의의 형상에 대해서도 이 연구에서의 결과와 유한요소 해석의 결과는 매우 잘 일치함을 알 수 있었다. 여기서, S는 단순지지(simply support) 경계조건을 나타내는 이니셜이다.

Table 5 
Fundamental frequencies for various θ & mc
Boundary
condition
θ(°) mc Theoretical
frequencies(Hz)
FEM(ANSYS)
frequencies(Hz)
Relative
error(%)
F-F&C-F 30
40
50
60
0.5


19.441
26.858
35.573
45.821
19.342
26.762
35.365
45.604
0.5
0.4
0.6
0.5
30
40
50
60
1


15.629
21.035
27.131
33.345
15.550
21.055
26.937
33.292
0.5
0.1
0.7
0.2
30
40
50
60
2


10.623
13.951
18.116
21.876
11.009
14.583
18.197
21.712
3.6
4.5
0.4
0.7
C-F&C-F
30
40
50
60
0.5


19.649
27.040
35.715
45.932
19.596
27.001
35.590
45.834
0.3
0.1
0.3
0.2
30
40
50
60
1


15.898
21.265
27.312
33.495
15.879
21.325
27.181
33.524
0.1
0.3
0.5
0.1
30
40
50
60
2


11.323
14.339
18.368
22.101
11.440
14.928
18.490
21.976
1.0
4.1
0.7
0.6
C-F&S-S
30
40
50
60
0.5


54.701
75.511
99.951
128.69
54.325
74.975
98.563
126.30
0.7
0.7
1.4
1.9
30
40
50
60
1 44.039
59.194
76.275
93.701
43.755
59.102
75.445
93.109
0.6
0.2
1.1
0.6
30
40
50
60
2


30.273
39.407
51.012
61.554
31.108
41.061
50.989
60.756
2.7
4.2
0.0
1.3

Fig. 4는 경계조건이 F-F&C-C인 사다리꼴 주름판의 유한요소 해석에 의한 1차 진동 모드(mode)를 나타낸 것이다.


Fig. 4 
First vibration mode


4. 결 론

이 연구에서는 사다리꼴 주름판에 대한 엄밀강성과 최적형상을 결정하고 진동해석을 하였다. 그 결과, 다음과 같은 결론을 얻었다.

  • (1) 곡면피팅에 의한 2변수 오차보정식을 산출함으로써 사다리꼴 주름판의 엄밀강성을 제시하였다.
  • (2) 산형 주름판 즉, mc = 0인 경우의 θ = 30°와 동일중량인 사다리꼴 주름판의 강성은 θ = 34°, mc = 0.2761, θ = 40°인 경우는 θ = 45°, mc = 0.2519, θ = 45°인 경우는 θ = 50°, mc = 0.2196, θ = 60°인 경우는 θ = 66°, mc = 0.1865가 최적형상이다.
  • (3) 비주얼베이직에 의한 엄밀강성 및 진동해석 프로그램을 완성함으로써 임의의 경계조건 및 형상을 갖는 사다리꼴 주름판의 실용적이고 효율적인 설계데이터 추출이 가능하다.

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Young-Wann Kim received his Ph.D. degree from Chungnam National University in 1997. He is a professor of Department of Mechanical Design Engineering, Chonnam National University. His research interest includes the structural dynamics & vibration, FSI problems.

Kang Jung received his Ph.D. degree from Hongik University in 1990. He is a professor of Department of Mechanical Design Engineering, Chonnam National University. His research interest includes the structural vibration, fracture behavior.