Fig. 1은 제안된 시스템의 모습을 보여주고 있다. Fig. 1에는 세 좌표계가 나타나 있는데 n^1,n^2,n^3는 절대기준틀의 좌표계, a^1,a^2,a^3는 타이어 림을 나타내는 기준틀 A의 좌표계, 그리고 b^1,b^2,b^3는 기준틀 A의 중심점인 A^*에서 r만큼 떨어진 O점에 장착각 ϕ의 기울기로 설치된 외팔보 고정단 단면 기준틀 B에 고정된 좌표계이다.

Fig. 1 
Configuration of an inward cantilever beam mounted on reference frame A with a setting angle ϕ

Fig. 1에는 바퀴의 움직임을 나타내기 위한 병진 및 회전 운동의 구성이 나타나 있다. θ는 강체 A가 평면 상에서 -n^3방향으로 회전하는 회전 각이다. 회전 운동에 의한 각속도는 다음 식과 같이 각도를 미분한 형태를 이용하여 나타낼 수 있다.

병진 운동은 n^1및 n^2방향으로 나누어 구성하였다. n^1방향 병진 운동은 자동차 주행 속도를 나타내고 n^2방향 병진 운동은 도로 표면 높이 변화에 의하여 발생한다. 그러므로 두 방향의 속도 성분은 다음과 같다.

여기서 R은 지면과 A^*사이의 거리, C는 노면 진폭의 크기, λ는 파장 길이, 그리고 t는 시간을 나타낸다.

Fig. 2는 Fig. 1의 강체 A에 부착된 외팔보 변형 시 형상을 함께 보여주고 있다. x는 외팔보와 고정점 O로부터 변형 전 중립 축 상의 임의의 점까지의 거리, s는 중립 축 상의 임의의 점에서 보가 인장된 길이를 나타낸다. 비틀림 변형은 매우 작아 무시할 수 있다 가정하였다. P₀는 변형 후 x+s의 길이를 갖는 P의 위치로 이동한다. s와 u는 Rayleigh-Ritz 근사화 방법을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Fig. 2 
Undeformed and deformed shapes of the inward cantilever beam

여기서 ϕ_1j, ϕ_2j는 보의 j번째 모드함수, q_1j, q_2j는 j번째 일반좌표, 그리고 μ₁, μ₂는 각각의 일반좌표의 수이다.

P의 속도 v→P는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

위 식을 시간에 대해 미분하여 P의 가속도 a→P를 구하면 다음과 같다.

식 (6)과 (7)에서 u₁은 근사화를 위해 s와 u₂로 나타내야 하며, 다음의 관계식이 유도되어⁽⁸⁾사용된다.

외팔보의 Kane에 의한 운동방정식⁽⁸⁾은 다음과 같이 표현된다.

여기서

여기서 U는 탄성에너지를 나타내며 다음과 같다.

여기서 E는 탄성계수, A는 단면적, I는 면적 2차 모멘트를 나타낸다.

이제 속도, 가속도, 그리고 탄성에너지를 식 (10)과 (11)에 대입하여 식 (9)를 정리하면 다음과 같은 운동방정식을 얻을 수 있다.

식 (13)은 s방향, 식 (14)는 u₂방향 운동방정식이다. 여기서

앞장에 유도된 운동방정식의 정확성을 검증하기 위해 수치 예제를 통해 진동 및 과도 해석을 수행하여 얻은 결과를 상용 프로그램을 이용하여 구한 결과와 비교하였다.

진동해석은 ANSYS Mechanical APDL v19.1을 사용하였으며, 유한요소 모델은 beam 188 요소들을 사용하였다. Fig. 3과 Table 1은 해석에 사용된 파라미터와 물성치들을 보여준다. 해당 예제에 사용된 재료의 물성은 steel의 물성을 사용하였다. 먼저 장착각 ϕ가 0°인 경우 각속도에 따른 고유진동해석을 수행하였다. 제안된 해석 모델과 ANSYS를 사용해 얻은 결과는 Fig. 4와 Table 2에 보여주고 있으며, 상대오차 0.002% 미만의 일치도를 보여준다.

Fig. 3 
Configuration of cantilever beam

Fig. 4 
Comparison of the first natural frequency obtained with proposed model and ANSYS

과도 해석은 Recurdyn V9R1을 사용한 결과들과 비교하였으며, 그 유한요소 모델은 Force의 Beam(G) 요소들을 사용하였다. 이 해석에 사용된 물성치들은 진동해석의 경우와 같다. 과도해석에서 속도의 경우, 0초 ~ 10초는 가속을 하며 10초 ~ 30초는 일정한 속도가 유지되는 spin-up motion을 적용하였다. Fig. 5는 모델 장착각이 0°이고 정상상태 시의 각속도가 55 rad/s에 다다르는 spin-up 운동을 하는 0초 ~ 30초 동안 제안된 모델과 Recurdyn을 사용하여 구한 결과를 비교하여 나타낸 그림이다. Table 3은 과도해석 결과에서 20초 ~ 30초 구간에서 제안된 모델과 Recurdyn 해석 결과의 최대 진폭 상대오차를 나타낸 것으로, 1.03 % 정도의 미세한 차이만을 보여주고 있다. 이상의 진동해석과 과도해석 결과 비교를 통해 제시된 모델링 방법의 정확성과 신뢰성을 파악할 수 있었다.

Fig. 5 
Comparison of transient analysis results obtained with proposed model and Recurdyn

이 장에서는 제안된 모델의 장착각이 0°일 때 각속도 별 과도해석을 수행하고, 해석결과 중 20 ~ 30초 구간에서 최대 진폭을 계산하여 Fig. 6에 나타냈다. 이를 통해 0 rad/s ~ 150 rad/s 범위에서 진폭이 크게 나오는 2개의 구간이 존재함을 확인할 수 있다. 이와 같은 현상은 식 (14)의 밑줄로 표시된 두 항에 의해 발생하는 것으로서 병진방향 성분과 회전방향 성분의 곱은 삼각함수 곱셈 공식에 의해 2개의 삼각함수 성분으로 나뉘게 되어 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Fig. 6 
Transient Analysis result by angular velocity

따라서 병진운동과 회전운동의 연성으로 가진력은 2개의 주파수를 갖게 되고, Fig. 7에서 보듯 제안된 모델의 1차 고유진동수와 가진주파수가 만나게 되는 2개의 지점이 생기는데 이 지점들의 각속도들로 운동을 하면 공진이 발생하게 되며 Fig. 6이 보여주는 결과처럼 큰 진폭이 발생하는 구간이 2개 생기게 된다.

Fig. 7 
The first natural frequency locus and two excitation frequencies generated by coupled motion

앞장에서는 임의 장착각을 갖는 내향 외팔보의 운동방정식을 유도하였다. 내향 외팔보의 경우에는 장착각별로 회전각속도에 따른 고유진동수의 변화 추이가 다르게 나타난다. 변화 추이는 크게 3가지로 구분할 수 있다. 첫 번째는, 장착각이 0° ~ 88.35°의 범위에서는 회전 각속도가 증가함에 따라서 고유진동수가 단순 감소하는 경향을 보여준다.

두 번째는, 장착각이 88.36° ~ 89.62° 범위인 경우로 회전각속도가 증가함에 따라 고유진동수가 증가하다가 감소하는 경향을 보여준다. 세 번째는, 장착각 89.63° 이상인 경우로 회전각속도가 증가함에 따라 고유진동수가 단순 증가하는 경향을 보여준다. Fig. 8과 Fig. 9는 각 경향 별 경계 장착각들에서의 고유진동수 변화를 보여주고 있다.

Fig. 8 
The first setting angle range of the first natural frequency characteristic change

Fig. 9 
The second setting angle range of the first natural frequency characteristic change