이 연구에서 제시할 음향 메타물질 패널은 Fig. 1(a)과 같이 x-y 평면상에 규칙적으로 구멍이 뚫려 있는 구조이고, 그 구멍은 원형 덕트와 그 덕트를 둘러싼 여러 개의 환형 공동(annular cavity)이 연결된 구조이다. Fig. 1(b)와 같이, 여러 개의 단위체를 z축을 따라 배열한 구조를 단위체 배열(array of unit cells: D_x×D_y×D_z)이라고 한다. 단위체 배열이 x-y 평면상에 M×M 형태로 배열되어 음향 메타물질 패널(acoustic metamaterial panel: a₁×a₂×a₃)이 구성된다. Fig. 1(c)는 음향 메타물질의 단위체 구조를 보여주고 있는데, 환형 공동과 덕트 중심으로 연결된 입/출구로 구성되어 있고, 환형 공동 내부에는 곡률이 있는 내부 격벽 4개가 삽입되어 있다. 단위체를 구성하는 환형 공동의 직경(2r_c)과 두께(t_c), 입/출구단의 직경(2r_d)과 두께(t_d), 내부 격벽의 기하학적 형상을 결정하는 회전율(n)이 설계 목적에 맞게 결정다. 환형 공동간 거리는 2t_d로 나타낼 수 있고, 내부 격벽의 곡률은 식 (1)의 아르키메데스 나선(archimedean spiral)식을 이용하여 결정하였다. 각 나선의 시작점들 사이의 각도 차이는 π/2이고, 시작점으로부터 회전 각도(θ)에 따른 각 나선의 (x, y)의 좌표는 각각 식 (1a)와 식 (1b)를 사용하여 결정한다.

Fig. 1 
Proposed acoustic metamaterial panel

음향 메타물질의 음향 특성은 단위체에 대해 음향 해석을 수행하여 얻는 분산 곡선(dispersion curve)을 통해 알 수 있다. 분산 곡선은 파동의 주파수(frequency)와 파수(wavenumber, k)의 관계를 나타내는 곡선으로, 음향 모드가 존재하는 주파수 대역을 나타낸다. 음향 모드가 존재하지 않는 주파수 대역을 밴드갭(band gap)이라 하고, 밴드갭에서는 입사되는 음파의 진폭이 기하급수적으로 감소되어 음파가 차단된다.

Fig. 2는 기준 단위체(reference unit cell: r_c = 100 mm, r_d = 10 mm, t_c = 10 mm, t_d = 5 mm, n = 0.5)에 대해 상용 유한요소 프로그램인 COMSOL Multiphysics (Ver. 5.3)를 사용하여 얻은 분산 곡선을 나타낸다. 단위체의 입/출구단에 플로케 주기 조건(floquet periodic condition)을 부여하여 z축 방향으로 단위체가 무한히 배열된 구조로 가정하였다. “k = 0”을 기준으로 좌우가 대칭인 그래프이기에 k가 양인 구간만 나타낸다. 실선으로 표시된 첫 번째 음향 모드는 파수(k)가 π/L값을 가질 때, Fig. 3(a)와 같은 음압 분포를 갖는다. 점선으로 표시된 음향 모드는 파수(k)가 ‘0’일 때, Fig. 3(b)와 같은 음압 분포를 갖는다. 두 그림 모두 음압의 절대값을 나타내었다. 두 주파수 사이에도 음향 모드가 존재하지만, 수직 입사만 고려하면 덕트 중심부의 음향 가진에 의해 서로 상쇄되는 음압 분포를 가지기 때문에 분산 곡선에서 제외하였다. 즉, 위에서 언급한 두 음향 모드에 의해 이 음향 메타물질의 첫 번째 밴드갭이 형성되고, 이 밴드갭의 주파수 대역(f_low ≤ f ≤ f_upp)의 상한값과 하한값을 각각 f_upp와 f_low라고 표기한다

Fig. 2 
Dispersion curve of the reference unit cell

Fig. 3 
Acoustic mode of the reference unit cell

Fig. 3(a)의 첫 번째 음향 모드는 방사형 모드(radial mode)로 단극 공진(monopolar resonance)이라고 하는데, Li 등은⁽²⁾ 단극 공진이 체적 탄성률 형태 응답(bulk modulus-type response)을 발생하여 음의 유효 체적 탄성계수를 갖는다고 설명하였다. 각 환형 공동들이 단극 공진할 때, 인접한 두 환형 공동안의 입자들은 서로 반대 위상(opposite phase)으로 진동하여 입사파가 점차 상쇄되어 사라진다⁽²⁷⁾. Fig. 3(b)는 두 번째 방사형 음향 모드로 나선형 격벽에 의해 분리된 각 공동의 중심에서 원주방향으로 음압 분포가 형성되었다.

Fig. 4는 단위체 개수를 변화시키며 음향 메타물질의 파워 투과 계수를 나타낸다. 단위체 개수(N)가 많아질수록 음향 메타물질 패널의 소음 차단 구간이 밴드갭과 유사하지만, 패널이 지나치게 두꺼워질 수 있기 때문에, 이 연구에서는 단위체를 5개만 사용한다.

Fig. 4 
Power transmission coefficient curves of array of unit cells depending on their used number

식 (2)와 같이 음향 메타물질 패널로 차단하고자 하는 목표 주파수 대역(target frequency range: f^t_upp ≤ f ≤ f^t_low)이 밴드갭(f^t_low ≤ f ≤ f^t_upp)에 포함되도록, 단위체의 구성 요소(r_c, t_c, r_d, t_d, n)의 값을 결정하고자 한다. 그리고, 이런 구성 요소의 값은 식 (3)의 제한 조건을 만족해야 한다.

본격적인 설계에 앞서, 파라미터 스터디(parameter study)를 통해 각 구성 요소 변화(기준 값 ±50 %)에 따른 밴드갭의 변화를 살펴보고, 밴드갭 변화에 크게 영향을 미치는 구성 요소를 설계 변수로 결정한다. 밴드갭의 상/하한값(f_upp / f_low)과 대역폭(bandwidth: ∆f = f_upp - f_low)의 변화로 밴드갭의 변화 정도를 살펴본다. Case I에서는 환형 공동의 직경(2r_c)을 100 mm에서 300 mm까지 20 mm 단위로 변경할 때 발생하는 밴드갭의 변화를 살펴보았고, 그 결과를 Fig. 5에 나타냈다. Case II에서는 원형 덕트의 직경(2r_d)을 10 mm에서 30 mm까지 2 mm 단위로 변경할 때 발생하는 밴드갭의 변화를 살펴보았고, 그 결과를 Fig. 6에 나타냈다. Case III에서는 환형 공동의 두께(t_c)를 5 mm에서 15 mm까지 1 mm 단위로 변경할 때 발생하는 밴드갭의 변화를 살펴보았고, 그 결과를 Fig. 7에 나타냈다. Case IV에서는 환형 공동간 거리(2t_d)를 5 mm에서 15 mm까지 1 mm 단위로 변경할 때 발생하는 밴드갭의 변화를 살펴보았고, 그 결과를 Fig. 8에 나타냈다. Case V에서는 내부 격벽의 회전율(n)을 0.25에서 0.75까지 0.05 간격으로 변경할 때 발생하는 밴드갭의 변화를 살펴보았고, 그 결과를 Fig. 9에 나타냈다.

Fig. 5 
Effect of 2r_c on the bandgap (case I)

Fig. 6 
Effect of 2r_d on the bandgap (case II)

Fig. 7 
Effect of t_c on the bandgap (case III)

Fig. 8 
Effect of 2t_d on the bandgap (case IV)

Fig. 9 
Effect of n on the bandgap (case V)

환형 공동의 직경이 증가하면 상한/하한 주파수가 모두 감소하고 밴드갭의 대역폭 역시 감소한다. 이것은 환형 공동의 직경의 변화가 밴드갭을 결정하는 두 음향 모드 주파수에 변화를 가져오기 때문이다. 원형 덕트의 직경이 증가하면, 상한 주파수는 감소하지만, 하한 주파수는 증가한다. 환형 공동의 두께와 환형 공동간 거리가 증가하면 상한 주파수는 증가하고 하한 주파수는 감소하여 밴드갭의 폭은 증가한다. 내부 격벽의 회전율이 증가하면 상한/하한 주파수가 함께 감소하는데, 상한 주파수가 하한 주파수보다 크게 감소하여 밴드갭의 폭도 감소한다. 구성 요소의 변화가 밴드갭에 미치는 영향을 정량적으로 나타내기 위해 밴드갭 폭의 상대적 변화량(∆RBW = |∆f_(+50%) - ∆f_(-50%)| / ∆f_ref × 100)을 비교해 보았다. 이 계산식에서, ∆f_ref는 기준 단위체를 사용한 경우의 밴드갭의 폭이고, ∆f_(+50%)는 각 구성 요소의 값을 기준 단위체의 50 % 증가된 값을 사용했을 때의 밴드갭의 폭이며, ∆f_(-50%)는 각 구성 요소의 값을 기준 단위체의 50 % 감소된 값을 사용했을 때의 밴드갭의 폭이다. 계산 결과, 구성 요소 중 환형 공동의 직경(2r_c)과 내부 격벽의 회전율(n)이 상대적 밴드갭 폭 변화량에 가장 크게 영향을 미쳤다. (∆RBW = 85.32 % for 2r_c, 35.96 % for 2r_d, 8.085 % for t_c, 2.340 % for 2t_d, 94.47 % for n). 따라서, 설계 변수를 환형 공동의 직경(2r_c)과 회전율(n)로 결정하였다.

목표 주파수 대역은 300 Hz ~ 600 Hz, 음향 메타물질 패널의 두께(a₃)는 100 mm, 패널 단면의 가로(a₁)와 세로(a₂)의 길이는 모두 300 mm, 배열되는 단위체의 개수(N)는 5로 설정한다. 5개의 구성 요소 중 환형 공동의 두께(t_c), 원형 덕트의 직경(2r_d)과 두께(t_d)는 기준 단위체의 값을 사용한다: t_c = 10 mm, r_d = 10 mm, t_d = 5 mm. 이 경우, 단위체의 두께(L)는 20 mm가 된다. 따라서, 식 (2)와 식 (3)을 만족하도록 환형 공동의 직경(2r_c), 내부 격벽의 회전율(n)과 패널 단면에 존재하게 될 구멍의 개수(M)를 결정하면 된다.

먼저, 환형 공동의 직경(2r_c)이 가질 수 있는 값을 5개(160 mm, 180 mm, 200 mm, 220 mm, 240 mm), 내부 격벽의 회전율(n)이 가질 수 있는 값을 10개(0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0)를 선택하였다. 이렇게 구성된 50개의 조합에 대하여 분산 곡선을 그려서 밴드갭의 상한/하한 주파수를 얻었다. Fig. 10(a)는 환형 공동의 직경이 180 mm일 때, 내부 격벽의 회전율에 따른 밴드갭의 상한/하한 주파수를 나타낸 것이다. 목표 주파수 대역을 회색 상자로 나타냈다. Fig. 10(b)는 환형 공동의 직경이 240 mm일 때, 내부 격벽의 회전율에 따른 밴드갭의 상한/하한 주파수를 나타낸 것이다. 이렇게 50가지 경우에 대하여 밴드갭의 상한/하한 주파수를 얻었고, 식 (2)를 만족하는 경우가 다수 존재하였다. 즉, 환형 공동의 직경과 회전율만 변경하여 식 (2)을 만족하는 단위체를 설계할 수 있다는 것을 알 수 있었다. 그중에서 단위체의 부피를 줄이기 위해서, 환형 공동의 직경이 가장 작은 경우를 선택하였다: ∆ f = 329 Hz, f_upp = 629 Hz, f_low = 300 Hz, 2r_c = 180 mm, 2r_d = 20 mm, t_c = 10 mm, 2t_d = 10 mm, n = 0.8.

Fig. 10 
Bandgap depending on n

앞 장에서 선택한 단위체를 z축 방향으로 5번 반복 배열하여 “단위체 배열(array of unit cells)”을 구성하였고, 이 단위체 배열을 x-y 평면상에 2 × 2 형태로 배열하여 음향메타물질 패널을 구성하였다. Fig. 11은 단위체 배열과 음향 메타물질 패널의 파워 투과 계수 곡선을 계산하여 비교한 그림이다. 두 파워 투과 계수 곡선이 거의 일치하는 것으로 보아, 단위체 배열의 음향 특성이 음향 메타물질 패널의 음향 특성을 잘 나타내 주는 것을 알 수 있다. 따라서 특별한 언급이 없으면, 음향 메타물질 패널의 음향 특성은 단위체 배열에 대한 해석 결과로 나타낸다.

Fig. 11 
Comparison of power transmission coefficients: array of unit cells versus acoustic metamaterial panel

음향 메타물질 패널의 음향 특성을 구멍이 없는 등가 질량 패널과 비교하였다. 음향 메타물질 패널의 구멍과 환형 공동은 공기로 채워져 있고 나머지 부분은 고체 물질로 채워져 있다. 질량 법칙을 따르는 일반 패널의 음향 특성을 비교하여, 설계한 음향 메타물질 패널의 음향 특성을 살펴보고자 한다. 이를 위해 음향 메타물질 패널의 고체 물질을 아크릴로 가정하고, 비교할 일반 패널의 밀도는 식 (4)를 만족하는 등가 질량 밀도(equivalent mass density: ρ_eq)를 이용하여 계산하였다.

식 (4)에서 공기 밀도(ρ_air)와 아크릴 밀도(ρ_acryl)는 각각 1.21 kg/m³와 1190 kg/m³를 사용하였고, 공기의 음속(c_air)과 아크릴의 음속(c_acryl)은 각각 343 m/s와 2730 m/s를 사용하였다. 얻어진 등가 질량 밀도(ρ_eq)는 1019.9 kg/m³이다. 또한, V_air, V_acryl, V_total은 각각 1.3 × 10^(-3) m³, 7.7 × 10^(-3) m³, 9.0 × 10^(-3) m³이다. Fig. 12는 음향 메타물질 패널과 등가 질량 패널의 투과 손실을 계산하여 비교한 그래프이다. 303 Hz ~ 652 Hz 대역에서 음향 메타물질 패널의 투과 손실이 구멍이 없는 등가 질량 패널의 투과 손실에 비해 상당히 높은 것을 알 수 있다.

Fig. 12 
Comparison of transmission loss curves of a proposed acoustic metamaterial panel and an equivalent mass panel

Fig. 13(a)에 보이는 것처럼, 설계한 음향 메타물질(단위체 배열)을 제작하고, Fig. 13(b)의 실험 장치를 이용하여 패널의 음향 특성을 실험적으로 검증한다. 덕트의 한쪽 끝에서 스피커(InterM DU-75)를 사용하여 전 주파수 대역에서 거의 동일한 크기를 갖는 음파를 패널에 수직으로 입사시키고, 입사되고 투과되는 음파를 양쪽 끝의 경계 조건에 관계 없이 정확히 분리하기 위해 4개의 마이크로폰(GRAS 46BE Microphone)을 사용하여 측정하였다. 실험에 필요한 신호 발생과 데이터 측정 및 후처리에는 LMS Testlab(Ver. 10a)을 사용하였다. Fig. 13(c)에서는 설계한 음향 메타물질 패널의 유한요소 해석과 음향 실험으로 구한 투과 손실 곡선을 비교한다. 두 그래프의 소음 차단 구간은 상당히 일치하는 것을 볼 수 있다. 이 소음 차단 구간에서, 측정한 투과 손실이 전체적으로 낮은 값을 갖는다. 이러한 차이의 원인은 유한요소 해석에서 사용한 강체 벽(rigid wall) 가정에서 기인한 것으로 추정된다. 해석에서 사용한 음향 모델은 강체벽으로 둘러싸여 있다고 가정하였지만, 제작한 음향 메타물질을 구성하는 아크릴 판의 일부가 진동하는 것을 인지할 수 있었다. 특히, 일렬로 배열된 인접한 두 환형 공동을 분리하는 아크릴 판은 입사파에 의한 진동을 피할 수가 없었다. 이를 감안하더라도 목표 주파수 대역인 300 Hz ~ 600 Hz에서 소음이 차단되는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 13 
Acoustic experiment for acoustic metamaterial (array of unit cells)

Jung⁽²⁷⁾이 사용한 음향 메타물질을 이용하여 주어진 목표 주파수 대역(300 Hz ~ 600 Hz)이 밴드갭 영역에 포함되도록 음향 메타물질 패널을 설계하였다. 환형 공동의 두께(t_c = 10 mm), 원형 덕트의 직경(2r_d = 20 mm)과 두께(t_d = 5 mm)는 같은 값을 사용하였다. Jung⁽²⁷⁾이 제안한 단위체는 내부에 격벽이 없는 구조의 환형 공동을 사용하는데, Fig. 14와 같은 분산 곡선 그래프를 얻었다(k가 양인 구간만 나타내었다). 그림에서 밴드갭의 하한과 상한 주파수를 결정하는 음향 모드는 각각 1차와 2차 방사형 음향 모드(radial acoustic mode)이다. 그 사이에 존재하는 방위각 음향 모드(azimuthal acoustic mode)는 평면파 입사 조건에서 가진되지 않으므로 나타내지 않았다. 설계 결과, 상한/하한 주파수는 300 Hz와 1349 Hz이고, 1049 Hz의 대역폭을 얻을 수 있었지만, 환형 공동의 직경이 306 mm에 달하였다. 이 연구에서 제안한 Fig. 1(c)의 단위체를 사용하여 얻은 음향 메타물질의 환형 공동 직경이 180 mm임을 고려할 때, Jung⁽²⁷⁾이 제안한 단위체의 직경이 지나치게 큰 것을 알 수 있다. 즉, 이 연구에서 제안한 단위체 모델은 내부 격벽이 없는 구조에 비해 밴드갭의 대역폭은 줄어들었으나, 환형 공동의 직경이 작아져 실제 사용하기에 활용도가 높다고 할 수 있다. 나선형 내부 격벽에 의해서, 구멍 중심에서 환형 공동의 원주까지의 유효 길이가 길어져서 좀 더 짧은 외경으로도 저주파수대역의 밴드갭 형성이 가능한 것으로 추정된다.

Fig. 14 
Dispersion curve of Jung’s acoustic metamaterial designed for the target frequency