음향 공동의 지배방정식은 식 (1)과 같이 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)의 형태를 가진다⁽¹¹⁾.

여기서 r은 음향 공동 내부의 한 점에 대한 위치 벡터를 의미하고, p(r)은 음향 공동 내부의 한 점에서의 음압(sound pressure)을 나타내며, k는 주파수 파라미터이다. 그리고 음향 공동 경계 조건은 개방 경계 조건과 강체벽 경계 조건으로 다음과 같이 각각 주어진다⁽¹¹⁾.

여기서 r_Γ는 음향 공동 경계상의 한 점에 대한 위치 벡터이며, n은 경계에서의 법선 방향을 의미한다.

Fig. 1에서 점선으로 표시된 다각형은 해석 대상 음향 공동을 나타낸다. 먼저, 음향 공동의 i번째 경계(모서리) Γ_i에서 식 (4)와 같은 평면파(plane wave) 음압 파동이 발생하여 무한 음향장으로 퍼져 나간다고 가정한다.

Fig. 1 
Arbitrarily shaped acoustic cavity (dotted lines) located on an infinite acoustic filed

여기서 (x_i,y_i)는 경계 Γ_i에 설정된 로컬 직각 좌표계(local cartesian coordinate system)를 의미하며, N_s는 경계 Γ_i에서 발생한 평면파에 사용된 코사인 급수 함수의 개수, Ami은 경계 Γ_i에서 발생한 평면파의 진폭 미지 계수, L_i는 경계 Γ_i의 길이, j는 순허수를 나타낸다.

이제, Fig. 1에서 음향 공동 내부의 한 점 P에서의 음압 P(r)은 식 (5)와 같이, 모든 경계 모서리에서 발생한 평면파 음압 파동의 선형 중첩으로 가정한다.

여기서 N_e는 음향 공동 모서리의 개수를 의미한다.

먼저, 해석 대상 음향 공동의 일부 경계가 개방 경계로 이루어져 있다고 가정한다. 즉, 전체 N_e개의 경계 중에, 경계 Γ₁, Γ₂, ···, Γ_Nc는 강체벽 경계(N_c개 경계)이고, 경계 Γ_Nc+1, Γ_Nc+2, ···, Γ_Ne는 개방 경계(N_p개 경계)인 것으로 가정한다. 다음으로, 해석 대상 음향 공동의 강체벽 경계 조건과 개방 경계 조건을 다음과 같이 코사인 급수 함수의 선형 중첩으로 잠정적으로 각각 가정한다.

여기서 Vnr와 Unr는 미지 계수를 의미한다.

앞에서 가정한 음압 식 (5)를 강체벽 경계조건 식 (6)에 대입하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

식 (8)에서 두 좌표계 (x_i,y_i)와 (x_Γ,y_Γ)는 다음과 같은 상관 관계식을 만족한다.

여기서 계수 a_ir, b_ir, ···, f_ir는 두 좌표계의 원점과 방향을 고려하는 방법에 의해 구해질 수 있다. 식 (8)에 식 (4)를 대입하면 다음과 같이 된다.

식 (11)에 포함된 위치 변수 x_i, y_i, x_τ를 없애기 위해, 식 (11)의 양변에 cos(qπx_r/L_r)를 곱한 후에 경계 Γ_r을 따라 적분을 수행한다. 그러면 다음과 같이 된다.

식 (12)의 우변은 코사인 함수들의 직교성 덕택에 다음과 같이 간단히 된다.

식 (13)을 식 (12)에 대입하면 다음과 같이 된다.

식 (14)는 다음과 같이 간단히 표현될 수 있다.

여기서 Gq,mr,i은 다음과 같다.

앞에서 가정한 음압 식 (5)를 개방 경계조건 식 (7)에 대입하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

식 (17)에 식 (4)를 대입하면 다음과 같이 된다.

식 (18)의 양변에 cos(qπx_r/L_r)를 곱한 후에 경계 Γ_r을 따라 적분하면 다음과 같이 된다.

식 (19)는 다음과 같이 간단히 표현될 수 있다.

여기서 Hq,mr,i는 다음과 같다.

참고로, r=i와 q=m인 경우에 식 (16), (21)은 발산하여 바로 계산될 수 없으며, 극한 개념을 적용하여 계산하는 특별한 추가 조치가 필요하다.

앞에서 구한 식 (15)와 식 (20)은 다음과 같이 각각 행렬식의 형태로 표현이 가능하다.

여기서 로컬 시스템 행렬 SM_G와 SM_H의 [(r-1)N_s+(q+1)]행 [(i-1)N_s+(m+1)]열 성분은 각각 식 (16)과 식 (21)에 의해 각각 주어진다. 그리고 벡터 A의 [(i-1)N_s+(m+1)]열 성분은 Ami이며, 벡터 V와 U의 [(r-1)N_s+(q+1)]행 성분은 각각 Uqr와 Vqr이다. 마지막으로 최종 시스템 행렬식은 식 (22)와 식 (23)을 하나로 합치는 방법에 의해 다음과 같이 구해진다.

여기서 [SM_G SM_H]^T는 크기가 N_sN_e인 정사각 행렬이며, 이 논문에서는 글로벌 시스템 행렬로 정의한다. 식 (24)에 식 (6), (7)의 강체벽 경계 조건과 개방 경계 조건을 고려하면 각각 V = 0과 U = 0에 해당되므로, 식 (24)는 다음과 같이 된다.

식 (25)에서 A=0이 안 되기 위해서는 다음과 같이 글로벌 시스템 행렬의 판별식이 0이 되어야 한다.

식 (26)에서 로컬 시스템 행렬 SM_G와 SM_H는 식(1)에서 설명한 주파수 파라미터 (k의 함수이며, 식(26)을 만족하는 주파수 파라미터값으로부터 해석 대상 음향 공동의 고유치를 구할 수 있다.

Fig. 2와 같은 엄밀해(exact solution)가 존재하는 혼합 경계 조건을 가진 직사각형 음향 공동(가로 1.2 m, 세로 0.9 m)에 이 논문에서 제안된 방법을 적용하였다. Fig. 2에서 실선 경계는 강체벽 경계를 의미하며, 점선 경계는 개방 경계를 의미한다.

Fig. 2 
Rectangular cavity with a mixed boundary (rigid-wall: ∂p/∂n=0 and pressure-release: p=0)

식 (26)을 만족하는 주파수 파라미터 값은 글로벌 시스템 행렬의 특이치(singular value)에 해당된다. 그래서, Fig. 3과 같이 N_s=4인 경우에 대해 det[SM_GSM_H]^T 곡선을 주파수 파라미터에 대해 그렸으며, 이 곡선에서 시스템 행렬 [SM_GSM_H]^T의 특이치들을 S₁ ~ S₁₂로 표시하였다. Table 1의 첫 번째 열에 요약된 이 특이치 값들을 혼합 경계에 대한 엄밀해(Table 1의 두 번째 열)⁽¹²⁾와 비교해보면, 6개 특이치 S₁, S₄, S₅, S₈, S₁₀, S₁₂만이 엄밀해와 정확히 일치함을 알 수 있다. 나머지 특이치들은 허위 고유치(spurious eigenvalue)에 해당되며, 이들 허위 고유치들 중에 S₂, S₃, S₆, S₇, S₉, S₁₁는 해석 대상 음향 공동과 같은 형상을 가진 강체벽 경계 음향 공동의 고유치(Table 1의 세 번째 열)와 일치하고, S₆,와 S₉는 개방 경계 음향 공동의 고유치(Table 1의 마지막 열)와 일치함을 알 수 있다. 이러한 사실로부터, 식 (26)에 의해 구해지는 고유치들 속에는 강체벽 경계 음향 공동의 고유치들과 개방 경계 음향 공동의 고유치들에 해당하는 허위 고유치들이 포함된다는 것을 알 수 있다. 다음 절에서는 이들 허위 고유치들을 제거하기 위한 방안이 제시된다.

Fig. 3 
Determinant curves for det[SM_GSM_H]^T of the rectangular cavity with the mixed boundary using N_s=4

3.1절에서 허위 고유치가 발생하는 원인은 글로벌 시스템 행렬 [SM_GSM_H]^T이 식 (27)과 같이 여러 개의 시스템 행렬들의 곱으로 나타내어 지기 때문인 것으로 추정 된다.

여기서 [SM_∂p/∂n=0]은 강체벽 경계 음향 공동의 시스템 행렬, [SM_p=0]은 개방 경계 음향 공동의 시스템 행렬, [SM_Mixed]은 혼합 경계 음향 공동의 시스템 행렬을 의미한다. [SM_∂p/∂n=0]은 식 (5)를 강체벽 경계 조건 식 (6)에 대입하는 방법(단, 식 (6)에서 r=1, 2, ···, N_e로 변경)에 의해 구해질 수 있다. 마찬가지로, [SM_p=0]은 식 (5)를 개방 경계 조건 식 (7)에 대입하는 방법(단, 식 (7)에서 r = 1, 2, ···, N_e로 변경)에 의해 구해질 수 있다. 참고로, [SM_Mixed]은 직접적으로 구해질 수 없다.

식 (27)을 식 (26)에 대입하면 다음과 같이 된다.

식 (28)로부터 혼합 경계 음향 공동의 시스템 행렬의 판별식을 식 (29)와 같이 구할 수 있다.

Fig. 4는 관심 주파수 대역에서 det[SM_Mixed] 곡선을 주파수 파라미터에 대해 그린 결과를 보여준다. Fig. 3의 곡선과는 차별적으로, 혼합 경계를 가진 음향 공동의 고유치에 해당되는 6개의 특이치들(S₁, S₄, S₅, S₈, S₁₀, S₁₂)만이 곡선에서 나타나고, 허위 고유치 값들은 특이치들에서 성공적으로 배제됨을 확인할 수 있다.

Fig. 4 
Determinant curves for det[SM_Mixed] of the rectangular cavity with the mixed boundary using N_s=4

Fig. 2의 혼합 경계 조건을 가진 직사각형 음향 공동에 이 논문에서 제안된 방법(식 (29))을 적용하여, 급수 함수의 개수 N_s값을 변화시킴에 따른 고유치의 수렴성과 정확성을 확인하고자 한다.

Table 2는 이 논문에서 제안된 방법(proposed method), 엄밀해(exact solution)⁽¹²⁾, FEM(ANSYS)에 의해 구해진 고유치 결과들을 보여준다. 표에서 알 수 있듯이, 이 논문에서 제안된 방법은 단지 N_s=3일 때 엄밀해에 완전히 수렴된 정확한 결과를 제공함을 확인할 수 있다. 1271개의 많은 노드를 사용한 FEM(ANSYS) 고유치 결과는 엄밀해와 0.03 % ~ 0.17 % 정도의 오차를 가지는 것으로 확인되며, 이 사실로부터 제안된 방법이 FEM에 비해 적은 수치 계산량으로도 더 정확한 결과를 제공함을 확인할 수 있다. 한편, 인 경우에 여섯 번째 고유치는 아직 구해지지 않음을 확인할 수 있으며, 이는 여섯 번째 고유 모드 형상이 2개의 급수 함수로는 나타내기가 충분치 않기 때문인 것으로 판단된다.

Table 2에의 마지막 열에는 NDIF법⁽¹³⁾에 의해 구해진 고유치 결과를 보여준다. 저자가 처음 개발한 고정밀도 고유치 추출 기법⁽¹⁴⁾인 NDIF법은 노드 수가 증가할 경우, 저차의 고유치가 수렴하지 않고 발산하는 단점이 존재한다. 이러한 이유로 해서 첫 번째 고유치가 구해지지 않음을 Table 1에서 확인할 수 있다. 반면에 이 논문에서 제안된 방법은 이러한 단점이 나타나지 않음을 확인할 수 있다.

이 예제 검증에서는 Fig. 5와 같은 혼합 경계를 가진 임의 형상 음향 공동이 고려되었다.

Fig. 5 
Arbitrarily shaped cavity with a mixed boundary condition (rigid-wall:∂p/∂n=0 and pressure-release:p=0).

Fig. 6은 N_s=6인 경우에 대한 식 (29)의 det[SM_Mixed] 곡선을 보여준다. 이 곡선상에 표시된 6개의 특이치 S₁ ~ S₂은 Table 3에 요약되었으며, 이 값들은 FEM에 의해 구한 고유치들과 단지 0.03 % ~ 0.15 % 오차 범위 내에서 거의 일치함을 보여준다. 아울러 허위고유치들이 성공적으로 제거되어졌음도 확인 가능하다. N_s=5,7,8에 대한 고유치 추출 결과도 Table 3에 요약되었다. N_s값이 증가됨에 따라 고유치가 어떤 값에 수렴이 되는 우수한 수렴성을 가짐을 확인할 수 있으며, 단지 N_s=8개를 사용한 경우의 고유치들은 2542개의 많은 노드를 사용한 FEM 결과와 거의 정확히 일치함(0.03 % ~ 0.08 % 오차 범위)을 알 수 있다. 참고로 해석 대상 음향 공동은 엄밀해가 존재하지 않기 때문에, 많은 노드를 사용한 FEM 결과와 비교하여 제안된 방법의 정밀도와 수렴성을 검증하였다.

Fig. 6 
Determinant curves for det[SM_mixed] of the rectangular cavity with the mixed boundary using N_s=6