충돌 댐퍼는 충돌체와 진동 저감이 요구되는 구조체의 상호 진동 연성에 의해 비탄성 효과로 전달되는 진동에너지를 마찰 및 열에너지, 음향에너지로 소산 시킴으로써 진동 감쇠가 발생하게 한다. 이런 충돌댐퍼가 음향블랙홀형상을 가진 보와 충돌을 하게 되면 음향블랙홀이 없는 경우보다 더 큰 에너지 소산을 유도할 수 있다. 충돌이 일어나기 위해서는 초기 발생되는 진동의 크기가 중요하고 따라서 진동에너지가 응집되는 음향블랙홀로 인하여 충돌체에 더 큰 충돌을 일으킬 수 있게 된다. 이를 통하여 광대역 주파수 범위에 대해 효율적인 감쇠 효과를 가져올 수 있다. 충돌댐퍼는 감쇠 효과의 극대화를 위해 주 진동계 전체 면적에 분포할 때 큰 저감효과를 가져올 수 있으나 음향블랙홀이 적용된 보의 경우 음향블랙홀 영역에만 적용하여 큰 저감효과를 가져올 수 있다. 음향블랙홀이 구성된 보의 횡방향 진동방정식은 다음과 같이 나타내어진다.

여기서 E는 보의 탄성계수, I는 관성모멘트, ρ는 보의 밀도이며 A는 보의 단면적을 각각 나타낸다. x와 t는 각각 보의 진동에 대한 위치와 시간 변수를 나타낸다. w는 보의 변위를 나타내고 다음과 같은 조화함수형태의 해를 가질 수 있다.

충돌에 대한 운동량 보존법칙은 다음과 같이 표현된다.

여기서 m은 충돌체의 질량이며 ρ는 주진동계의 밀도, A는 단면적을 나타낸다. ν˙와 w˙는 충돌체와 음향블랙홀이 구성된 보 요소들 각각의 충돌 속도를 각각 나타낸다. 이때 충돌체와 충돌체 지점의 빔 요소의 충돌에 의한 진동에너지 소산은 다음과 같은 반발계수로 계산된다.

여기서 e 는 충돌에 따른 반발계수를 나타내고 식 (3)과 식 (4)를 연립함으로써 충돌 전후의 속도를 계산할 수 있다.

음향블랙홀은 구조체의 단면 두께가 지수 법칙에 따라 감소하면서 진행파가 반사되지 않도록 설계된 구조이다. 음향블랙홀 형상에 대한 지수 법칙은 다음과 같이 나타낸다⁽⁵⁾.

여기서 x는 보의 길이 방향 좌표를 나타내고 따라로 나타내어진다. 보의 한 쪽에서 가진 되어 발생한 진동파는 전달되면서 단면이 변화하는 형상 부분에서 반사되지 않고 길이 방향으로 계속 진행하게 되고 주파수 별 진동에너지가 누적되어 한 방향으로 영구적인 진행을 하는 구조이다. 결국 진동체의 끝에서 두께가 0이 되는 경우 최종적으로 진동이 반사되지 않고 한곳에 응집이 된다. 그러나 두께가 매우 작은 구조물은 제작에 한계가 있어서, 진동에너지는 다시 반사되어 나오게 된다. 음향블랙홀의 이런 단점을 보완하기 위해, 음향블랙홀에 제진재를 추가하여 진동을 감쇠하는 연구가 있다⁽⁶⁾. 이 연구에서는 충돌 댐퍼를 이용하여 감쇠 요소를 적용시킴으로써 진동 저감을 효율적으로 향상 시키고자 한다. 음향블랙홀 형상의 빔에서 진동이 반사되는 정도를 나타내는 지표인 반사 계수를 구하고 이를 통해 특정 형상에 따른 진동의 응집 정도를 구할 수 있다. Fig. 1은 반사 계수를 구하기 위한 수학적 모델을 적용하기 위해 전체 길이 0.36 m를 가지고 동시에 0.18 m 지점부터 블랙홀 형상을 가진 외팔보를 형상화한 것이다. 빔의 폭은 0.03 m, 두께는 0.003 m로 설정하였다. 0.12 m와 0.24 m 위치에서의 변위값을 토대로 하여 반사 계수를 위한 연립방정식을 도출하였다. 빔의 위치에 대한 해를 가진점의 변위값으로 나누어 식 (6)을 통해 전파 및 소멸 반사 계수를 만든다. 여기서 k_b는 주파수와 연관된 파수를 나타낸다. 0.12 m의 가속도계와 0.24 m 위치의 각각에 대한 고정단의 가속도계의 비율은 다음과 같이 나타내어진다.

Fig. 1 
High pass filter along additional time delay

두 개의 센서 위치에 대한 변위값을 각 식에 적용하고 A로 나누어 B에 대한 비율을 R_p, C에 대한 비율을 R_e로 하여 두 개의 미지수로 표현하고, 여기서 R_p는 진행파에 대한 반사계수를 나타내며 음향블랙홀의 형상에 따른 진동 집적도는 R_p를 기준으로 판단할 수 있다. 식 (6a)와 식 (6b)를 연립함으로써 R_p와 R_e를 도출한다⁽²⁾. 최적의 형상을 도출하기 위해 여러 형상에 대해 이론적 결과를 도출하였다. 점차 얇아지는 형상의 적층형(layered) 음향블랙홀과 반구 형태로 파여져서 배열된 반구형(spherical) 음향블랙홀을 각각 블랙홀 구역에 적용하여 균일한(uniform) 빔과 비교하였다. 적층형 블랙홀의 경우 ε과 n은 각각 0.05, 0.7이고 반구형 블랙홀의 경우 2, 0.03이다. Fig. 3은 Fig. 2에 나타난 여러 형상에 적용하여 실험적으로 도출한 반사 계수 비교 결과이다. Fig. 2의 적층형 빔과 반구형 빔의 경우, 길이 400 mm 및 두께 3 mm의 빔으로 구성하였으며 적층형 음향블랙홀 빔의 경우 중간부분은 2 mm, 1 mm 그리고 끝 단은 0.5 mm두께로 구성하여 음향블랙홀을 구현하였다. 반구형 형태의 음향블랙홀 빔은 25 mm의 지름과 깊이 3 mm를 가진 형태로 구성하였다. Fig. 1과 같이 장비와 시편을 설치하여 반사계수를 도출하였다. 실험결과를 통해 음향블랙홀이 적용되지 않은 경우보다 적층형 음향블랙홀의 경우가 더 낮은 반사 계수가 나타났고, 반구형 음향블랙홀이 적층형 음향블랙홀보다 더 뛰어난 진동응집현상을 보였다. 따라서 반구형 음향블랙홀에 충돌댐퍼를 적용할 경우 적층형 음향블랙홀에 충돌댐퍼를 적용한 경우보다 충돌 시 감쇠 효과를 더 크게 가져올 수 있다.

Fig. 2 
Two types of blackholes

Fig. 3 
Reflection coefficients for various beam shape

이론에 근거하여 충돌댐퍼가 적용된 빔의 응답을 도출하기 위해, 1차원 무한 빔 요소에 충돌댐퍼를 도입하여 충돌체와 보의 충돌 전후 속도와 반발계수에 의한 속도 변화를 변위에 반영하여 응답을 구한다. Euler-Bernoulli 빔의 각 요소와 충돌체의 충돌 후 최종 속도는 운동량보존 식 (3)과 충돌 운동을 나타내는 식(4)를 연립함으로써 다음과 같이 도출된다.

여기서 첨자 +와 –는 충돌 전과 충돌 후 순간을 각각 나타내고 L_i는 충돌이 일어나는 보의 요소 길이, t는 충돌이 일어나는 시간을 나타낸다. 첨자 i는 나뉘어진 보 요소 순서를 표현하며, 보는 40개의 요소로 각각 나뉘어졌다. 해당 보 요소와 충돌을 일으키는 충돌체의 질량은 m으로 나타내어진다. 보 요소의 속도 해를 찾기 위해 Runge-kutta method를 도입하여 빔과 충돌체의 속도를 도출한다. 각각의 보 요소의 속도가 도출되면 각 보 요소에서의 시간 별 변위에 대해 FFT를 수행한다. 보 요소의 FFT수행에 따라 주파수 별 응답이 도출되면 고정단의 응답과 보 임의의 위치의 응답에 대한 비율을 통해 주파수 별 전달함수를 도출한다. Fig. 4는 충돌체가 빔에 충돌함에 따라 나타나는 감쇠성능을 유한요소법(FEM) 이론모델에 근거하여 계산된 응답을 전달함수로 표현한 것이다. 충돌체가 도입됨에 따라 200 Hz 이상 범위에서 진동이 감쇠되고, 반구형 음향블랙홀이 적용된 빔에 충돌체가 도입된 경우가 균일한 빔에 충돌체가 도입된 경우보다 200 Hz 이상 범위에서 더욱 크게 감쇠되는 것을 확인하였다. 이를 기반으로 음향블랙홀이 균일한 빔에 비해서 진동의 응집하여 충돌체와의 충돌에 의한 감쇠효과를 더 크게 가져올 수 있음을 확인하였다.

Fig. 4 
Calculated transfer functions depending on whether or not impact dampers attached