Fig. 1과 같이 유한한 크기의 평면(plate)에 입사된 파(wave)는 시스템 끝단에서 반사되어 반사파가 생성된다. 이때 반사파의 크기와 위상은 끝단 경계조건인 임피던스(impedance)에 의해 결정되며, 입사파와 반사파의 위상이 같은 경우 정재파(standing wave)가 생성된다. 이러한 현상을 모드(mode)라 하며, 정재파의 형상은 모드 형상(mode shape)이라 한다⁽⁴⁾. 평판의 모드는 판의 크기, 경계조건 및 구성하는 재료의 물성 등에 의해 결정되며, 균일한 재료로 구성된 유한한 직사각형 평판의 모든 끝단이 단순지지(simple support)로 지지되어 조건에서는 식 (1)을 이용하여 진동 모드를 이론적으로 계산할 수 있다⁽¹⁰⁾.

Fig. 1 
Sign convention and coordinate systems for a rectangular plate excited by a point force

여기서, ρ_t는 판의 면밀도(kg/m²), n_x와 n_y은 각 축의 모드 차수, l_x와 l_y는 각 축의 판의 길이(m)를 나타낸다. D는 판의 굽힘 강성(bending stiffness) (N/m)을 의미하며 식 (2)를 이용하여 계산할 수 있으며, E는 재료의 탄성계수(P_a), ν는 푸아송비, h는 판의 두께(m)를 의미한다.

Fig. 1과 같이 가진력 F_z가 판의 (x₁, y₁) 지점에 가진되는 경우 (x₂, y₂)지점의 운동(transverse displacement)은 식 (3)과 같이 정의할 수 있으며, 여기서 ψ_m는 m차 모드 형상, M은 질량(kg)을 의미한다.

각 차수의 모드 형상은 식 (4)를 이용하여 계산할 수 있다. 따라서 유한한 크기의 판의 거동을 설명하기 위해서는 선행적으로 진동 모드 분석이 요구되며, 재료 물성, 판의 길이 및 경계조건이 주요 변수로 작용한다.

주파수 대역을 옥타브 대역으로 변환하는 경우 대역 내 포함된 모드들을 중첩하여 응답을 설명하며, 여기서 각 모드 기여도는 모드 밀도에 따라 상이한 특성을 보유하게 된다. 모드 밀도(mode density)란 단위 주파수 당 평균 모드의 수로 정의되며, 식 (5)를 이용하여 계산 할 수 있다. 여기서, N은 옥타브 내 존재하는 모드 개수, △ω는 옥타브 대역폭을 나타낸다.

즉, 모드 밀도가 적으면 옥타브 내 존재하는 모드 개수가 적기 때문에 개별적인 모드 기여도가 높으며, 모드 밀도가 높으면 옥타브 내 모드의 중첩으로 인하여 개별적인 모드 특성이 저감된다.

공동주택 내 발생하는 바닥충격원의 진동 에너지 전달은 굽힘파(bending wave) 형태로 전달되며, 굽힘(bending) 진동에 대한 모드 밀도는 식 (6)과 같이 정의된다⁽¹¹⁾. 여기서 h는 슬래브의 두께(m), c_l은 판의 종파 속도(longitudinal wave speed)를 나타낸다.

진동하는 판의 표면에서 음이 발생하는 현상을 음향 방사(acoustic radiation)라 하며, 무한한 크기의 구조물에서 음향 공간으로 방사되는 공간 평균 음향 파워는 식 (7)과 같이 정의할 수 있다⁽¹¹⁾.

여기서 v는 구조물의 진동 속도(transverse velocity), ρ₀는 공기의 밀도(kg/m³), c₀는 공기의 음속(m/s), A는 판의 면적(m²), σ_rad는 방사효율(radiation efficiency)를 나타낸다.

구조물의 공간 평균 진동 속도 (space-average mean-squared transverse velocity)는 식 (8)과 같이 하중 F에 대해 공간 평균속도를 구할 수 있다.

여기서, η는 손실계수(loss factor), ρ_t는 판의 면밀도(kg/m²), κ는 h/√12, G_dp는 가진점에서의 모빌리티(driving point mobility)를 나타낸다. 평판의 G_dp는 식 (9)를 이용하여 이론적으로 계산할 수 있다⁽¹¹⁾.

결과적으로 하중 F_z에 의해 방사되는 음향파워는 식 (10)과 같이 계산할 수 있으며⁽¹²⁾, 여기서 ρ₀는 공기의 밀도(kg/m³), c₀는 공기의 음속(m/s), σ_rad는 방사효율, ρ_t는 판의 면밀도(kg/m²), c_l은 판의 종파 속도(m/s)를 나타낸다. 상기 식과 같이 평판의 방사 파워는 구조물의 두께와 밀도 변화에 따른 영향이 큰 것을 확인 할 수 있다.

벽식구조의 실증주택을 대상으로 바닥충격음을 측정하였으며, 실증주택은 국내의 대표적인 평형인 전용면적 59 m²와 84 m²로 구성되어 있다. 실증주택 내 바닥 슬래브 두께 150 mm와 210 mm인 세대에서 중량충격음과 경량충격음을 측정하였으며, 중량충격음 측정 시에는 임팩트볼을 추가하였다.

실증주택의 상부층 바닥은 완충재 마감이 되지 않은 맨슬래브 상태이며, Table 1과 같이 59 m² 세대(슬래브 두께 150 mm)를 제외하고 모든 수음실에는 석고보드로 마감된 동일한 구조의 천정(120 mm)이 설치되어 있는 조건에서 바닥충격음을 측정하였다.

바닥충격음 측정 시 RION 사의 주파수 분석기(SA-02)와 GRAS 사의 마이크로폰(146AE)을 사용하였으며, KS 2810에 의거하여 바닥충격음을 측정하였다^(1,2).

Fig. 2는 바닥충격음 측정 결과를 나타내며, 그림과 같이 맨슬래브 조건에서 중량충격음(뱅머신, 임팩트 볼)은 100 Hz 이하의 저주파 대역에서 높은 소음도가 발생하고 있으며, 경량충격음은 100 Hz 이후 대역에서 비교적 균일한 소음이 발생하고 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 2 
Free body diagram of the plate element

바닥충격음 평가 시 KS F 2863의 단일 평가량인 역 A 특성 가중 바닥충격음 레벨(L_i,Fmax,AW)을 사용하고 있으며, Table 2에 측정된 바닥충격음 측정 결과를 단일 평가량으로 계산하여 정리하였다^(13,14). 추가적으로 측정결과를 A-weighting 후 전체소음도를 계산하는 단일 평가량인 A특성 가중 최대 바닥 충격음 레벨(L_iA,Fmax)을 함께 정리하였다⁽¹⁵⁾. 이 실증주택의 전용면적 59 m²과 84 m²의 거실 크기가 각 13.4 m²와 20.1 m²으로 약 34 % 차이가 존재하지만 동일 슬래브 두께 조건에서 1 dB편차 수준으로 유사한 역 A 가중 바닥 충격음 레벨(L_i,Fmax,AW)이 분석되었다. A특성 가중 최대 바닥충격음 레벨(L_iA,Fmax) 측면에서도 태핑머신 가진 시 최대 1.9 dB 편차로 유사하게 분석되었다.

슬래브 두께가 150 mm에서 60 mm(약 30 %) 증가 시 이론적으로 약 4.4 dB의 바닥충격음 저감 효과를 기대할 수 있으며⁽¹²⁾, 임펙트볼 가진시 평균적으로 약 6 dB 저감효과가 존재하였으며 (뱅머신 가진시는 평균 4 dB 저감), 임팩트볼 가진 시 역 A 특성 가중 바닥 충격음 레벨에서 최대 7 dB(A특성 가중 최대 바닥 충격음 레벨은 7.1 dB)의 바닥충격음 저감 효과가 존재하였다.

Table 2와 같이 슬래브 두께가 동일한 조건에서는 바닥충격음 단일평가량이 평면에 무관하게 유사한 측정 결과가 도출되었다. 옥타브 대역에서 바닥충격음 측정 결과를 비교하기 위해 Fig. 3과 같이 수음실 조건(석고보드 마감 120 mm 전정)이 동일한 59 type( 210 mm)와 84 type(150 mm, 210 mm)의 총 3세대에 대한 측정 결과를 충격원 별로 구분하여 도시화 하였다.

Fig. 3 
Comparison of floor impact sound on same experiment condition

Fig. 3(a)는 뱅머신, Fig. 3(b)는 임팩트 볼에 대한 중량충격음 결과로, 중량충격음은 1/1 옥타브 밴드의 (63 ~ 500) Hz까지 측정한다. 일반적으로 뱅머신의 충격력은 약 100 Hz 이하, 임팩트 볼은 약 200 Hz 이하에 집중되어 있어 가진력 스펙트럼에서 차이가 존재한다⁽¹⁶⁾. Fig. 3(a)와 3(b)에서 확인할 수 있듯이 100 Hz 이하 대역에서는 슬래브 두께 및 평면에 따라 경향성이 존재하지 않지만, 100 Hz 이상의 옥타브 대역에서는 슬래브 두께가 동일한 경우 평면에 무관하게 유사한 측정 결과를 확인할 수 있다. 또한, 슬래브 두께 증가 시 전체 옥타브 대역에서 유사한 소음 저감 효과를 확인 할 수 있다.

반면, Fig. 3(c)는 태핑머신을 이용한 경량충격음으로, 1/1 옥타브 대역의 125 Hz ~ 2000 Hz까지 평가하고 있다. 그림에서 확인할 수 있듯이 경량충격음은 평면에 무관하게 슬래브 두께가 동일한 경우 전체 옥타브 대역에서 유사한 측정 결과가 도출되었으며, 슬래브 두께 증가 시 각 옥타브에서 약 5 dB 소음 저감 효과를 확인 할 수 있다.

결과적으로 이 연구 대상의 실증주택의 경우 100 Hz 이상의 옥타브 대역에서는 슬래브 두께가 동일한 경우 충격원 및 평면 형태에 무관하게 유사한 바닥충격음 측정 결과가 측정되었다. 반면 100 Hz 이하 대역에서는 상대적으로 평면 및 슬래브 두께의 변화에 따라 바닥충격음 측정 결과가 차이가 존재하는 것을 확인 할 수 있다. 일반적으로 거실 평면 또는 평형에 따라 바닥충격음에 유리한 것으로 알려져 있으나, 이 연구의 대상 실증주택에서는 다른 평면에서 유사한 바닥충격음 결과가 도출되었다. 바닥충격음 측정 결과가 동일한 것은 두 평면의 거실 바닥이 동일한 음향 파워를 방사하고 있는 것을 의미하며, 이를 분석하기 위해 각 평형의 거실 공간에 대한 평면 분석을 수행하였다.

바닥충격음은 바닥 슬래브 진동에 의해 방사되는 구조-소음(vibro-acoustics) 현상으로⁽¹⁷⁾, 슬래브 진동 특성과 밀접한 관련이 있다. 따라서 바닥 충격음과 관련된 거실 공간의 평면을 분석하기 위해 선행적으로 바닥충격음 측정 조건(맨슬래브)에서 바닥 슬래브의 진동 특성을 분석하였다.

평판의 진동은 구조물을 구성하는 재료 물성과 기하학 변수로 정의할 수 있으며, 기하학 변수에는 길이와 경계조건이 존재한다. 선행 연구에서 바닥충격음을 결정하는 주요 변수로 내력벽을 경계로 거실 공간의 크기를 정의하였으며⁽¹⁸⁾, 이 연구에서도 내력벽을 기준으로 거실 공간을 설정하여 모달 테스트를 수행하였다. Fig. 4와 같이 모달 테스트를 수행하기 위해 내력벽을 기준으로 거실 공간을 설정하였으며, 거실 공간 단축 방향의 3차 모드까지 분석할 수 있도록 그림과 같이 격자를 구성하였다. 전용면적 84 m²의 경우 약 1 m 격자 크기로 총 45개의 격자를 구성하였으며, 전용면적 59 m²의 경우에는 약 0.5 m의 격자 크기로 총 89개의 격자를 구성하였다.

Fig. 4 
Experimental set-up to measure vibration characteristic of floor structure

바닥 슬래브의 진동 특성 분석은 임팩트 해머를 이용한 모달 테스트를 수행하였으며, 2개의 가속도계(PCB, 352C33)를 고정하고 임팩트 해머(PCB, 086D50) 가진 위치를 이동하며 가속도 응답을 측정하였다⁽¹⁹⁾. 주파수 분석기는 SIEMENS의 SCA- DAS-Mobile을 이용하였으며, 1024 Hz까지 1 Hz 간격으로 주파수 분석을 할 수 있도록 설정하였다. 임팩트 해머의 팁은 고무팁을 이용하였으며, 이 실험의 경우 고무팁을 사용하면 재현성(coherence)이 약 300 Hz까지 0.9 이상으로 분석되었다. 따라서 바닥 슬래브의 진동 특성 분석은 300 Hz까지 수행하였다.

Fig. 5는 210 mm 슬래브의 첫 굽힘 모드를 나타내며, 그림과 같이 모드 형상이 내력벽을 경계로 거동하는 것을 확인 할 수 있다. 반면, 전용면적 59 m²의 모드 형상과 같이 비내력벽 모서리가 내력벽 모서리와 같이 고정(fixed) 조건으로 작용하지 않고 면과 함께 거동하고 있는 것을 확인할 수 있다. 선행 연구⁽¹⁸⁾에서 비내력벽으로 구분되어 있는 방을 함께 모달 테스트를 수행한 결과 방 6을 포함판 평면이 함께 진동 거동하는 것을 확인하였다. 따라서 슬래브의 진동 거동은 내력벽을 경계로 거동하고 있는 것을 확인 할 수 있으며, 내력벽을 기준 평면을 정의해야만 실제 진동 거동 및 바닥충격음을 분석할 수 있음을 의미한다⁽¹⁹⁾.

Fig. 5 
1^st mode shape of floor slab (210 mm)

Fig. 6은 모달 테스트 결과를 1/3 옥타브 밴드로 변환하여 도시화하였다. 그림과 같이 가속도 응답에서도 100 Hz 이하에서는 차이가 존재하지만 100 Hz 이상 주파수 대역에서는 비교적 유사한 가속도 응답을 확인 할 수 있다. 즉, 이 연구 대상의 실증주택의 경우 동일한 슬래브 두께 조건에서 유사한 바닥충격음과 바닥 슬래브 진동이 측정되었으며, 이는 거실 공간의 크기가 유사한 것을 의미한다. 따라서 바닥 슬래브의 진동 거동을 기준으로 거실 공간의 면적과 바닥충격음을 분석하였다.

Fig. 6 
Experiment result of modal test

바닥 슬래브의 진동은 Fig. 5와 같이 내력벽을 경계로 진동 운동하고 있는 것을 확인하였으며, 따라서 이 연구에서는 내력벽을 기준으로 거실 공간을 새롭게 정의하였다. Fig. 7과 같이 내력벽을 기준으로 거실 공간을 설정하였으며, 이 연구에서는 이를 유효 평면(effective plate)이라 정의하였다.

Fig. 7 
Definition of living room size to estimate floor impact noise

현재 바닥충격음 측정 시에는 ‘공동주택 바닥충격음 차단구조인정 및 관리기준’으로 세대 내 벽체를 기준으로 Fig. 7와 같이 거실 공간을 정의하고 있다. 그림과 같이 KS F 2810에서 정의하는 거실공간과 이 연구에서 제안한 거실 공간이 면적에서 큰 차이가 존재하는 것을 확인 할 수 있다.

KS 고시에서 제시하는 거실 공간과 이 연구에서 제안하는 유효평면에 의한 거실 공간의 크기를 Table 3에 정리하였다. 표와 같이 KS 고시에서 제시하는 방법으로 바닥 면적을 정의하면 두 평면은 약 34 % 차이가 존재하는 평면이지만, 유효 평면에 의한 면적 산출에서는 전용면적 59 m²이 40.1 m², 전용면적 84 m²이 41.4 m²로 유사한 것을 확인 할 수 있다.

이 연구의 대상인 전용면적 59 m²과 84 m²이 평형 및 평면이 다르지만 슬래브의 진동을 결정하는 유효평면의 크기가 유사하였으며, 결과적으로 바닥충격음도 유사한 것으로 분석되었다. 중량충격음에 비해 경량충격음에서 이러한 현상을 더욱 뚜렷하게 확인할 수 있으며, 이는 모드 밀도와 밀접한 관련이 있다. 모드 밀도가 낮은 저주파 대역을 평가하는 중량충격음의 경우 개별적인 모드 기여도가 높아 평면 형상 및 경계 조건 등에 따른 진동응답 및 바닥충격음 차이가 존재하지만, 고주파로 이동할수록 차이는 줄어든다. 특히 경량충격음의 경우 중량충격음에 비해 모드 밀도가 많은 대역을 대상으로 하기 때문에 개별적인 진동 모드의 영향 보다는 판의 크기 또는 물성의 기여도가 지배적이다.

실증주택 거실 공간을 유효 평면으로 정의하여 식 (4)를 이용하여 모드 밀도를 계산하면 Table 4와 같이 정리할 수 있다. 이론적으로 슬래브 두께 증가에 따라 모드 밀도가 감소하는 것을 확인할 수 있으며, 전용면적 59 m²와 84 m²의 바닥 슬래브의 모드 밀도는 유사한 것으로 분석되었다.

Fig. 8은 전용면적 59 m²의 구조물과 음향 공간의 모드 개수를 나타낸다. 그림과 같이 음향 공간은 구조물에 비해 모드 개수가 급격하게 증가하며, 모드 개수가 증가하는 것은 개별적인 모드의 영향도가 낮아짐을 의미한다.

Fig. 8 
Mode number of structure and acoustic cavity( 59 m², slab thickness: 150 mm)

즉, 모드 밀도가 충분히 많은 주파수 대역에서는 음향 공간이 확산 음장 조건을 만족하게 된다. 반면, 구조물의 경우 1/3 옥타브 밴드의 중심주파수 300 Hz에서 모드 개수가 10개가 존재하며, 100 Hz 이전 주파수에는 이론적으로 Fig. 8과 같이 10개 이하의 모드가 존재하는 것을 확인할 수 있다. 실제 모달 테스트 결과에서는 100 Hz 이하 대역에서 약 6개의 굽힘 모드가 존재하는 것으로 분석되었으며, 1/1 옥타브 대역의 63 Hz에는 3개의 굽힘모드가 존재하였다. 결과적으로 바닥충격음을 저감하기 위해 유효 평면을 이용한 거실 평면 분석이 선행되어야 하며, 바닥 슬래브의 모드 밀도를 고려하여 Table 5와 같이 바닥충격음 저감 설계가 필요할 것으로 판단된다.