선박의 후미에서 동작하는 프로펠러는 캐비테이션이라는 독특한 현상을 야기하며, 선체 가진력의 주요 원인이 된다. 캐비테이션이 유발하는 가진력 저감을 목적으로 음향 상쇄간섭(destructive interference)의 원리를 응용한 풍선(air-balloon) 장치가 제안된 바 있다^(1~3). 캐비테이션에 의한 압력파가 공기층(풍선)을 만나면, 상쇄간섭 주파수(frequency of destructive interference)라 지칭하는 특정 주파수 대역에서의 반사파는 입사파 대비 위상이 역전된다^(1,2). 따라서, 전체 압력장에서는 입사파-반사파 두 성분이 서로 상쇄되어 가진력이 ‘영(0)’이 되는 현상, 즉 상쇄간섭이 발생하며, 결국 선체 가진력을 크게 저감할 수 있었다. Fig. 1은 실선 시험을 위해 1.1 m(가로) × 1.1 m(세로) 크기 풍선을 설치한 사진을 보이고 있으며, 약 14 Hz인 프로펠러 2차 가진력 성분(2nd blade passing frequency, BPF)이 65 % 이상 감소됨을 검증할 수 있었다⁽⁴⁾.

Fig. 1 
Actual appearance of the air-balloon

풍선 설계시 상쇄간섭의 효과를 최대한으로 이용하고자, 주어진 관심 가진 주파수에 상쇄간섭 주파수를 튜닝(tuning)한다. 따라서, 상쇄간섭 주파수에 대한 정확한 추정이 선행되어야 함을 강조할 수 있는데, Lee 등은^(2,3) 수학적 편의상 풍선을 등가의 구형 기포로 간주하여 상쇄간섭 주파수를 유도하였다. 그러나, Fig. 1에서 보는 바와 같이 풍선의 실제 형상은 이상적인 구보다는 찌그러진 형태로서, 편형 타원체(oblate spheroid)에 가깝다고 볼 수 있다. 선체 저항을 최소화하기 위해서도 풍선의 종횡비(장축길이/단축길이)가 가급적 큰 것이 바람직할 것이며, 이에 따라 구로부터 유도된 결과는 실제와 차이가 클 수 밖에 없다. Strasberg⁽⁵⁾에 의하면, 변형된 기포는 동일 부피를 가지는 구형 기포에 비해 높은 공진주파수를 가지는데, 일례로 종횡비 20인 편형 타원체 기포의 공진주파수는 경우 구형보다 1.35배 높다. 상쇄간섭 주파수는 공진주파수의 함수로 표현되므로 상쇄간섭 주파수 역시 유사한 경향성을 보일 것임을 짐작할 수 있으며, 이는 이 연구가 시작된 동기이기도 하다.

Yeh⁽⁶⁾는 편형타원체 기포의 반사 문제에 대해, 타원체 파동함수(spheroidal wave function)를 이용하여 엄밀해를 구하였다. 기본적으로 이 연구에서도 Yeh가 제안한 접근법을 도입하였다. 그러나, 엄밀해는 급수(series) 형태로 표현되어, 다루기가 쉽지 않을 뿐더러 공학적, 실용적 측면에서의 응용이 크지 않다. 여기서는, 풍선의 크기를 파장에 비해 충분히 작다고 볼 수 있는 저주파 영역 그리고 풍선 주변 근접장(nearfield)에서 근사화를 시도하였으며, 이를 통해 현장에서 유용한 설계식을 도출코자 하였다. 뿐만 아니라, 종횡비에 대한 상쇄간섭 주파수 변화를 관찰하여, 풍선의 형상 의존성이 설계에 고려되어야 할 중요 요소임을 지적한다.

Fig. 2에 나타낸 바와 같이, 직교좌표계 x-y-z의 원점 O에 위치한 편형타원체 풍선의 반사문제를 고려하자. 실제로는 풍선을 고무(rubber)가 감싸고 있지만, 고무층은 충분히 얇기에 그 영향을 무시할 수 있다. 그러므로, 그림에는 따로 표시하지 않았고, ‘풍선’과 ‘기포’라는 단어를 혼용해서 사용하기로 한다. 타원체 기포의 장축과 단축 길이는 각각 a, b이며, 밀도와 음속은 각각 ρ₁, c₁이다. 기포 주변 해수(물)의 경우 각각 ρ₀, c₀라 하자. 각 매질의 파수(wavenumber)는 k_i(=w/c_i = 2π/λ_i, i = 0, 1)로 표시하며 ω(=2πf)는 각 주파수(angular frequency, [rad/s]), λ_i는 각 매질에서의 파장을 의미한다.

Fig. 2 
Coordinate system and geometry for the analysis of the reflection from an oblate spheroidal air-bubble (or air-balloon). The rubber membrane for air-encapsulation is not represented due to negligible thickness

프로펠러 가진력 성분은 대개 수십 Hz 이하이며, 이에 대응하는 파장 길이는 풍선 대비하여 대단히 크다고 볼 수 있다. 따라서, 풍선에 입사하는 가진 압력파에 대해 진폭 p₀인 평면파(plane wave) 가정이 가능하다. 또한, 타원체는 z-축에 대해 축대칭이므로 일반성을 유지하기 위해 입사파의 전파 방향을 x-z 평면과 나란하게 설정하면, 임의점 r에 대해 입사파 P_inc를 다음과 같이 쓸 수 있다.

k = k₀(sinθ_inc, 0, cosθ_inc)는 전파벡터(wave vector)이며 θ_inc는 z-축을 기준으로 정의되는 전파방향이다. 위 식에서 시간인자 exp(-iwt)는 편의상 생략하였다.

입사파가 풍선을 만나면, 외부 반사파 p_s와 내부파가 발생하는데, 상쇄간섭 현상을 설명하기 위해 입사파-반사파 중첩에 의한 전체 압력장 p_t(=p_inc + p_s)을 기술해야 한다.

이를 위해, 타원체를 다루기 위한 곡선좌표계 ξ-η-ϕ를 도입하자. ξ는 타원체의 반경반향으로 정의되는 공간변수로서 0 부터 ∞ 까지 변화하며, η는 원주방향으로 변화하며 -1에서 1사이의 값을 가진다. 방위각 ϕ는 0에서 2π의 범위이며, d = 2(a² - b²)^1/2는 초점거리(interfocal distance)이다. 직교좌표계와 곡선좌표계 사이 변환은 다음과 같다.

곡선좌표계상에서 기포의 경계면은 ξ가 일정한 면 즉 ξ₀로 표현되며, a = d/2(1 + ξ₀)^1/2, b = dξ₀/2를 이용하면 ξ₀를 식 (3)과 같이 표현할 수 있다.

여기서 e(= a/b)는 타원체의 종횡비(aspect ratio)를 의미한다. 참고로, 해당 곡선좌표계에 대한 상세 설명은 Flammer⁽⁷⁾에서 찾을 수 있다.

타원체 파동함수(spheroidal wave function)⁽⁷⁾를 이용하면 지배방정식인 Helmholtz 방정식에 대한 변수분리가 가능하며, 이를 통해 식 (4)~(5)와 같이 입사파, 반사파에 대한 급수 전개가 가능하다.

S_mn은 차수(order) m, 각도(degree) n인 타원체 각도함수(spheroidal angle function)이며, Rmnj는 제 j-종 타원체 반경함수(spheroidal radial function)이다. h_i(= k_id/2 = πd/λ_i)는 무차원화된 파수를 의미하고, ε_m은 노이만(Neumann) 인자로서, ε_m = 1 (m = 0), ε_m = 2 (m ≠ 0)의 값을 가진다. 또한, 정규화 함수 N_mn은 다음과 같다.

식 (5)의 미지수 ​Anm(m은 모드번호를 의미하므로, 상첨자로 표시하였음)을 구하기 위해 기포의 경계면 ξ = ξ₀에서 압력과 속도의 연속조건을 적용하면, 다음의 관계식을 쓸 수 있다.

여기서,

이다. 식 (7)의 산출을 위해서는 무한개의 m, 즉 무한개의 모드를 고려해야 한다. 그러나, 실제로는 불가능하므로, 관심 주파수 내에서 충분한 모드 개수를 포함한 범위에서 계산해야 하며, 그 최고차수를 M이라 하자. 그러면, 각각의 주파수에 대해 (M-m+1)개의 미지수를 갖는 선형 1차 연립방정식을 유도할 수 있다.

식 (11)은 LU 분해 등의 일반적인 기법을 통해 풀이 할 수 있으며, 결국 주어진 모드번호 m(= 0, 1, ... M)에 대한 미지수 Anmn=m, m+1, …,M-m+1를 식 (5)에 대입하여 엄밀해를 구성할 수 있다

2절에서 서술한 엄밀해는 전 주파수 대역에서 유효하나, 반사파의 거동을 이해하기 어려우며 설계현장에서 적용하기도 용이하지 않다. 그러나, 전술한 바와 같이, 이 연구에서는 저주파 대역에 관심이 있으며, 이 경우 m = 0인 0차 모드, 즉 타원체 반경방향인 ξ 방향으로만 운동하는 단극(monopole) 음원 운동과 유사한 모드가 전체응답을 지배한다. 당연히, 반사파의 표현도 다음과 같이 급수연산이 없는 형태로 근사화된다.

계수 A00역시 닫힌 형태(closed-form)로 표현되는데 식 (13)과 같이 표현할 수 있다.

기호 ‘ ′ ’는 ξ에 대한 편미분을 의미한다.

무차원 파수 h_i는 저주파 대역에서 1보다 충분히 작다고 할 수 있으므로, 타원체 파동 함수 또한 다음의 근사화가 가능하다. 우선, 각도함수는 식 (14)와 같고, 제1종 반경함수는 식 (15)와 같다.

여기서 P₀와 j₀는 각각 0차 르쟝드르 함수(Legendre function), 0차 구형베셀(spherical Bessel function) 함수이다.

제3종 반경함수 Rmn3=Rmn1+iRmn2의 근사화시, 제2종 반경함수 Rmn2의 느린 수렴성으로 인해 별도의 처리가 필요하다. 이를 위해, Morse and Feshbach⁽⁸⁾의 제1종 및 제2종 연관 르쟝드르 함수(associated Legendre function)을 이용한 급수전개 가운데 가장 우세한(dominant) 항만을 고려하여 Rmn2를 다음과 같이 근사하였다.

식 (16)을 이용하여 제3종 함수 및 미분치에 대한 다음의 근사가 가능하다.

또한, 근접장 영역에서는 ξ를 충분히 작다고 볼 수 있으므로, ξ방향 파동전파를 묘사하고 있는 R003​ih0,iξ항에 대해서는 식 (17)의 ξ₀를 ξ로 대체하면 된다.

마지막으로, 위에서 서술한 내용을 식 (12), (13)에 대입하면 반사파에 대한 근접장 –저주파 영역에 대한 근사 표현을 식 (18), (19)와 같이 얻을 수 있다.

여기서 ω_n은 편형타원체 기포의 공진주파수를 의미한다.

당연히, 식 (18)은 0차 모드만을 고려하여 얻은 근사화이기 때문에 각 변위(ϕ, η)에 대한 의존성 없이, 다만 변수 T_ξ를 통해 타원체 반경방향에 대한 함수로만 나타나는 것을 알 수 있다.

엄밀해와의 비교 및 근사해의 타당성 검증을 위해, 다음의 수치계산을 수행하였다. 우선, 입사파 전파 방향을 타원체의 단축과 평행하게 나란하게 설정하였고 (즉, θ_inc = 0°), 각 매질의 물성을 ρ₀ = 1000 kg/m³, ρ₁ = 1.2 kg/m³, c₀ = 1500 m/s, c₁ = 340 m/s로 가정했다. 풍선의 형상 변화를 위해, 고정된 풍선 부피에 대해 세가지 종횡비를 고려하였다(e = 1, 10, 30). 그리고, 근접장에 대해 관심을 두고 있으므로, z-축을 따라 풍선 주변 세점 (x, y, z) = (0, 0, a_eq), (0, 0, 5a_eq) 그리고 (0, 0, 15a_eq) (곡선좌표계 기준: (ξ, η, ϕ) = (2a_eq/d, 1, 0), (10a_eq/d, 1, 0), (30a_eq/d, 1 0))에 대해 반사파를 계산하였다. a_e1 = (a²b)^1/3 = ae^-1/3는 장-단축 길이가 각 a, b인 타원체와 등가부피를 가지는 구의 반경이다. Fig. 3에 엄밀해와 근사해 계산 결과를 비교하였는데, 세로축은 무차원 진폭인 p_s/p₀를, 가로축은 무차원 주파수인 k₀a_eq(= a_eqw/c₀)을 나타낸다. 실선(solid line)이 15개의 모드를 고려하여 얻은(즉, M = 15) 엄밀해이며, 점섬(dotted line)이 근사해이다. 허수부가 최대가 되는 (또는 실수부가 0을 지나는) 주파수가 공진점에 해당하는데, 이 공진주파수를 포함한 저주파 대역에서는 두 결과가 매우 잘 일치함을 볼 수 있다. 이에 더하여, 풍선에 가까울수록 / 풍선의 종횡비가 작을수록 근사해는 엄밀해의 거동을 충분히 잘 묘사하고 있다. 근사해의 유효 한계는 주파수, 종횡비, 관찰점 등 다양한 요인에 의해 변화하겠지만, 적어도 위에서 산출한 범위 내에서는 허용가능한 오차내에 있으며, 이를 미루어 근사화의 타당성을 검증할 수 있겠다.

Fig. 3 
Evaluation for exact (Eq. 5) - and approximate (Eq. 18)- solution, and their comparison

이 연구에서는 프로펠러 캐비테이션 유발 가진력 저감을 위한 풍선의 형상 의존성을 다루었다. 타원 편향체(oblate spheroid)로 풍선을 모형화 했으며, 이에 대한 반사파 문제 및 엄밀해를 소개하였다. 급수 및 복잡한 함수(타원체 파동함수 등)를 포함하는 엄밀해 특성상, 다루기 용이한 근사해의 필요성이 대두되었다. 이에, 관심 저주파 영역 근사화를 통해 상쇄간섭 주파수에 대한 설계식을 유도할 수 있었다. 종횡비에 대한 상쇄간섭 주파수의 변화양상을 관찰하였으며, 풍선의 크기 뿐만이 아니라 형상(종횡비)에 대한 고려가 설계에 있어 필수적인 요소임을 강조할 수 있었다. 향후, 이 연구에서 제안된 결과는 현장에서 풍선을 설계하는데 있어 실용적인 기여를 할 것으로 예상된다.