Fig. 1과 같은 임의 형상 음향 공동의 고유치 해석에 대한 지배방정식은 식 (1)과 같이 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)의 형태를 가진다⁽¹³⁾.

Fig. 1 
Arbitrarily shaped, 2-D acoustic cavity discretized with boundary nodes P₁,P₂,...,P_N

여기서 r은 음향 공동 내부의 한 점 P에 대한 위치 벡터를 의미(Fig. 1)하고, p(r)은 음향 공동 내부의 한 점 P에서의 음압(sound pressure)을 나타내며, k는 파수(wavenumber)이다. 그리고 강체벽 음향 공동의 경계 조건은 다음과 같이 주어진다.

여기서 r_Γ는 음향 공동 경계 상의 한 점에 대한 위치 벡터이며, n은 경계에서의 법선 방향을 의미한다(Fig. 1).

NDIF법을 적용하기 위하여 Fig. 1과 같이 음향 공동의 경계는 N개의 노드들 P₁,P₂,...,P_N으로 이산화 된다. 그리고 음향 공동 내부 음압 p(r)은 각각 경계 노드들에서 정의된 무차원 동영향 함수들의 선형 결합으로 다음과 같이 가정된다⁽⁷⁾.

여기서 J₀는 제1종 0차 베셀 함수를 나타내며, 벡터 r_s는 경계 Γ에 위치한 s번째 노드에 대한 위치 벡터를 의미하고, A_s는 s번째 노드에서 정의된 무차원 동영향 함수의 기여도를 나타내는 기여도 계수이다.

음향 공동의 경계를 따라 연속적으로 주어진 강체벽 경계 조건 식 (2)는 다음과 같이 경계 노드에 대한 식으로 이산화된다.

여기서, r_i와 n_i는 강체벽 경계에 놓인 노드 P_i에 대한 위치 벡터를 각각 의미한다.

앞에서 가정한 음압 식 (3)을 이산화된 강체벽 경계조건 식 (4)에 대입하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

식 (5)에서 법선 방향 n_i에 대한 미분을 수행하면, 식 (5)는 다음과 같이 된다.

여기서 J₁은 제1종 1차 베셀 함수를 나타낸다.

식 (6)을 행렬식의 형태로 정리하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 SM(k)는 NDIF법에서의 시스템 행렬이고, A는 기여도 벡터이다. 시스템 행렬 SM(k)의 i번째 행과 s번째 열 위치에 있는 성분은 다음의 식에 의해 주어진다.

또한, 기여도 벡터 A의 s번째 성분은 A_s로 주어진다.

음향 공동의 고유치는 식 (9)와 같이 시스템 행렬의 판별식이 0을 만족하는 파수(wavenumber) 값에 의해 구해진다.

하지만, 식 (9)에 의해 구해진 고유치들 속에는 음향 공동과 동일한 형상을 가지는 멤브레인의 고유치들에 해당하는 허위 고유치들(spurious eigenvalues)이 포함되어 있다⁽⁷⁾. 그래서, 허위 고유치를 제거하기 위하여 식 (10)과 같이, 식 (9)의 양변을 멤브레인 시스템 행렬 SM_mem(k)의 판별식 값으로 나눈 방법에 의해, 허위 고유치가 배제된 음향 공동의 고유치를 구할 수 있다⁽⁷⁾.

개선된 NDIF법⁽¹²⁾의 타당성 검증을 위해 Fig. 2와 같은 임의 사각형 형상을 가진 음향 공동이 먼저 고려되어진다. 기존 NDIF법⁽⁷⁾의 판별식 곡선 식인 식 (10)을 Fig. 2의 16 노드와 24 노드 이산 모델에 적용하면, Fig. 3과 같은 판별식 곡선이 구해진다. Fig. 3에서 C₁ ~ C₆은 음향 공동의 고유치를 의미하며, M₁과 M₂는 음향 공동과 동일한 형상을 가진 멤브레인의 고유치를 의미하며 허위 고유치로 불리워진다. Fig. 3의 판별식 곡선으로부터 구한 고유치들은 Table 1에 요약되었다. 참고로, ANSYS 해석의 경우 노드 수를 377개, 456개, 606개로 점차적으로 증가시켜서 고유치를 구하였으며, 이들 고유치 값들의 크기가 변화가 없는 것으로 보아 수렴된 값이라고 말할 수 있다.

Fig. 2 
Arbitrarily shaped quadrilateral acoustic cavity discretized with 16 and 24 boundary nodes, respectively

Fig. 3 
Determinant curves for the arbitrarily shaped quadrilateral acoustic cavity obtained by the original NDIF method⁽⁷⁾ using Eq. (10) (dotted line: 16 nodes, solid line: 24 nodes)

기존 NDIF법에서는 노드의 개수를 16개에서 24개로 증가시키면 저주파수 영역에서 시스템 행렬이 발산하여 저주파수 고유치들(C₁과 C₂)이 구해지지 않음을 Fig. 3과 Table 1에서 확인할 수 있다. 이러한 현상에 대한 원인을 확인하기 위해 임의 사각 형상 음향 공동에 대한 시스템 행렬의 랭크 곡선을 Fig. 4와 같이 추출하였다. Fig. 4에서 R_c는 식 (10)의 분자에 있는 음향 공동 시스템 행렬 SM(k)의 랭크 곡선을 의미하며, R_m은 식 (10)의 분모에 있는 멤브레인 시스템 행렬 SM_mem(k)의 랭크 곡선을 의미한다. 이들 두 랭크 곡선을 살펴 보면, 공통적으로 대략 파수 5 이하의 저주파수 영역에서 풀 랭크(full rank)가 아님을 확인할 수 있다. 이러한 이유로 인해 Fig. 3의 판별식 곡선에서 저주파수 영역 발산 현상이 나타났음을 추정할 수 있다. 참고로, Table 1에서 노드의 개수를 16에서 24로 증가시켰을 때 고차 고유치들(C₃ ~ C₆)은 오히려 오차가 미세하게 증가하는 현상을 확인할 수 있다. 이는 여러가지 원인에 의한 것일 수 있는데, 첫번째 원인은 ANSYS 해석 결과가 엄밀해가 아니기 때문이고, 두 번째 원인은 16노드를 사용한 NDIF법 고유치가 이미 수렴했기 때문이라고 추정할 수 있다. 현재 이러한 미세한 오차 증가 원인에 대한 추가적인 분석이 진행 중에 있으며, 향후 논문에서 그 결과를 발표할 예정이다.

Fig. 4 
R_c and R_m for the acoustic cavity and membrane discretized using 32 nodes

저주파수 고유치가 구해지지 않는 저주파수 영역 발산 문제점을 해결하기 위해, 개선된 NDIF법⁽¹²⁾에서 제안된 식 (14)를 24개의 노드로 분할된 임의 사각 형상 음향 공동에 적용하였다. 그 결과 Fig. 5와 같은 판별식 곡선이 추출되었다. Fig. 5로부터 구한 음향 공동 고유치 C₁ ~ C₆을 요약하면 Table 2와 같으며 ANSYS 해석 결과와 1 % 이하의 오차로 거의 정확히 일치함을 확인할 수 있다.

Fig. 5 
Determinant curve for the circular acoustic cavity discretized using 32 nodes, plotted by Eq. (14)

마지막으로 개선된 NDIF법에 의해 구한 모드 형상은 Fig. 6에 제시하였다. 이들 모드 형상은 ANSYS에 의해 구한 모드 형상 Fig. 7과 모드 형상과 노달 라인(nodal line)에 있어서 정확히 일치함을 확인할 수 있다.

Fig. 6 
Mode shapes obtained by the modified NDIF method⁽¹²⁾ using 24 nodes

Fig. 7 
Mode shapes obtained by ANSYS using 606 nodes

이상과 같이 임의 사각 형상 음향 공동에 대한 예제 연구를 통해 개선된 NDIF법⁽¹²⁾이 고유치와 고유 모드를 정확히 추출함이 확인되었으며, 추가적인 예제 검증이 다음 4.2절에서 수행된다.

개선된 NDIF법의 타당성 검증을 확고히 하기위해 Fig. 8과 같이 단위 반원과 두 개의 직선 변으로 이루어진 임의 형상 음향 공동이 두번째로 고려되어진다. Fig. 8의 (a)와 (b)와 같이 임의 형상 음향 공동을 각각 16노드와 24노드로 이산화한 후 식 (10)에 의해 판별식 곡선을 구하면 Fig. 9와 같다.

Fig. 8 
Arbitrarily shaped acoustic cavity discretized with 16 and 24 boundary nodes, respectively

Fig. 9 
Determinant curves for the arbitrarily shaped acoustic cavity obtained by the original NDIF method⁽⁷⁾ using Eq. (10) (dotted line: 16 nodes, solid line: 24 nodes)

Fig. 9의 판별식 곡선으로부터 추출한 임의 형상 음향 공동의 고유치들은 Table 3에 요약되었다. 앞의 예제에서와 마찬가지로, 노드의 개수를 16개에서 24개로 증가하면 저차 고유치인 C₁과 C₂가 구해지지 않음을 확인할 수 있다. 참고로, M₁ ~ M₃은 허위 고유치에 해당되며, 임의 형상 음향 공동과 동일한 형상을 가진 멤브레인의 고유치에 해당된다. Table 3에서 24개의 노드를 사용한 NDIF법 고유치들(C₃ ~ C₆)은 1030개의 노드를 사용한 ANSYS 고유치에 수렴함을 확인할 수 있으며, 이러한 사실은 4.1절의 임의 사각 형상 음향 공동의 경우와는 차이를 보인다. 참고로, 이러한 차이점이 발생하는 원인에 대한 연구가 진행 중에 있으며 향후 논문에서 발표할 예정이다.

Fig. 9과 Table 3에서와 같이 저주파수 영역의 고유치가 추출되지 않는 이유는 저주파수 영역에서 시스템 행렬의 랭크가 풀 랭크(full rank)가 아니기 때문이다. 이 사실을 검증하기 위해, 시스템 행렬의 랭크 곡선을 추출하였으며 그 결과는 Fig. 10에 제시되었다. Fig. 9의 판별식 곡선을 추출할 때 사용되어진 식 (10)의 분모와 분자에 각각 위치한 음향 공동과 멤브레인 시스템 행렬의 랭크 값의 변화 추이를 Fig. 10에서 확인할 수 있다. 두 시스템 행렬의 랭크는 대략 파수 3 이하에서 풀 랭크(full rank)가 아님이 확인되며, 이러한 사실 때문에 24개의 노드를 사용한 Fig. 9의 판별식 곡선(실선)이 저주파수 영역에서 발산한다고 말할 수 있다.

Fig. 10 
R_c and R_m for the arbitrarily shaped acoustic cavity and membrane discretized using 24 nodes

24개의 노드로 이산화된 경우에 추출되지 않은 저차 고유치 C₁과 C₂를 추출하기 위해, 개선된 NDIF법(12)에서 제안된 식 (14)를 사용하여 판별식 곡선을 얻었으며 그 결과는 Fig. 11과 같다. 개선된 NDIF법은 저차 고유치 C₁과 C₂까지도 성공적으로 추출함을 Fig. 11에서 확인할 수 있으며, 추출된 고유치들은 Table 4에 요약되었다. 단지 24개의 노드를 사용한 NDIF법 고유치들이 1030개의 많은 노드를 사용한 ANSYS 고유치에 정확히 수렴함을 Table 4에서 확인할 수 있다.

Fig. 11 
Determinant curve for the arbitrarily shaped acoustic cavity discretized using 24 nodes, obtained by the modified NDIF method⁽¹²⁾ using Eq. (14)

개선된 NDIF법⁽¹²⁾을 이용하여 구한 임의 형상 음향 공동의 모드 형상은 Fig. 12와 같으며, 이들 모드 형상은 1030개의 노드를 사용한 ANSYS 모드 형상(Fig. 13)과 정확히 일치함을 확인할 수 있다. 끝으로, 4.1절 예제와 마찬가지로 이번 예제에서도 개선된 NDIF법이 고유치와 모드 형상을 정확히 추출함에 있어 타당한 결과를 제공한다고 말할 수 있다.

Fig. 12 
Mode shapes obtained by the modified NDIF method⁽¹²⁾ using 24 nodes

Fig. 13 
Mode shapes obtained by ANSYS using 1030 nodes