Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering
[ Article ]
Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering - Vol. 29, No. 1, pp.83-89
ISSN: 1598-2785 (Print) 2287-5476 (Online)
Print publication date 20 Feb 2019
Received 23 Oct 2018 Revised 11 Dec 2018 Accepted 11 Dec 2018
DOI: https://doi.org/10.5050/KSNVE.2019.29.1.083

섭동법에 의한 캡슐열차용 대차의 상하방향 불안정성 연구

유원희 ; 이진호* ; 이창영*
Vertical Instability of Capsule Train Bogie by Perturbation Method
Wonhee You ; Jinho Lee* ; Changyoung Lee*
*Korea Railroad Research Institute

Correspondence to: Member, Korea Railroad Research Institute E-mail: whyou@krri.re.kr ‡ Recommended by Editor Hyung Jo Jung


© The Korean Society for Noise and Vibration Engineering

Abstract

A levitation and propulsion system of a 1000 km/h subsonic capsule train is built on. The same conceptual basis as that used by electrodynamic suspension (EDS) levitation trains equipped with an electromagnetic coil on the side walls. The characteristics of the levitation spring of the capsule train are, therefore, the same as those of the levitation spring of the EDS levitation train, with both the linear spring and the nonlinear spring present simultaneously, and the spring constants varying by train speed. This is a phenomenon caused by an 8-shaped coil installed on the side wall of the guideway, which is expected to have a considerable influence on the vertical movement of the capsule train. In this study, the effect of the nonlinear characteristics of the floating springs on the EDS floating capsule train were investigated. The governing equations of the capsule train bogie were derived by consideration of the linear and nonlinear characteristics of the levitation springs. The influence of the nonlinear characteristics of the levitation springs on the instability of the system was analyzed theoretically using the perturbation method.

Keywords:

Superconduct Magnet, Magnetic Levitation, Perturbation Method, Nonlinear Dynamics

키워드:

초전도 전자석, 자기부상, 섭동법, 비선형 동역학

1. 서 론

최대속도 1000 km/h 이상의 속도로 주행하는 아음속 캡슐열차의 부상/추진시스템은 측벽에 전자기 유도 부상시스템이 설치된 반발식(electrodynamic suspension, EDS) 자기부상열차와 동일한 방식을 채택하고 있다. 이에 따라 캡슐열차의 부상스프링의 특성은 자기부상열차의 부상스프링의 특성과 동일하게 선형스프링과 비선형스프링이 동시에 나타나게 되며, 속도에 따라 강성이 변화하는 특성을 가지게 된다(1). 이는 가이드웨이의 측벽에 설치된 8자형 코일에 의해 일어나는 현상으로서 캡슐열차의 수직방향 운동에 많은 영향을 줄 것으로 보이며, 실제로 초전도전자석이 장착된 대차의 경우 측벽의 8자 코일에 의해 발생하는 전자기력에 의해 상하방향의 주기적인 움직임이 많이 나타나고 있다(2,3). 이에 따라 EDS 자기부상열차의 경우 상하방향의 진동저감에 많은 노력을 기울이고 있다. 이 연구에서는 이러한 EDS 부상 캡슐열차에 가해지는 부상스프링의 비선형 특성이 캡슐열차에 주는 영향을 검토하여 보았다. 계산의 복잡성을 줄이고 비선형 특성에 의한 영향을 위주로 검토하기 위하여 캡슐열차의 대차를 대상으로 부상스프링의 선형 및 비선형 특성을 고려한 지배방정식을 유도하였다. 무차원 파라미터를 이용하여 지배방정식을 단순화하고, 이를 토대로 섭동법을 이용하여 부상스프링의 비선형 특성이 시스템의 불안정에 미치는 영향을 이론적으로 분석하고 그래프를 통해 파악하고자 하였다.


2. EDS 자기부상시스템의 특성

2.1 측벽 EDS 시스템의 특성

측벽 EDS 부상 캡슐열차의 대차는 Fig. 1에서 보는 바와 같이(1)측벽에 설치된 8자 코일에 의해 그 부상특성이 영향을 받으며, 이로 인해 나타나는 부상스프링의 상하방향 강성은 식 (1)에서 보는 바와 같이 선형 성분과 3차 비선형 성분으로 표현된다(1).

Fig. 1

Side wall electrodynamic suspension

Klv=Kave+Koscsin2πflvt(1) 

여기서 Kavez= k1zk2z3, Kascz= ko1zko2z3이며 z는 초전도전자석이 장착된 대차의 상하 변위를 나타낸다. Kasc는 측벽 부상코일과 초전도 전자석에 의한 상하방향 부상강성의 주기적인 변동성분의 크기를 나타내며, Kave는 평균값을 나타낸다. k1, k2, ko1ko2은 각각 Kave의 선형 성분과 3차 비선형 성분 및 Kosc의 선형 성분과 비선형 성분을 나타내는데, 이들은 모두 z와는 무관하고 차량의 주행속도에 따라 변하는 특며, k1, k2, ko1ko2사이에는 k1ko2k2ko1인 관계가 있다. 또한, flv는 대차가 측벽의 전자석 코일을 지나감에 따라 주기적으로 발생되는 전자기부상력의 주파수이다.

Fig. 1에서 보는 바와 같이 초전도자석이 장착된 자기부상차량의 주행 동특성은 이와 같은 부상특성을 고려하여 검토되어야 하지만 대부분의 경우 계산의 용이성을 위하여 부상스프링을 비선형 성분을 제외하고 변위에 선형적으로 비례하는 선형스프링으로만 가정하여 검토하고 있다(2~4).

2.2 1-D EDS 부상 대차의 비선형 방정식

이 연구에서는 이와 같은 선형스프링의 특성보다는 비선형 스프링의 특성에 초점을 두고 측벽 EDS 대차의 주행 중 상하 방향의 비선형 동특성을 파악하고자 하였다. 이 때 주행속도는 임의의 속도로 일정하다고 가정하였으며, 초전도 전자석이 장착된 캡슐열차용 대차는 1자유도 수송체로 가정하였다. 또한, 대차와 궤도 사이에는 전자기력의 특성에 따라 매우 약한 댐핑과 선형 및 3차 비선형 특성을 갖는 스프링이 있다고 가정하였다. 이를 그림으로 표현하면 Fig. 2와 같다(5).

Fig. 2

Bogie system for capsule train

Fig. 2에 보여주고 있는 캡슐열차용 대차의 상하방향 운동방정식은 대차의 질량 M, 부상댐핑 Clv및 부상스프링 Klv를 이용하여 식 (2)와 같이 표현할 수 있다.

Mz¨+Clvz˙+Klvz=0(2) 

식 (2)식 (1)을 적용하여 정리하면

Mz¨+Clvz˙+k1+ko1cos2πfsctz-k2+k02cos2πfsctz3=0(3) 

와 같이 된다. 계산의 용이성을 위하여 다음과 같은 무차원 파라미터를 도입한다.

u=zz0,τ=πfsct,α=ClvMπfsc,δ=k1Mπfsc2,ε=k012Mπfsc2,γ=-k2z02k1(4) 

즉, δ는 평균 부상스프링의 1차항에 대한 것이고, ε은 평균 부상스프링의 주기 항에 대한 것이며, γ는 평균 부상스프링의 1차 및 3차 항의 비에 관한 것을 나타낸다.

아울러 k1, k2, ko1ko2사이에는 k1ko2k2ko1인 관계가 있으므로(1) 식 (3)은 다음과 같이 표현될 수 있다.

u¨+αu+˙δ+2εcos2τu+γδ+2εcos2τu3=0(5) 

매우 작은 감쇠를 가지는 자기부상스프링의 특성을 고려하여 식 (5)에서 감쇠항을 제외하면 최종적으로 다음 식 (6)을 얻을 수 있다.

u¨+δ+2εcos2τu+γδ+2εcos2τu3=0(6) 

3. 섭동법에 의한 비선형 동특성 해석

3.1 3차항을 제외한 표준 Mathieu 식

식 (6)에서 3차항을 제외하면 다음 식 (7)과 같은 표준 Mathieu 식이 된다(6).

u¨+δ+2εcos2τu=0(7) 

표준 Mathieu 식에 대한 동특성은 여러 자료에서 볼 수 있으며, 대체로 다음과 Fig. 3과 같은 특성을 가진다. 이 그림에서(7)그늘진 영역이 불안정 영역을 나타낸다. 이 그림에서 볼 수 있는 변이곡선(transient curve)의 식은 ε3이상의 고차항을 제외하면 식 (8)과 같이 표현된다(7,8).

Fig. 3

Unstable zone of Standard Mathieu Equation

δ=-12ε2δ=1-ε-18ε2δ=1+ε-18ε2δ=4+512ε2δ=4-112ε2(8) 

3.2 3차항을 포함한 Mathieu 식

이 절에서는 식 (6)에 대하여 섭동법을 이용하여 변이곡선을 찾고자 한다. 일반적으로 고차 비선형항을 가지는 미분방정식의 경우 공진주파수 부근의 전달함수의 모양이 한 쪽으로 기울어지는 현상을 나타내며, 위상 또한 선형 미분방정식과는 약간 다르게 나타난다(6,7). 또한 고차 비선형항에 의해 Mathieu 식의 불안정성을 그림으로 나타내고 있는 Fig. 2의 변이곡선의 형태가 바뀔 것으로 예상된다.

고차 비선형항이 있는 경우 식 (6)으로부터 변이곡선을 도출하기 위하여 다음 식 (9)와 같이 가정한다(6,7).

u=εu0+ε2u1+ε3u2+δ=δ0+εδ1+ε2δ2+(9) 

식 (9)식 (6)에 대입하여 ϵ에 대해 정리하면 다음과 같다. 여기서는 ϵ3까지만 고려하고, 고차항은 제외한다.

ε1:u0¨+δ0u0=0(10) 
ε2:u1¨+δ0u1=-δ0u0-2cos2τu0(11) 
ε3:u2¨+δ0u2=-δ1u1-2cos2τu1-δ2u0-γδ0u03(12) 

식 (10)의 해는 다음과 같다.

u0=acosδ0τ,bsinδ0τ(13) 

표준 Mathieu식을 만족하는 해의 주기는 2πn(n= 0, 1, 2, …)이므로 식 (13)으로부터 δ0는 다음과 같이 구해진다.

δ0=n2,n=0,1,2,(14) 

식 (14)에서 보는 바와 같이 Mathieu 식을 만족하는 해는 매우 많다. 그러나 비선형 시스템의 불안정성을 해석하는 경우 n값이 작을 때 그 특성이 잘 나타나므로 이 연구에서는 n= 0, 1, 2인 경우를 위주로 해석하였다.

(1) n= 0인 경우

n= 0인 경우 식 (14)로부터 δ0= 0가 되고 이를 식 (10)에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

u0=a(15) 

여기서 a는 상수이다. 식 (15)식 (11)에 적용하면

u1¨=-aδ-2acos2τ(16) 

이 되며, 이로부터 다음을 구할 수 있다.

u1=a2-1+cos2τ-δ1τ2(17) 

u1에서 시간이 지남에 따라 증가하는 영년항(secular term)이 없어야 하므로 δ1= 0이 되어야 한다. 이를 식 (17)과 함께 식 (12)에 적용하면

u2¨=-12a+2aδ2-2acos2τ+acos4τ(18) 

이 되고, u2에서 영년항이 존재하지 않아야 하므로 δ2=-12가 되어야 한다. 따라서 최종해와 변이곡선은 다음과 같이 얻을 수 있다.

u=εA-12ε2A1-cos2τ+Oε3(19) 
δ=-12ε2+Oε3(20) 
(2) n= 1인 경우

n= 1인 경우 식 (14)로부터 δ0= 1이 되고 이를 식 (10)에 대입하면

u0=acosτ,bsinτ(21) 

와 같이 된다. 이로부터 u0= acos(τ)와 u0= bsin(τ) 각각에 대하여 해를 구한다.

(i) u0= acos(τ)인 경우

u0= acos(τ)를 식 (11)에 대입하여 정리하면

u1¨+u1=-aδ1cosτ-acosτ-acos3τ(22) 

을 얻게 되고, u1에 영년항이 존재하지 않아야 하므로 δ1= ‒1이 되어야 한다. 그러면 식 (22)

u1¨+u1=-acos3τ(23) 

이 되며 u1의 해는 u1=18acos3τ가 된다. 이를 식 (12)에 대입하여 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

u2¨+u2=-a181+6a2γ+8δ2cosτ+a181-2a2γcos3τ-a18cos5τ(24) 

여기에서 u2에 영년항이 존재하지 않으려면 δ2=-181+6a2γ가 되어야 한다. 따라서 최종해와 변이곡선을 다음과 같이 구할 수 있다.

u=εacosτ+18ε2acos3τ+Oε3(25) 
δ=1-ε-181+6a2γε2+Oε3(26) 

(ii) u0= asin(τ)인 경우

u0= asin(τ)를 식 (11)에 대입하여 정리하면

u1¨+u1=-bδ1sinτ+bsinτ-bsin3τ(27) 

을 얻게 되고, u1에 영년항이 존재하지 않으려면 δ1= 1이 되어야 한다. 그러면 식 (27)

u1¨+u1=-bsin3τ(28) 

이 되며 u1의 해는 u1=18bsin(3τ)가 된다. 이를 식 (12)에 대입하여 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

u2¨+u2=-b181+6b2γ+8δ2sinτ-b181-2b2γsin3τ-b18sin5τ(29) 

이 되고 u2에서 영년항이 존재하지 않으려면 δ2=-181+6b2γ가 되어야 한다. 따라서 최종해와 변이곡선을 다음과 같이 얻을 수 있다.

u=εbsinτ+18ε2bsin3τ+Oε3(30) 
δ=1+ε-181+6b2γε2+Oε3(31) 
(3) n= 2인 경우

n= 2인 경우 식 (14)로부터 δ1= 4가 되고 이를 식 (10)에 대입하여 초기조건 (10)을 적용하면 다음을 얻을 수 있다.

u0=acos2τ,bsin2τ(32) 

따라서 u0= acos(2τ)와 u0= bsin(2τ) 각각에 대하여 다음과 같이 해를 구한다.

(i) u0= acos(2τ)인 경우

u0= acos(2τ)를 식 (11)에 대입하여 정리하면

u1¨+4u1=-a-aδ1cos2τ-acos4τ(33) 

을 얻게 되고, u1에 영년항이 존재하지 않으려면 δ0= 1이 되어야 한다. 그러면 식 (33)

u1¨+4u1=-a-acos4τ(34) 

가 되며 u1의 해는 u1=-14a+112acos(4τ)가 된다.

이를 식 (12)에 대입하여 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

u2¨+4u2=a1125-36a2γ-12δ2cos2τ-a1121+12a2γcos6τ(35) 

u2에 영년항이 없으려면 δ2=512-3a2γ가 되어야 하며, 이에 따라 최종해와 변이곡선을 다음과 같이 얻을 수 있다.

u=εacos2τ-112ε2a3-cos4τ+Oε3(36) 
δ=4+ε2512-3a2γ+Oε3(37) 

(ii) u0= asin(2τ)인 경우

u0= asin(2τ)를 식 (11)에 대입하여 정리하면

u1¨+4u1=-bδ1sin2τ+bsin4τ(38) 

을 얻게 되고, u1에 영년항이 존재하지 않으려면 δ1= 0이 되어야 한다. 그러면 식 (38)

u1¨+4u1=-bsin4τ(39) 

가 되며 u1의 해는 u1=112bsin(4τ)가 된다.

이를 식 (12)에 대입하여 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

u2¨+u2=-b1121+36b2γ+12δ2sin2τ-b1121-12b2γsin6τ(40) 

u2에 영년항이 없으려면 δ2=-112+3b2γ가 되어야 한다. 따라서 최종해와 변이곡선을 다음과 같이 얻을 수 있다.

u=εbsin2τ-112ε2bsin4τ+Oε3(41) 
δ=4-ε2112+3b2γ+Oε3(42) 

이상에서 해석한 바와 같이 δε사이의 관계를 ε3이상의 고차항을 제외하고 정리하면 최종적으로 다음과 같이 표현된다.

δ=-12ε2δ=1-ε-181+6a2γε2δ=1+ε-181+6b2γε2δ=4+512-3a2γε2δ=4-112+3b2γε2(43) 

식 (8)식 (43)을 비교해 보면 첫 번째 곡선은 δ=-12ϵ2로서 동일한 곡선을 나타내고 있으며, 그 외의 곡선은 ε2항에서 abγ에 따라 다르게 나타남을 알 수 있다. ab는 초기조건과 관계가 있으며, γ는 평균 부상스프링의 1차 및 3차 항의 비에 관한 것이므로 이들의 변화에 따른 불안정 영역과 안정영역 사이의 변이곡선을 Fig. 3Fig. 4와 같이 나타낼 수 있다.

Fig. 4

Unstable zone (a= 1, b= 1)

Fig. 4a= 1, b= 1인 경우를 나타낸다. γ값이 0인 경우는 Fig. 3에서 보는 바와 같이 표준 Mathieu 식의 경우와 동일하게 나타남을 볼 수 있으며, γ값이 0보다 작은 경우에는 변이곡선이 오른쪽으로 기울어지고, 0보다 큰 경우에는 왼쪽으로 기울어짐을 알 수 있다.

Fig. 5γ= 0.1인 경우를 나타내고 있다. 초기조건과 관계가 있는 ab에 대하여 a= 2, b= 2인 경우 a= 1, b= 1인 경우보다는 변이곡선이 왼쪽으로 기울어짐을 알 수 있다. 즉, 초기조건에 따라 불안정 영역이 달라짐을 알 수 있다.

Fig. 5

Unstable zone (γ= 0.1)

따라서, 초전도전자석-부상코일 설계 시 부상스프링에 의한 대차의 비선형 불안정성을 반드시 고려해야 하며, 특히 초기조건과 평균 부상스프링의 1차 및 3차항의 비에 유의하여야 함을 알 수 있다.

3.3 안정성에 영향을 주는 요소에 대한 검토

앞 절에서 언급한 바와 같이 EDS 자기부상 대차의 비선형 불안정성을 해소하기 위해서는 초기조건과 평균 부상스프링의 1차 및 3차 항의 비에 유의하여 설계를 수행해야 한다.

자기부상열차가 저속에서 바퀴를 이용하여 주행하다가 정해진 주행속도에서 부상을 하게 되는데, 이때 열차의 무게중심의 변화가 이 연구의 초기조건과 관계가 있다. 즉, 바퀴 주행 시의 무게중심과 부상 주행 시의 무게중심의 변화가 급격히 이루어지지 않도록 설계하거나 혹은 그 변화가 최소화되도록 하는 것이 중요하다. 이는 캡슐열차에 탑재되는 초전도 전자석의 위치와 주행 바퀴의 접는 메커니즘 및 부상코일, 추진코일의 배치와 관계가 있다.

한편, 평균 부상스프링의 1차 항과 3차 항의 비 또한 중요한 사항인데, 이는 평균 부상스프링의 특성으로부터 결정된다. 부상스프링의 특성을 결정하는 가장 중요한 요소는 초전도 전자석의 성능 즉, 초전도 전자석을 이루는 금속의 조성과 매우 큰 관계가 있다. 초전도 전자석의 성능 및 경제성을 동시에 판단하여 고려해야 할 사항이다. 초전도 전자석의 성능과 함께 부상스프링의 특성을 결정짓는 중요한 요소는 측벽 부상코일의 배치에 관한 것이다. 즉, 초전도 전자석과 부상코일의 거리에 따라 부상스프링의 특성이 변하게 된다. 아울러 부상코일에 흐르는 전류 또한 부상 스프링의 특성을 변화시키는 요소이다. 이 외에도 여러 가지 많은 요소가 부상스프링의 특성을 변화시킬 수 있는데, 가능한 한 이러한 요소들을 최대로 반영하여 대차의 비선형 불안정성을 검토해야 할 것으로 보인다.


4. 결 론

초전도전자석과 측벽 부상코일 방식의 최대 주행속도 1000 km/h의 아음속 캡슐열차의 대차에 대하여 섭동법을 이용한 비선형 동특성 해석을 수행한 결과 다음과 같은 결론을 얻었다.

  • (1) 평균 부상스프링의 1차 및 3차 항의 비가 클수록 불안정 영역과 안정영역을 구분하는 변이곡선은 왼쪽(음의 방향)으로 기울어지는 현상을 보인다.
  • (2) 초기조건이 커짐에 따라 변이곡선은 왼쪽(음의 방향)으로 기울어지는 현상을 보인다.
  • (3) 초전도전자석-부상코일 설계 시 부상스프링에 의한 대차의 비선형 불안정성을 반드시 고려해야 하며, 특히 초기조건과 평균 부상스프링의 1차 및 3차 항의 비에 유의하여야 한다.

Acknowledgments

이 논문은 한국철도기술연구원의 주요사업인 ‘아음속 캡슐트레인 핵심기술개발’ 과제의 연구결과임.

References

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Wonhee You received his Ph.D. from Department of Mechanical Engineering at Yonsei University in 1993. He has working for Rolling Stock Research Division and New Transportation Innovative Research Center at Korea Railroad Research Institute. His research interest includes railway vehicle dynamics, active suspension, noise and vibration.

Fig. 1

Fig. 1
Side wall electrodynamic suspension

Fig. 2

Fig. 2
Bogie system for capsule train

Fig. 3

Fig. 3
Unstable zone of Standard Mathieu Equation

Fig. 4

Fig. 4
Unstable zone (a= 1, b= 1)

Fig. 5

Fig. 5
Unstable zone (γ= 0.1)