평면파 파동 함수를 이용한 혼합 경계를 가진 임의 형상 음향 공동의 고정밀도 고유치 해석

2.1 지배방정식과 경계조건

음향 공동의 지배방정식은 식 (1)과 같이 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)의 형태를 가진다⁽¹¹⁾.

여기서 r은 음향 공동 내부의 한 점에 대한 위치 벡터를 의미하고, p(r)은 음향 공동 내부의 한 점에서의 음압(sound pressure)을 나타내며, k는 주파수 파라미터이다. 그리고 음향 공동 경계 조건은 개방 경계 조건과 강체벽 경계 조건으로 다음과 같이 각각 주어진다⁽¹¹⁾.

여기서 r_Γ는 음향 공동 경계상의 한 점에 대한 위치 벡터이며, n은 경계에서의 법선 방향을 의미한다.

2.2 음향 공동 내부 음압 가정

Fig. 1에서 점선으로 표시된 다각형은 해석 대상 음향 공동을 나타낸다. 먼저, 음향 공동의 i번째 경계(모서리) Γ_i에서 식 (4)와 같은 평면파(plane wave) 음압 파동이 발생하여 무한 음향장으로 퍼져 나간다고 가정한다.

Fig. 1

Arbitrarily shaped acoustic cavity (dotted lines) located on an infinite acoustic filed

여기서 (x_i,y_i)는 경계 Γ_i에 설정된 로컬 직각 좌표계(local cartesian coordinate system)를 의미하며, N_s는 경계 Γ_i에서 발생한 평면파에 사용된 코사인 급수 함수의 개수, $$ A_m^{\left(i\right)}$$은 경계 Γ_i에서 발생한 평면파의 진폭 미지 계수, L_i는 경계 Γ_i의 길이, j는 순허수를 나타낸다.

이제, Fig. 1에서 음향 공동 내부의 한 점 P에서의 음압 P(r)은 식 (5)와 같이, 모든 경계 모서리에서 발생한 평면파 음압 파동의 선형 중첩으로 가정한다.

여기서 N_e는 음향 공동 모서리의 개수를 의미한다.

2.3 경계 조건 가정

먼저, 해석 대상 음향 공동의 일부 경계가 개방 경계로 이루어져 있다고 가정한다. 즉, 전체 N_e개의 경계 중에, 경계 Γ₁, Γ₂, ···, Γ_Nc는 강체벽 경계(N_c개 경계)이고, 경계 Γ_Nc+1, Γ_Nc+2, ···, Γ_Ne는 개방 경계(N_p개 경계)인 것으로 가정한다. 다음으로, 해석 대상 음향 공동의 강체벽 경계 조건과 개방 경계 조건을 다음과 같이 코사인 급수 함수의 선형 중첩으로 잠정적으로 각각 가정한다.

여기서 $$ V_n^{\left(r\right)}$$와 $$ U_n^{\left(r\right)}$$는 미지 계수를 의미한다.

2.4 강체벽 경계 조건 적용

앞에서 가정한 음압 식 (5)를 강체벽 경계조건 식 (6)에 대입하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

식 (8)에서 두 좌표계 (x_i,y_i)와 (x_Γ,y_Γ)는 다음과 같은 상관 관계식을 만족한다.

여기서 계수 a_ir, b_ir, ···, f_ir는 두 좌표계의 원점과 방향을 고려하는 방법에 의해 구해질 수 있다. 식 (8)에 식 (4)를 대입하면 다음과 같이 된다.

식 (11)에 포함된 위치 변수 x_i, y_i, x_τ를 없애기 위해, 식 (11)의 양변에 cos(qπx_r/L_r)를 곱한 후에 경계 Γ_r을 따라 적분을 수행한다. 그러면 다음과 같이 된다.

식 (12)의 우변은 코사인 함수들의 직교성 덕택에 다음과 같이 간단히 된다.

식 (13)을 식 (12)에 대입하면 다음과 같이 된다.

식 (14)는 다음과 같이 간단히 표현될 수 있다.

여기서 $$ G_{\left(q,m\right)}^{\left(r,i\right)}$$은 다음과 같다.

2.5 개방 경계 조건 적용

앞에서 가정한 음압 식 (5)를 개방 경계조건 식 (7)에 대입하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

식 (17)에 식 (4)를 대입하면 다음과 같이 된다.

식 (18)의 양변에 cos(qπx_r/L_r)를 곱한 후에 경계 Γ_r을 따라 적분하면 다음과 같이 된다.

식 (19)는 다음과 같이 간단히 표현될 수 있다.

여기서 $$ H_{\left(q,m\right)}^{\left(r,i\right)}$$는 다음과 같다.

참고로, r=i와 q=m인 경우에 식 (16), (21)은 발산하여 바로 계산될 수 없으며, 극한 개념을 적용하여 계산하는 특별한 추가 조치가 필요하다.

2.6 시스템 행렬 추출

앞에서 구한 식 (15)와 식 (20)은 다음과 같이 각각 행렬식의 형태로 표현이 가능하다.

여기서 로컬 시스템 행렬 SM_G와 SM_H의 [(r-1)N_s+(q+1)]행 [(i-1)N_s+(m+1)]열 성분은 각각 식 (16)과 식 (21)에 의해 각각 주어진다. 그리고 벡터 A의 [(i-1)N_s+(m+1)]열 성분은 $$ A_m^{\left(i\right)}$$이며, 벡터 V와 U의 [(r-1)N_s+(q+1)]행 성분은 각각 $$ U_q^{\left(r\right)}$$와 $$ V_q^{\left(r\right)}$$이다. 마지막으로 최종 시스템 행렬식은 식 (22)와 식 (23)을 하나로 합치는 방법에 의해 다음과 같이 구해진다.

여기서 [SM_G SM_H]^T는 크기가 N_sN_e인 정사각 행렬이며, 이 논문에서는 글로벌 시스템 행렬로 정의한다. 식 (24)에 식 (6), (7)의 강체벽 경계 조건과 개방 경계 조건을 고려하면 각각 V = 0과 U = 0에 해당되므로, 식 (24)는 다음과 같이 된다.

식 (25)에서 A=0이 안 되기 위해서는 다음과 같이 글로벌 시스템 행렬의 판별식이 0이 되어야 한다.

식 (26)에서 로컬 시스템 행렬 SM_G와 SM_H는 식(1)에서 설명한 주파수 파라미터 (k의 함수이며, 식(26)을 만족하는 주파수 파라미터값으로부터 해석 대상 음향 공동의 고유치를 구할 수 있다.

3.1 허위 고유치 분석

Fig. 2와 같은 엄밀해(exact solution)가 존재하는 혼합 경계 조건을 가진 직사각형 음향 공동(가로 1.2 m, 세로 0.9 m)에 이 논문에서 제안된 방법을 적용하였다. Fig. 2에서 실선 경계는 강체벽 경계를 의미하며, 점선 경계는 개방 경계를 의미한다.

Fig. 2

Rectangular cavity with a mixed boundary (rigid-wall: ∂p/∂n=0 and pressure-release: p=0)

식 (26)을 만족하는 주파수 파라미터 값은 글로벌 시스템 행렬의 특이치(singular value)에 해당된다. 그래서, Fig. 3과 같이 N_s=4인 경우에 대해 det[SM_GSM_H]^T 곡선을 주파수 파라미터에 대해 그렸으며, 이 곡선에서 시스템 행렬 [SM_GSM_H]^T의 특이치들을 S₁ ~ S₁₂로 표시하였다. Table 1의 첫 번째 열에 요약된 이 특이치 값들을 혼합 경계에 대한 엄밀해(Table 1의 두 번째 열)⁽¹²⁾와 비교해보면, 6개 특이치 S₁, S₄, S₅, S₈, S₁₀, S₁₂만이 엄밀해와 정확히 일치함을 알 수 있다. 나머지 특이치들은 허위 고유치(spurious eigenvalue)에 해당되며, 이들 허위 고유치들 중에 S₂, S₃, S₆, S₇, S₉, S₁₁는 해석 대상 음향 공동과 같은 형상을 가진 강체벽 경계 음향 공동의 고유치(Table 1의 세 번째 열)와 일치하고, S₆,와 S₉는 개방 경계 음향 공동의 고유치(Table 1의 마지막 열)와 일치함을 알 수 있다. 이러한 사실로부터, 식 (26)에 의해 구해지는 고유치들 속에는 강체벽 경계 음향 공동의 고유치들과 개방 경계 음향 공동의 고유치들에 해당하는 허위 고유치들이 포함된다는 것을 알 수 있다. 다음 절에서는 이들 허위 고유치들을 제거하기 위한 방안이 제시된다.

Fig. 3

Determinant curves for det[SMGSMH]T of the rectangular cavity with the mixed boundary using Ns=4

Table 1

Eigenvalues of the rectangular cavity obtained by the proposed method and the exact solution

3.2 허위 고유치 제거 방안

3.1절에서 허위 고유치가 발생하는 원인은 글로벌 시스템 행렬 [SM_GSM_H]^T이 식 (27)과 같이 여러 개의 시스템 행렬들의 곱으로 나타내어 지기 때문인 것으로 추정 된다.

여기서 [SM_∂p/∂n=0]은 강체벽 경계 음향 공동의 시스템 행렬, [SM_p=0]은 개방 경계 음향 공동의 시스템 행렬, [SM_Mixed]은 혼합 경계 음향 공동의 시스템 행렬을 의미한다. [SM_∂p/∂n=0]은 식 (5)를 강체벽 경계 조건 식 (6)에 대입하는 방법(단, 식 (6)에서 r=1, 2, ···, N_e로 변경)에 의해 구해질 수 있다. 마찬가지로, [SM_p=0]은 식 (5)를 개방 경계 조건 식 (7)에 대입하는 방법(단, 식 (7)에서 r = 1, 2, ···, N_e로 변경)에 의해 구해질 수 있다. 참고로, [SM_Mixed]은 직접적으로 구해질 수 없다.

식 (27)을 식 (26)에 대입하면 다음과 같이 된다.

식 (28)로부터 혼합 경계 음향 공동의 시스템 행렬의 판별식을 식 (29)와 같이 구할 수 있다.

Fig. 4는 관심 주파수 대역에서 det[SM_Mixed] 곡선을 주파수 파라미터에 대해 그린 결과를 보여준다. Fig. 3의 곡선과는 차별적으로, 혼합 경계를 가진 음향 공동의 고유치에 해당되는 6개의 특이치들(S₁, S₄, S₅, S₈, S₁₀, S₁₂)만이 곡선에서 나타나고, 허위 고유치 값들은 특이치들에서 성공적으로 배제됨을 확인할 수 있다.

Fig. 4

Determinant curves for det[SMMixed] of the rectangular cavity with the mixed boundary using Ns=4

4.1 혼합 경계 직사각형 음향 공동

Fig. 2의 혼합 경계 조건을 가진 직사각형 음향 공동에 이 논문에서 제안된 방법(식 (29))을 적용하여, 급수 함수의 개수 N_s값을 변화시킴에 따른 고유치의 수렴성과 정확성을 확인하고자 한다.

Table 2는 이 논문에서 제안된 방법(proposed method), 엄밀해(exact solution)⁽¹²⁾, FEM(ANSYS)에 의해 구해진 고유치 결과들을 보여준다. 표에서 알 수 있듯이, 이 논문에서 제안된 방법은 단지 N_s=3일 때 엄밀해에 완전히 수렴된 정확한 결과를 제공함을 확인할 수 있다. 1271개의 많은 노드를 사용한 FEM(ANSYS) 고유치 결과는 엄밀해와 0.03 % ~ 0.17 % 정도의 오차를 가지는 것으로 확인되며, 이 사실로부터 제안된 방법이 FEM에 비해 적은 수치 계산량으로도 더 정확한 결과를 제공함을 확인할 수 있다. 한편, 인 경우에 여섯 번째 고유치는 아직 구해지지 않음을 확인할 수 있으며, 이는 여섯 번째 고유 모드 형상이 2개의 급수 함수로는 나타내기가 충분치 않기 때문인 것으로 판단된다.

Table 2

Eigenvalues of the rectangular cavity by the proposed method, the exact solution, FEM and the NDIF method (parenthesized values denote errors(%) with respect to the values by the exact solution)

Table 2에의 마지막 열에는 NDIF법⁽¹³⁾에 의해 구해진 고유치 결과를 보여준다. 저자가 처음 개발한 고정밀도 고유치 추출 기법⁽¹⁴⁾인 NDIF법은 노드 수가 증가할 경우, 저차의 고유치가 수렴하지 않고 발산하는 단점이 존재한다. 이러한 이유로 해서 첫 번째 고유치가 구해지지 않음을 Table 1에서 확인할 수 있다. 반면에 이 논문에서 제안된 방법은 이러한 단점이 나타나지 않음을 확인할 수 있다.

4.2 임의 형상 오목 음향 공동

이 예제 검증에서는 Fig. 5와 같은 혼합 경계를 가진 임의 형상 음향 공동이 고려되었다.

Fig. 5

Arbitrarily shaped cavity with a mixed boundary condition (rigid-wall:∂p/∂n=0 and pressure-release:p=0).

Fig. 6은 N_s=6인 경우에 대한 식 (29)의 det[SM_Mixed] 곡선을 보여준다. 이 곡선상에 표시된 6개의 특이치 S₁ ~ S₂은 Table 3에 요약되었으며, 이 값들은 FEM에 의해 구한 고유치들과 단지 0.03 % ~ 0.15 % 오차 범위 내에서 거의 일치함을 보여준다. 아울러 허위고유치들이 성공적으로 제거되어졌음도 확인 가능하다. N_s=5,7,8에 대한 고유치 추출 결과도 Table 3에 요약되었다. N_s값이 증가됨에 따라 고유치가 어떤 값에 수렴이 되는 우수한 수렴성을 가짐을 확인할 수 있으며, 단지 N_s=8개를 사용한 경우의 고유치들은 2542개의 많은 노드를 사용한 FEM 결과와 거의 정확히 일치함(0.03 % ~ 0.08 % 오차 범위)을 알 수 있다. 참고로 해석 대상 음향 공동은 엄밀해가 존재하지 않기 때문에, 많은 노드를 사용한 FEM 결과와 비교하여 제안된 방법의 정밀도와 수렴성을 검증하였다.

Fig. 6

Determinant curves for det[SMmixed] of the rectangular cavity with the mixed boundary using Ns=6

Table 3

Eigenvalues of the arbitrarily shaped cavity by the proposed method and FEM (parenthesized values denote errors (%) with respect to the values by FEM using 2542 nodes)