켑스트럼 분석을 이용한 교량 케이블의 신속한 기본진동수 추출

2.1 케이블 장력 산정

케이블의 처짐 효과(sag effect)는 무시하고 휨강성(bending stiffness)은 고려한 케이블 운동 방정식은 식 (1)과 같이 표현되며, 양단 힌지의 경계조건을 적용하여 방정식의 해를 구하면 식 (2)와 같이 표현된다⁽⁹⁾.

여기서 m은 케이블의 단위길이당 질량, EI 는 케이블의 휨강성, T 는 케이블의 장력, L 은 케이블의 길이, n은 케이블의 진동 모드차수, f_n은 n차 고유진동수를 의미한다. f_n/n은 기본진동수 f₀으로 정의하기로 한다. 한편 측정된 모드별 고유진동수에 대해서 n²을 x축으로 하고 (f_n/n)²을 y축으로 하여 그 값을 도시하면 1차 선형 회귀식(y = ax + b)으로 상관관계를 표현할 수 있다. 이 회귀식의 기울기와 y절편은 식(2)에서 각각 변수 a와 b를 의미하며, 구해진 b로부터 T 는 다음 식 (3)과 같이 산정된다.

식 (3)에 의한 산정법은 신뢰할만한 선형 회귀모델을 만들기 위해서 다수의 진동 모드를 사용하는 방법으로써 다중모드 산정식으로 불린다.

보다 간략한 산정방법으로써 케이블의 처짐 효과와 휨강성을 모두 고려하지 않은 조건에서 충분히 길고 가느다란 케이블에 대해 현 이론(taut string theory)에 적용하면 다음 식 (4)와 같이 고유진동수와 케이블 장력의 관계를 얻을 수 있다.

한편 Ahn, S. S. et al.⁽¹⁰⁾은 Irvine⁽¹¹⁾의 케이블 선형 이론에 케이블의 휨강성을 포함한 고유진동수 변화에 영향을 미치는 케이블의 처짐, 감쇠 및 댐퍼 강성을 모두 고려할 수 있는 정밀 산정식을 제시하였다. 케이블 처짐 효과는 1차 고유진동수(f₁)에 가장 큰 영향을 주게 되며, Ahn, S. S. et al.이 제시한 식에서 처짐, 감쇠, 댐퍼 강성을 무시하면 식 (2)와 같아진다. 따라서 복잡한 정밀 산정식보다는 실용적 측면에서 다중모드 산정식이나 현 이론 산정식이 보다 많이 활용되고 있다. 대신에 케이블 처짐 효과의 영향이 큰 f₁은 배제하고 나머지 진동 모드(f₂ , f₃ , …)을 이용하여 비선형성을 최소화하는 방식을 취한다.

2.2 켑스트럼 분석

켑스트럼은 임의의 주어진 신호에 대해 푸리에 변환(Fourier transform)을 수행하여 스펙트럼을 구하고 이 스펙트럼의 로그값에 역 푸리에 변환(inverse Fourier transform)을 수행한 결과이다. 이러한 의미를 담아 ‘spectrum’에서 첫음절 ‘spec’을 ‘ceps’로 뒤집어 용어를 정의했다. 켑스트럼은 복소(complex), 실(real), 파워(power) 켑스트럼으로 구분할 수 있으며, 시간 영역에서의 신호 x (t) 의 푸리에변환을 Ƒ{x(t)}라고 하면 파워 켑스트럼은 다음 식 (5)와 같이 표현된다.

여기서 Ƒ^-1는 역푸리에변환을 의미한다. 이처럼 C_p (τ) 는 신호 x(t)의 시간 영역에 대응하는 영역으로의 변환이며, 시간 축의 독립변수는 ‘frequency’의 일부 문자의 순서를 바꾸어 ‘quefrency’라고 부르며 시간의 차원을 갖는다. 비슷한 방식으로 ‘harmonics’를 ‘rahmonics’로 ‘filter’를 ‘lifter’로 ‘magnitude’를 ‘gamnitude’ 등으로 대응한다. 이 변환은 신호에 내재된 주기성에 관한 정보를 쉽게 표현하는 장점이 있어서 일정한 시간 간격으로 반복되는 주기를 결정하는데 널리 이용되고 있다. 켑스트럼에서 나타나는 rahmonics 중에서 첫 번째로 크게 나타나는 첨두(first rahmonic peak)가 fundamental quefrency에 해당하며, 그 역수를 취하면 신호 x (t) 의 기본진동수가 된다. 전반적인 켑스트럼 분석 절차와 예시⁽⁷⁾를 간략히 도시하면 Fig. 1과 같다.

Fig. 1

Illustrated procedure of cepstral analysis

3.1 대상 케이블

진동 신호 분석에 사용된 케이블은 고속도로 사장교 구간에 설치된 것이다. Fig. 2와 같이 사장교 보강거더는 5경간 연속(60 + 200 + 470 + 200 + 60 = 990 m)이며, 케이블은 두 개의 H형 주탑을 중심으로 마치 부채꼴 모양으로 배치되어 주탑과 보강거더를 서로 연결한다. 케이블은 상·하행측 각각 18개/면× 4면으로 총 144개로 구성되어 있으며, 길이는 54 m ~ 247 m에 이른다. 케이블 한 개는 37 가닥~ 91 가닥의 강연선(strands) 다발로 구성되며, 지름 18 cm ~ 28 cm 크기의 고밀도 폴리에틸렌(HDPE) 보호관 내에 삽입되어 있다. Fig. 2에 표시한 것처럼 교량 SHMS의 일부로 총 24개의 가속도계가 상·하행측 케이블 보호관 표면에 영구 부착되어 있으며, 상시 진동 신호는 100 Hz로 실시간 수집되어 매 10분 간격으로 데이터 처리 후 저장되고 있다. 참고로 케이블 표기는 상행은 U, 하행은 D로 구분하며, 좌측에서 우측으로 순서대로 1부터 72까지 번호를 부여하였다.

Fig. 2

3-D bridge shape and accelerometer layout

3.2 고유진동수 추출 시 문제점

식 (2)나 식 (4)와 같이 진동법으로 케이블 장력을 산정하기 위해서는 주파수 영역에서 n과 f_n에 해당하는 첨두 추출(peak-picking)을 정확히 해야 한다. 하지만 공용 중인 장대교량에서는 가진 방식이 아닌 미소한 상시 진동 신호로부터 만들어진 파워 스펙트럼의 특질이 좋지 않으면 첨두값들을 추출하기가 쉽지 않다. 이로 인해 저주파 대역에서 어떤 첨두가 f₁인지 어떤 첨두가 f₂인지를 결정하거나, 고주파 대역에서 f_{n = x} 가 몇 번째 진동 모드차수에 해당하는지 구분하기 어려운 사례가 발생한다.

실제로 교량에서는 케이블의 유효길이가 충분히 길어서 케이블 기본진동수는 대체로 낮은 주파수 대역에 속한다. 또한 케이블은 주탑과 보강거더를 연결하는 부재이기 때문에 Fig. 3과 같이 저주파 대역에서는 이들 구조계의 고유진동수와 일부 커플링(coupling) 되기도 한다. 고주파 대역에서는 Fig. 4와 같이 주행 차량이나 바람 등에 의한 영향이 포함되어 첨두가 명확히 구별되지 않기도 한다. 이 외에도 센서 고장, 노이즈, 신호처리 누설오차 등도 첨두 추출에 영향을 끼친다.

Fig. 3

Cable frequencies coupled with natural frequencies of girder

Fig. 4

Cable frequencies mixed with traffic loads, strong winds, and etc.

한편 케이블 장력은 부재 온도 상승과 하강, 활하중 증가, 구조계 변화 등으로 인해 시간에 따라 변할 수 있다. Fig. 5는 케이블 길이가 매우 긴 C01U와 C01D의 연간 일평균 케이블 장력을 나타낸 것으로 일, 계절에 따른 온도 변화로 인해 장력이 변하는 것을 볼 수 있다. Fig. 5에서 2015년 12월에는 일시적인 장력 증가 현상이 눈에 띄는데, 이는 온도 변화로 인한 것이 아니라 12월 3일 케이블 낙뢰·화재 사고로 C72D가 끊어지는 구조계 변화로 인해 전체 케이블 장력에 변화가 발생했기 때문이다.

Fig. 5

Yearly variations of cable tension forces

이처럼 케이블 장력이 변한다는 것은 같은 의미로 f_n과 f₀이 달라진다는 것을 말한다. Fig. 6(a)는 2019년 3월 온도가 10.0 ℃로 낮았을 때(case 1)와 같은 해 7월 온도가 30.3 ℃로 높았을 때(case 2) 측정한 C01D의 파워 스펙트럼을 나타낸 것이다. 온도차 영향으로 인해 f_n이 서로 다르게 나타나는 것을 알 수 있으며, case 1의 f₀는 0.4566 Hz, case 2의 f₀는 0.4673 Hz로 계산되었다.

Fig. 6

Load-deflection measurements for representative wire mesh mount prototypes

다수의 장대교량에 구축된 SHMS은 f_n을 자동 추출하는 과정에서, 프로그램은 이미 알려져 입력된 케이블의 기본진동수($$ f_0^{\mathrm{*}}$$) 및 고유진동수($$ f_n^{\mathrm{*}}$$ = n × $$ f_0^{\mathrm{*}}$$, n = 1, ⋯, m )를 기준으로 좌우 일정 간격 내에서 첨두값을 찾는 방식으로 구현되어 있다. 만약 측정한 f₀이 $$ f_0^{\mathrm{*}}$$와 같거나 변화가 크지 않다면 주어진 m × $$ f_0^{\mathrm{*}}$$주변에서 f_m의 첨두값을 정확히 찾을 수 있다. 하지만 Fig. 6(a)처럼 온도 변화로 인해 f₀가 유의미하게 변하는 경우, Fig. 6(b)에서 case 1과 case 2 모두 정해진 구간 내에서 저차모드인 f₄의 첨두값을 찾지만, Fig. 6(c)에서 case 2는 정해진 구간 내에서 고차모드인 f₁₄의 첨두값을 찾지 못하거나 비정상 값을 추출하는 오류가 발생한다.

결과적으로 정리하면 Fig. 3, Fig. 4 및 Fig. 6에서 알 수 있듯이 외부로부터의 저주파 및 고주파 성분의 영향과 함께 케이블 장력 자체가 변하기 때문에 f_n과 f₀을 관리자가 수동으로 찾거나 자동으로 추출하는 프로그램을 만드는 것이 쉽지 않다. 더구나 이 연구의 대상교량처럼 측정해야 할 케이블의 수량이 많고, 측정횟수와 분석할 모드의 갯수가 증가할수록 하나하나 첨두값을 찾는 것은 상당한 시간과 노력이 필요하다.

3.3 켑스트럼을 이용한 개선

앞서 Fig. 6(a)의 주파수 영역 스펙트럼에서 f₀ 간격으로 규칙적으로 케이블 고유진동수가 나타나는데 이는 일종의 조화성분으로 간주할 수 있다. 따라서 이 연구에서는 케이블 처짐 효과가 큰 f₁을 제외한 다른 f_n은 주파수 영역에서 주기성을 갖는다고 가정하여 f₀을 찾는데 켑스트럼 분석을 이용하였다. 이럴 경우 n(n = 1, ⋯, m)에 해당하는 f_n을 수동으로 찾고 f₀을 따로 계산하지 않아도 되므로 3.2절에서 제기된 문제점을 개선하면서 계산시간 단축과 함께 자동화가 가능하다. 역으로 켑스트럼 분석을 통해 구해진 f₀을 $$ f_0^{\mathrm{*}}$$으로 활용하면 Fig. 6(c)에 나타난 문제점도 개선된다. 한편 2.2절에서 설명한 것처럼 켑스트럼에서 첫 번째로 가장 크게 나타나는 첨두가 fundamental quefrency(이하 기본주기(T_f0)로 표기)를 의미한다. 따라서 이 연구에서는 켑스트럼에서 보다 뚜렷하고 명확히 구분되는 T_f0을 얻기 위해 스펙트럼 데이터 전처리 과정을 제시하였다.

첫 번째로 외부로부터의 저주파 성분 영향을 최소화하기 위해 0 Hz부터 3 ×$$ f_0^{\mathrm{*}}$$ Hz까지는 0으로 대체하였다. 이를 통해 케이블 처짐 효과가 반영된 f₁과 구조계의 고유진동수의 효과는 상당수 제거된다.

두 번째로 외부 고주파 성분 영향을 줄이기 위해 20 × $$ f_0^{\mathrm{*}}$$ Hz 대역 이상은 0으로 대체하였다. 이를 통해 스펙트럼에서 케이블 진동에 의한 조화성분만이 강조된다.

세 번째로 대역통과 lifter를 사용하여 노이즈 영향은 줄이면서 관심 quefrency 영역만 통과되도록 하였다. Mordini, A. et al.⁽¹²⁾은 많은 사장교 케이블의 고유진동수에 대한 실측 데이터베이스를 만들어 케이블 길이에 따른 1차 고유진동수 추세식을 다음 식 (6)과 같이 제시하였다.

사장교 케이블 길이가 통상 35 m ~ 350 m 범위에서 가설되는 것을 감안하면 케이블의 첫 번째 고유진동수는 0.3 Hz ~ 3.0 Hz 범위에 해당한다. 이를 반영하여 대역통과 lifter를 설계하였다.

네 번째로 켑스트럼은 스펙트럼의 스펙트럼을 다루기 때문에 quefrency 분해능(resolution) dT_f가 중요하다. 만약 dT_f가 0.01 s이고 길이가 긴 케이블의 T_{f0, L}가 2.00 s (f_{0, L} = 0.5 Hz), 길이가 짧은 케이블의 T_{f0, S}가 0.50 s(f_{0, S} = 2.0 Hz)라고 가정할 때, dT_f 만큼 첨두 간격이 달라지면 기본진동수 계산에 다음 식 (7)과 식 (8)과 같은 오차가 발생된다.

즉, 주기가 작고 길이가 짧은 케이블의 오차가 크게된다. 따라서 정확도 향상을 위해서는 quefrency의 분해능을 높이는 것이 필요하다. 이를 위해 제로 패딩(zero padding) 기법을 적용하였으며, 켑스트럼 분석 전 단계인 스펙트럼 분석 시 사용된 데이터 수인2^N 의 2배(2^{N +1})까지 0을 추가로 붙여넣었다.

3.4 적용 및 검증

케이블 가속도 신호는 Fig. 7과 같이 100 Hz 샘플링으로 10분간 수집된 데이터를 사용하였다. 먼저 이산 푸리에 변환(DFT) 데이터 수는 2¹⁴를 적용하고 3차 Butterworth 대역통과 필터 및 Hanning 윈도우를 사용한 스펙트럼 분석을 수행하여 Fig. 8과 같은 주파수 성분을 얻었다. 다음 단계로 3.3 절의 스펙트럼 데이터 전처리 과정을 거친 후, 켑스트럼 분석을 수행하여 Fig. 9와 같은 시간 영역의 결과를 얻었다. 스펙트럼 데이터 전처리를 통해 첨두값이 보다 명확히 구분되며 0에 가까운 대역도 안정적인 것을 Fig. 9를 통해 알 수 있다. 첫 번째 첨두값 T _f0가 2.14 s에서 나타나므로 C01U의 f₀는 1/2.14 = 0.4673 Hz인 것을 쉽게 알 수 있다.

Fig. 7

Time history of cable acceleration

Fig. 8

PSD of cable acceleration

Fig. 9

Cepstrum of cable acceleration

이 연구에서 제시된 켑스트럼 분석 기법의 타당성을 검증하기 위해 2019년 9월 7일 태풍 링링(Ling Ling)이 대상교량 인근을 통과했던 시기를 전후로 수집된 총 24개 케이블의 가속도 신호를 대상으로 분석을 수행하였다. Table 1은 켑스트럼 방법(Method 2 – 제안 방법)과 함께 파워 스펙트럼에서 수동으로 직접 첨두값을 고르는 peak-picking 방법(Method 1 – 기존 방법)을 비교 정리한 것이다. 참고로 합(total) 분석오차는 2011년 정밀안전진단 분석 결과를 기준값으로 설정하였다. 먼저 태풍이 영향을 미치기 전인 2019년 9월 6일 15:00 데이터 분석 결과를 보면 두 방법(Method 1, Method 2) 모두 ±0.5 % 범위에서 일치되게 기본진동수가 추출되어 켑스트럼 분석 기법이 유효한 방법임을 확인할 수 있었다. 이후 켑스트럼 분석 기법으로 태풍 영향 시작(9.7 00:10), 최근접(9.7 13:00), 영향 끝(9.7 18:00), 평상 시(9.8 13:00) 데이터를 신속하게 분석하였으며, ±1.0 % 이내에서 기본진동수를 제대로 추출할 수 있었다. 태풍 전후로 케이블 기본진동수 변화가 크지 않았다는 점과 2001년 부터 2019년까지 오차 변화도 크지 않았다는 점에서 케이블 장력은 건전한 상태로 유지되고 있다고 평가 할 수 있다.

Table 1

Comparison of fundamental frequencies

한편 켑스트럼 분석 기법을 교량 SHMS의 자동 분석 프로그램으로 사용 검토하기 위해 2019년 2월 28일부터 12월 31일까지 장기간 매일 03:00와 15:00에 수집된 케이블 가속도 신호를 대상으로 일괄처리 분석을 수행하였다. 대표적으로 Fig. 10 ~ Fig. 12는 C01D, C26D, C36D의 기본진동수 추출 결과를 도시한 것으로서 기본진동수가 정상적으로 추출되었음을 확인할 수 있다. C01D의 f₀은 Fig. 5와 마찬가지 경향으로 온도에 선형 비례하며, C26D의 f₀은 온도에 선형 비례하나 그 영향이 크지 않으며, C36D의 f₀은 온도에 선형 반비례한다. 이는 온도하중에 대한 구조해석 결과와도 일치하는 경향이다. 이처럼 장기 데이터의 분석 결과로부터 다양한 외적 영향이 반영된 조건에서도 켑스트럼 분석 기법이 매우 안정적으로 적용될 수 있음을 확인할 수 있었다.

Fig. 10

Fundamental frequencies of C01D by cepstral analysis

Fig. 11

Fundamental frequencies of C26D by cepstral analysis

Fig. 12

Fundamental frequencies of C36D by cepstral analysis