이론적 진동모드 특성에 기반한 티모센코 보의 제2진동수 스펙트럼에 관한 연구

2.1 자유진동 운동방정식

임의 위치 x와 시간 t에서의 보의 변위, 회전각을 각각 y(x,t), θ(x,t)라 표기하면, 자유진동시의 티모센코 보의 운동방정식은 다음과 같다.

여기서 ρA는 단위 길이 당 질량, ρI는 단위 길이 당 중립축에 대한 질량관성모멘트, EI는 굽힘강성, κGA는 전단강성을 나타낸다.

2.2 직교조건

식 (1), (2)에서 ρA, Iρ, κGA, EI가 모두 상수일 때, 운동방정식의 해를 다음과 같이 가정하여,

식 (3)과 식 (4)를 식 (1)과 식 (2)에 대입하고 변수분리하면 다음과 같은 세 개의 상미분방정식을 얻는다.

여기서 문자 위의 점(dot)은 시간에 관한 미분을 의미하고, 상첨자 프라임(prime)은 x에 관한 미분을 의미한다. 그리고 ω는 고유진동수이고 Y와 Θ는 고유모드이다. 식 (6)과 식 (7)을 행렬로 표현하면 다음과 같다.

여기서 [L]와 [M]는 식 (9), (10)과 같다.

r번째 고유모드([Y_r Θ_r]^T)와 s번째 고유모드([Y_s Θ_s]^T)를 식 (8)에 각각 대입하여 얻은 두 식을 이용하면 전통적 경계조건(단순지지, 고정, 자유)을 만족시키는 Y(x)와 Θ(x)에 대해 식 (11), (12)와 같은 티모센코 보의 직교조건을 얻는다⁽¹²⁾.

식 (11), (12)의 고유진동형 [Y_r Θ_r]^T은 식 (13), (14)와 같이 정규화 할 수 있다.

여기서 $$ {\tilde{Y}}_r\left(x\right) \mathrm{및} {\tilde{\Theta }}_r\left(x\right)$$는 정규화된 고유진동형(normalized eigenfunction)이다.

2.3 고유진동형과 고유진동수 방정식

식 (6), (7)의 해를 식 (15), (16)과 같이 가정한다.

가정한 해를 식 (6)과 식 (7)에 대입하여 정리하고 행렬로 표현하면 식 (17)과 같다.

여기서, $$ a=\frac{{\omega }^2\rho A}{\kappa GA},b=\frac{{\omega }^2\rho I-\kappa GA}{EI},c=\frac{\kappa GA}{EI}$$이다.

그런데 W₁와 W₂는 모두 0이 될 수 없으므로 (만일 0일 경우 식 (15), (16)에서 가정한 Y(x) 및 Θ(x)는 모두 0이 된다.), 식 (17)의 계수행렬의 행렬식은 0이 되어야 한다. 즉,

여기서

이다.

m² ≠ 0일 때 식 (17)과 식 (18)을 만족하는 0이 아닌 [W₁ W₂]^T는 [m m²+a]^T이다⁽¹¹⁾. 따라서 m² ≠ 0일 때, 식 (15)와 식(16)의 Y(x), Θ(x)는 식 (21)과 같은 형태이다.

그런데 m² ≠ 0일 때, 식 (18)의 근은 식 (22)와 같다.

여기서 ∆ = d² - 4e이고 항상 양수이다. (m_b)²은 항상 음수이나 (m_a)²은 그렇지 않다. 따라서 근은 (m_a)²이 양수인 경우와 음수인 경우로 나누어 고려한다. (m_a)² = 0에 대응하는 진동수를 임계진동수(critical frequency)라 하며 식 (23)과 같이 정의된다.

(1) (m_a)² > 0일 경우, 즉 ω < ω_c일 때:

식 (18)의 4개의 근은 식 (24)와 같다.

여기서 j는 허수 단위이다. 따라서 Y(x)와 Θ(x)의 일반해는 식 (25)와 같다.

여기서 C₁, C₂, C₃, C₄는 임의의 상수들이고, A, B, C, D는 A = (C₁ + C₂)r₁, B = (C₁ - C₂)r₁, C = -(C₃ + C₄)r₂, D = (C₃ - C₄)(jr₂)로서 임의의 상수들이다.

(2) (m_b)² < 0일 경우, 즉 ω > ω_c일 때:

식 (18)의 4개의 근은 식 (26)과 같다.

따라서 Y(x)와 Θ(x)의 일반해는 식 (27)과 같다.

여기서 $$ \overline{C_1}, \overline{C_2}, \overline{C_3}, \overline{C_4}$$는 임의의 상수들이고, $$ \overline{A},\overline{B}, \overline{C}, \overline{D}$$는 $$ \overline{A}=-\left(\stackrel{-}{C_1}+\stackrel{-}{C_2}\right)p_1, \mathrm{ }\overline{B}=\left(\stackrel{-}{C_1}-\stackrel{-}{C_2}\right)j{p}_1, \overline{C}=-\left(\stackrel{-}{C_3}+\stackrel{-}{C_4}\right)p_2, \overline{D}=\left(\stackrel{-}{C_3}-\stackrel{-}{C_4}\right)\left(j{p}_2\right)$$로서 임의의 상수들이다.

식 (25)와 식 (27)의 임의의 상수들은 각각 다음의 경계조건들에 의해 결정된다.

· 고정단에서의 경계조건;

· 단순지지단에서의 경계조건;

· 자유단에서의 경계조건;

Fig. 1의 보들에 위의 경계조건들(식 (28) ~ (33))을 식 (25)와 식 (27)에 적용하면 각 보의 고유진동수 방정식 및 고유진동형을 구할 수 있다. 그 결과들을 Table 1과 Table 2에 각각 정리하였다.

Fig. 1

Four test models

Table 1

Frequency equations of the beams

Table 2

Natural modes of the beams: the relations between coefficients in Eq. (25) and Eq. (27)

3.1 양단 단순보

기하학적 데이터를 변화시켜 얻는 세장비의 역수(s^-1)와 무차원 고유진동수⁽⁶⁾($$ {\omega }_n^{\mathrm{*}}={\omega }_{n}L\sqrt{\rho /E}$$)의 관계를 Fig. 3에 도시하였다.

Fig. 3

The dimensionless natural frequency curves for the hinged-hinged beam

Fig. 3에서 실선 및 점선의 곡선들은 Han 등⁽⁶⁾이 제안한 방법을 사용하여 계산한 결과이다. 이중 파란 실선(s^-1가 증가함에 따라 감소하는 쌍곡선 형태의 맨 아래쪽 곡선)은 임계진동수(ω_c)에 대응하는 무차원 임계진동수($$ {\omega }_c^{\mathrm{*}}={\omega }_{c}L\sqrt{\rho /E}$$) 곡선이다. 그리고 이산적 값(○, +, □, ☓, ∗ 등으로 표시)들은 2장에서 제시한 고유진동수 방정식을 이용하여 계산한 값들이다. 또한 변위 및 회전각의 정규화된 고유진동형의 특징{변위 고유진동형($$ \tilde{Y}$$)의 절점 수(number of nodes), 회전각 고유진동형($$ \tilde{\Theta }$$)의 절점 수, 고유진동형의 형태(대칭 또는 반대칭)}을 Fig. 3에서 각각의 해당 고유진동수에 부기하였다. 예를 들면 변위의 고유진동형의 절점이 2개이고, 회전각 진동형의 절점이 1개, 변위 고유진동형의 형태가 대칭형(symmetric mode)일 경우, ‘2(1)s’로 표기하였다. 그리고 변위 고유진동형의 절점이 3개, 회전각 고유진동형의 절점이 2개, 그리고 변위의 진동형이 반대칭형(anti-symmetric mode)일 경우 ‘3(2)a’로 표기하였다.

Fig. 3으로부터 다음의 사실을 확인할 수 있다. 첫째, 두 방법으로 얻은 무차원 고유진동수의 분포가 정확히 일치한다.

둘째, 쌍곡선 형태의 고유진동수 곡선과 단순증가 형태의 고유진동수 곡선들이 상호 교차한다. 그러나 동일한 무차원 고유진동수 곡선상에 존재하는 고유진동형은 모두 동일하다.

셋째, s^-1의 값에 따라서 오일러 보에서 볼 수 있는 고유진동형의 분포순서와는 전혀 다름을 알 수 있다. 일반적으로 오일러 보에서와 같이 변위의 고유진동형($$ \tilde{Y}$$)은 고유진동수가 증가함에 따라 ‘대칭-반대칭-대칭-반대칭-대칭-반대칭-대칭-반대칭-대칭-반대칭’의 순서로 대칭 모드과 반대칭 모드가 교대로 분포한다. 그러나 티모센코 보에서는 s^-1이 변함에 따라 오일러 보에서 보여준 분포와 다른 분포순서를 보인다. 예를 들면, s^-1=0.1097일 때 변위의 고유진동형은 ‘대칭-반대칭-대칭-대칭-반대칭-대칭-반대칭-반대칭-대칭-대칭-반대칭-반대칭’의 순서로 분포하고(Fig. 3 참조), s^-1=0.1828일 때의 변위 고유진동형($$ \tilde{Y}$$)은 ‘대칭-반대칭-대칭-대칭-반대칭-반대칭-대칭-반대칭-대칭-대칭-반대칭-반대칭’과 같은 순서로 분포함을 확인할 수 있다. 즉, 고유진동수가 증가함에 따라 나타나는 고유진동형 형태(대칭 또는 반대칭)의 순서가 불규칙하다.

넷째, 저차 모드에서 나타났던 변위의 고유진동형($$ \tilde{Y}$$)이 고차모드에서 다시 나타난다. 즉, 서로 다른 고유진동수임에도 불구하고 동일한 변위의 고유진동형($$ \tilde{Y}$$)이 2개씩 나타난다. 이에 따라 고유진동수를 두 부류로 분류하고 있다. 하나는 저차 모드에서 처음으로 나타나는 고유진동형들의 집합으로서 이에 속하는 고유진동수들을 제1스펙트럼이라 부른다. 다른 하나는 저차 모드에서 이미 나타난 동일한 고유진동형이 다시 나타나는 고유진동수들의 집합으로서 제2스펙트럼이라 부른다. 이와 같은 현상을 보이기 위해, s^-1=0.1097 및 s^-1=0.1828일 때의 처음 12개의 모드들에 대하여 진동수들을 제1스펙트럼과 제2스펙트럼으로 분류하여 각각 Table 4와 Table 5에 정리하였다. Table 4와 Table 5에서 n은 고유진동수가 증가하는 순의 일련번호로서 고유진동수의 모드 번호(mode number)를 의미한다.

Table 4

Natural frequencies ωn(rad/s) of the hinged-hinged beam for s-1=0.1097

Table 5

Natural frequencies (rad/s) of the hinged-hinged beam for s-1=0.1828

Table 4에서 s^-1=0.1097일 때의 변위의 고유진동형($$ \tilde{Y}$$)을 보면, n=1일 때와 n=4일 때 동일한 고유진동형의 절점 수 2(1)를 가진다. 여기서, n=1의 고유진동수는 제1스펙트럼에 속하고, n=4의 고유진동수는 제2스펙트럼에 속한다. n=2와 n=7의 고유진동형들의 절점 수가 3(2)로 동일하며, n=2의 진동수는 제1스펙트럼, n=7의 진동수는 제2스펙트럼에 속한다.

또한, Table 5에서 n=1, 2, 4, 5일 때의 고유진동형($$ \tilde{Y}$$)의 특징(절점 수 및 대칭 또는 반대칭)은 각각 n=3, 6, 9, 12일 때의 고유진동형의 특징과 일치한다. 그러므로 n=1, 2, 4, 5의 고유진동수는 제1스펙트럼에 속하고, n=3, 6, 9, 12의 고유진동수는 제2스펙트럼에 속한다.

위의 논의를 구체적으로 확인하기 위해 Table 4와 Table 5에서 제2스펙트럼이 존재하는 고유진동형들을 Table 6과 Table 7에 도시하였다. Table 6에서 보는 바와 같이 제1스펙트럼에 속하는 고유진동형과 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형의 쌍들의 $$ \tilde{Y}$$는 각각 동일하나 제1스펙트럼의 $$ \tilde{\Theta }$$와 제2스펙트럼의 $$ \tilde{\Theta }$$의 위상이 반대이다. 이러한 현상은 Table 7에서도 마찬가지로 나타나고 있다.

Table 6

Comparison of the normalized natural modes between the first spectrum and the second spectrum of the hinged-hinged beam for s-1=0.1097

Table 7

Comparison of the normalized natural modes between the first spectrum and the second spectrum of the hinged-hinged beam for s-1=0.1828

3.2 양단 고정보

양단 고정보의 경우, 고유진동수 방정식으로부터 s^-1의 변화에 따른 무차원 고유진동수의 분포를 구하여 그 결과를 Fig. 4에 도시한다. Fig. 4에서 쌍곡선 형태의 곡선들 중 맨 아래 곡선(파란색 실선)은 ω_c에 대응하는 곡선이다. 양단 고정보에서는 Han의 이론⁽⁶⁾에 Runge-Kutta method를 적용하여 4개의 무차원 파수만 구할 수 있었다. 그 이상의 무차원 파수는 계산이 정확하게 수렴하지 않아 무차원 고유진동수를 계산할 수 없어 도시하지 않았다.

Fig. 4

The dimensionless natural frequency curves for the clamped-clamped beam

Fig. 4로부터 다음과 같은 사실들을 확인할 수 있다. 첫째, 두 방법으로 얻은 무차원 고유진동수의 분포가 정확히 일치한다.

둘째, 일부의 무차원 고유진동수 곡선을 제외하고 고유진동수 곡선들이 교차한다. 그러나 양단 단순보와는 달리, 동일한 무차원 고유진동수 곡선 상에 존재하는 고유진동형은 s^-1값에 따라 다를 수 있다(Fig. 4 참조).

셋째, s^-1에 따른 고유진동형의 분포순서가 바뀌는 것을 확인할 수 있는데, 예를 들면 s^-1=0.0987일 때의 변위 고유진동형($$ \tilde{Y}$$)은 고유진동수가 증가함에 따라 “대칭-반대칭-대칭-반대칭-반대칭-대칭-대칭-반대칭-대칭-반대칭-반대칭-대칭”의 순서로 나타나고, s^-1= 0.2193일 때의 변위 고유진동형에서는 “대칭-반대칭-반대칭-대칭-반대칭-대칭-대칭-반대칭-반대칭-대칭-반대칭-대칭”의 순서로 나타난다. 즉, 고유진동수가 증가함에 따라 나타나는 고유진동형 형태(대칭 또는 반대칭)의 순서가 불규칙하다.

넷째, 저차 모드에서 나타났던 변위의 고유진동형($$ \tilde{Y}$$)이 고차모드에서 다시 나타난다. 양단 단순보의 경우, ω < ω_c의 영역에 속하는 모든 저차 고유진동수들에 대응하는 제2스펙트럼이 존재하였다. 그러나 양단 고정보의 경우에는 ω < ω_c의 영역에 속하는 모든 고유진동수들에 대해서 제2스펙트럼이 존재하지 않을 수 있음을 알 수 있다. 이 점은 양단 단순보와 다르다. 이와 같은 특징을 살펴보기 위해 s^-1=0.0987 및 s^-1=0.2193일 때의 처음 12개의 고유진동수들을 제1스펙트럼과 제2스펙트럼으로 분류하여 Table 8과 Table 9에 정리하였다.

Table 8

Natural frequencies ωn(rad/s) of the clamped-clamped beam for s-1=0.0987

Table 9

Natural frequencies (rad/s) of the clamped-clamped beam for s-1=0.2193

Table 8을 보면 임계진동수보다 작은 고유진동수들(n=1, 2, 3)에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수들이 존재하지 않으며, Table 9에서는 n=1에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수가 존재하지 않음을 알 수 있다. 제1스펙트럼에 속하는 고유진동형과 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형의 특징을 확인하기 위해 Table 8의 고유진동수들 중에서 제2스펙트럼이 존재하는 고유진동수들에 대하여, 고유진동형의 쌍(제1스펙트럼 및 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형)들을 각각 Table 10에서 비교하여 도시하였다. Table 10에서 보는 바와 같이, 제1스펙트럼에 속하는 $$ \tilde{Y}$$의 고유진동형은 제2스펙트럼에 속하는 $$ \tilde{Y}$$의 고유진동형과 동일하다. 그러나 회전각의 고유진동형($$ \tilde{\Theta }$$)은 매우 다르다.

Table 10

Comparison of the normalized natural modes between the first spectrum and the second spectrum of the clamped-clamped beam for s-1=0.0987

3.3 고정-단순보

고정-단순보의 경우, Han⁽⁶⁾의 방법을 사용하여 구할 수 있는 고유진동수 곡선들을 Fig. 5에 실선으로 표시하였으며, 점으로 표시한 것들은 2장의 고유진동수 방정식을 이용하여 찾은 무차원 고유진동수들이다. 그리고 쌍곡선 형태의 곡선들 중 맨 아래의 쌍곡선(파란색 실선)은 임계진동수에 대응하는 곡선이다.

Fig. 5

The dimensionless natural frequency curves for the clamped-hinged beam

Fig. 5로부터 다음과 같은 사실들을 확인할 수 있다. 첫째, 두 방법으로 얻은 고유진동수 곡선들이 일치한다.

둘째, 고정-단순보에서는 계산한 구간 내에서는 s^-1의 변화에 따라 고유진동수 곡선들이 교차되지 않는다. 이를 Fig. 5만으로 판단하기 어려워, 곡선들이 서로 교차하는지를 확인하기 위해, 0.035<s^-1<0.06의 빨간 상자영역을 확대해서 Fig. 6에 다시 도시하였다. 이를 통해 고정-단순보에서 계산한 구간 내에 교차하지 않음을 확인하였다. 고유진동수 곡선들이 교차하지 않으나, 동일한 무차원 고유진동수 곡선상에 존재하는 고유진동형은 s^-1의 값에 따라 다를 수 있음을 알 수 있다(Fig. 5 참조).

Fig. 6

The detailed dimensionless natural frequency curves in the box in Fig. 5

셋째, s^-1의 값이 변함에 따라 고유진동형의 분포순서가 바뀌는 것을 확인할 수 있는데, 예를 들면 s^-1=0.0987일 때의 고유진동형의 절점 수는 고유진동수가 증가함에 따라 2(2)-3(3)-4(4)-5(1)-5(3)-6(2)-6(2)-7(3)-8(3)-8(5)-9(4)-9(4)의 순서로 나타나고(여기서 앞의 숫자는 $$ \tilde{Y}$$의 절점 수를 의미하고 뒤쪽의 괄호 안의 숫자는 $$ \tilde{\Theta }$$의 절점수를 의미한다), s^-1=0.2193일 때의 고유진동형의 절점 수는 2(2)-3(1)-3(1)-4(2)-5(2)-5(2)-6(3)-7(3)-7(3)-8(6)-9(4)-9(4)의 순서로 나타난다. 즉, 고유진동수가 증가함에 따라 나타나는 고유진동형 형태(대칭 또는 반대칭)의 순서가 불규칙하다.

넷째, 고정-단순보에서도 $$ \tilde{Y}$$의 절점수가 같은 서로 다른 고유진동수가 존재한다. 그러나 고정-단순보의경우에는 ω < ω_c의 영역에 속하는 저차의 고유진동수들만을 살펴볼 때, 모든 고유진동수들에 대해서 제2스펙트럼이 존재하지 않을 수 있다. 이와 같은 점이 양단 단순보와 다르다. 이와 같은 특징을 보이기 위해 s^-1=0.0987 및 s^-1=0.2193일 때의 처음 12개의 고유진동수들을 제1스펙트럼과 제2스펙트럼으로 분류하여 Table 11과 Table 12에 정리하였다.

Table 11

Natural frequencies ωn(rad/s) of the clamped-hinged beam for s-1=0.0987

Table 12

Natural frequencies ωn(rad/s) of the clamped-hinged beam for s-1=0.2193

Table 11을 보면 n=1, 2, 3에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수들이 존재하지 않으며, Table 12에서는 n=1에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수가 존재하지 않음을 알 수 있다. 제1스펙트럼에 속하는 고유진동형과 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형의 특징을 확인하기 위해 Table 11의 고유진동수들 중에서 제2스펙트럼이 존재하는 고유진동수들에 대하여, 고유진동형의 쌍(제1스펙트럼 및 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형)들을 각각 Table 13에서 비교하였다. Table 13에서 보는 바와 같이 각 쌍들의 고유진동형을 살펴보면, 변위의 고유진동형($$ \tilde{Y}$$)이 동일하나 회전각의 고유진동형($$ \tilde{\Theta }$$)은 매우 다르다.

Table 13

Comparison of the normalized natural modes between the first spectrum and the second spectrum of the clamped-hinged beam for s-1=0.0987

3.4 외팔보

기하학적 데이터를 변화시켜 얻는 세장비의 역수(s^-1)와 무차원 고유진동수($$ {\omega }_n^{\mathrm{*}}$$)의 관계를 Fig. 7에 도시하였다. 양단 단순보에서는 Han⁽⁶⁾의 방법으로 모든 무차원 고유진동수를 구할 수 있는 반면에 외팔보의 경우 그렇지 않아서 구할 수 있는 것만을 실선으로 표시하였다. 그리고 점으로 표시한 것들은 2장의 고유진동수 방정식을 이용하여 찾은 무차원 고유진동수들이다. 쌍곡선 형태의 곡선들 중 맨 아래의 쌍곡선은 임계진동수에 대응하는 곡선(파란색 실선)이다.

Fig. 7

The dimensionless natural frequency curves for the clamped-free beam

Fig. 7로부터 다음과 같은 사실들을 확인할 수 있다. 첫째, 두 방법으로 얻은 고유진동수 곡선들이 일치한다.

둘째, 외팔보에서는 계산한 구간 내에서는 모든 고유진동수 곡선들이 상호 교차되지 않는다. 그러나 동일 곡선 상에 있는 고유진동수의 고유진동형 절점 수가 다른 것을 확인할 수 있다.

셋째, s^-1의 값에 따라 고유진동형이 나타나는 순서의 변화가 정형적이지 않다. 예를 들면, s^-1=0.0987일 때의 고유진동형의 절점 수는 고유진동수가 증가함에 따라 1(1)-2(2)-3(3)-4(1)-4(1)-5(2)-5(2)-6(3)-7(3)-7(3)-8(3)-9(4)의 순서로 나타나고, s^-1=0.2193일 때의 고유진동형의 절점 수는 1(1)-2(1)-2(1)-3(1)-4(2)-4(2)-5(2)-6(3)-6(3)-7(4)-8(4)-8(4)의 순서로 나타난다.

넷째, 외팔보에서도 $$ \tilde{Y}$$의 절점수가 같은 서로 다른 고유진동수가 존재한다. 양단 단순보의 경우, ω < ω_c의 영역에 속하는 모든 고유진동수들에 대응하는 제2스펙트럼이 존재하였다. 그러나 외팔보의 경우에는 ω < ω_c의 영역에서 일부의 고유진동수들에 대해서만 제2스펙트럼이 존재한다. 이와 같은 점이 양단 단순보와 다르다. 이와 같은 특징을 보이기 위해 s^-1=0.0987 및 s^-1=0.2193일 때의 처음 12개의 고유진동수들을 제1스펙트럼과 제2스펙트럼으로 분류하여 Table 14와 Table 15에 정리하였다.

Table 14

Natural frequencies ωn(rad/s) of the clamped-free beam for s-1=0.0987

Table 15

Natural frequencies ωn(rad/s) of the clamped-free beam for s-1=0.2193

Table 14를 보면 임계진동수보다 작은 고유진동수들 중, 1, 2, 3차 고유진동수(n=1, 2, 3)에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수들이 존재하지 않으나 4번째 (n=4)에 대응하는 제2스펙트럼이 존재한다. Table 15에서는 임계진동수보다 작은 첫 번째 고유진동수(n=1)에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수가 존재하지 않으나, 임계진동수보다 작은 두 번째 고유진동수(n=2)에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수가 존재함을 알 수 있다.

제1스펙트럼에 속하는 고유진동형과 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형의 특징을 확인하기 위해 Table 14의 고유진동수들 중에서 제2스펙트럼이 존재하는 고유진동수들에 대하여, 고유진동형의 쌍(제1스펙트럼 및 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형)들을 각각 Table 16에서 비교하였다. Table 16에서 보는 바와 같이 각 쌍들의 고유진동형을 살펴보면, 변위 고유진동형($$ \tilde{Y}$$) 및 회전각 고유진동형($$ \tilde{\Theta }$$)의 절점 수는 동일하나 고유진동형이 일치하지 아니한다.

Table 16

Comparison of the normalized natural modes between the first spectrum and the second spectrum of the clamped-free beam for s-1=0.0987

3.5 제2스펙트럼에 대한 추가적 논의

3.1절의 양단 단순보에서 검토한 바와 같이 제1스펙트럼과 제2스펙트럼의 정규화된 고유진동형을 살펴보면(Table 6과 Table 7참조), $$ \tilde{Y}$$는 동일하나 $$ \tilde{\Theta }$$는 위상이 반대였다. 그러므로 엄밀하게 말하면, 제1스펙트럼의 고유진동형($$ \tilde{Y}$$ 및 $$ \tilde{\Theta }$$)과 제2스펙트럼의 고유진동형은 동일하지 않다. 그러나 3.1~3.4절에서는 논의의 일관성을 위해, 양단 단순보와 같은 방식으로 나머지 보들의 진동수 스펙트럼을 분류하여 논의를 진행하였다. 양단 고정보, 고정-단순보, 외팔보에서도 제1스펙트럼과 제2스펙트럼의 정규화된 고유진동형($$ \tilde{\Theta }$$)는 매우 달랐다(Table 10, Table 13, Table 16 참조). 따라서 동일한 고유진동형 $$ \tilde{Y}$$와 $$ \tilde{\Theta }$$을 갖는 제2스펙트럼은 존재하지 않는다고 말할 수 있다.