임의 형상 음향 공동의 고유치 정밀도 저하 문제 극복을 위한 NDIF법 응용: 제2부(예제 연구 및 고찰)

1. 서 론

NDIF법(non-dimensional dynamic influence function method)은 저자가 임의 형상 멤브레인, 음향 공동, 평판의 고정밀도 고유치 해석을 위해 개발한 세미 수치해석법(semi-numerical analysis method)이다)^(1~3). NDIF법은 경계요소법(boundary element method, BEM)^(4,5)처럼 해석 대상물의 내부를 제외한 경계만을 이산화하며, 경계요소법과는 차별적으로 요소(element)를 사용하지 않고 노드만으로 해석 대상물의 경계를 이산화한다. 일반적으로, 경계요소법에서 요소를 구성하기 위해 노드와 노드 사이에 사용하는 보간함수(interpolation function)는 지배방정식을 만족하지 않기 때문에, 이들 보간함수에 대해 특이치 적분을 수행하는 과정에서 수치 해석 오차가 발생하게 된다. 이러한 이유로 인해 경계요소법은 정밀도의 한계를 가지게 되며, 경계요소법과 마찬가지로 해석대상물의 내부를 이산화하기 위해 요소를 사용하는 유한요소법⁽⁶⁾도 비슷한 이유로 인해 정밀도 한계를 가진다.

NDIF법은 위에서 설명한 경계요소법 및 유한요소법과는 차별적으로 이산화 과정에서 요소를 사용하지 않고 노드만을 사용하며, 근사 해 구성을 위한 기저함수(basis function)가 지배방정식을 정확히 만족하기 때문에, 고정밀도 해석이 가능한 장점을 가진다. 저자는 멤브레인에 적용한 NDIF법을, 임의 형상 음향 공동의 고유치 해석과^(7~10) 다양한 경계조건을 가지는 임의 형상 평판의 자유 진동 해석으로^(11~15) 응용 확장한 다양한 연구를 성공적으로 수행하였다.

그러나 NDIF법은 노드 수를 증가시킬 경우 저주파수 대역의 고유치가 추출되지 않는 약점을 가지는데, 최근의 멤브레인에 대한 연구에서^(16,17) 이러한 약점은 극복되어졌다. 현재 멤브레인에 대한 위의 연구 결과를 음향 공동과 평판으로 확대하는 연구가 수행 중에 있으며, 그 결과물 중의 하나로 음향 공동에 대한 연구 성과가 가장 최근에 발표되었다^(18,19). 이 연구에서는, 멤브레인과는 달리 허위고유치가^(2,10) 발생하는 복잡성을 가진 음향 공동에 대해(노드 수가 증가하더라도) 전 주파수 대역 고유치와 고유모드의 정확한 추출이 가능한 NDIF법 이론 정식화가 성공적으로 이루어졌다^(18,19). 하지만, 관심 주파수 범위를 변경할 경우 저차의 고유치들의 정밀도가 떨어지는 문제점이 기정립된 NDIF법 이론에 존재함이 이 논문에서 밝혀졌다^(18,19). 이번 연구에서는 위의 문제점을 분석하고 이전의 연구 결과를 응용 확장하는 방법에 의해, 임의 형상 음향 공동의 전 주파수 대역 고유치 추출 기법이 새로이 제안된다. 제안된 방법의 타당성과 정확성을 검증하기 위해, 엄밀해가 존재하는 간단한 원형 형상 음향 공동에 대한 기본 예제 검증이 이 논문의 1부에서 수행되어졌다. 이 논문에서는 원형 음향 공동 이외의 다양한 임의 형상 음향 공동들에 대한 예제 검증과 고찰이 이루어지며, 제안된 방법에 의해 추출된 고유치은 유한요소법(이 논문에서 ANSYS 사용) 결과와 비교되어진다.

2. NDIF법 이론

2.1 음향 공동에 대한 지배방정식과 경계조건

Fig. 1은 고유치 해석 대상 임의 형상 음향 공동을 보여준다. 일반적인 고유치 해석 이론에서 음향 공동의 내부 음압은 식 (1)과 같은 헤름홀츠 방정식(Helmholtz equation) 형태의 지배방정식을 만족한다⁽²⁰⁾.

$\[ {\nabla }^{2}p\left(\mathbf{r}\right)+k^{2}p\left(\mathbf{r}\right)=0 \]$

(1)

Fig. 1

Arbitrarily shaped acoustic cavity with rigid-wall boundary Γ, which is discretized with boundary nodes P1, P2, ... PN

여기서 k는 파수(wavenumber)이며 각주파수 ω와 음속 c로 구성된 식 k = ω/c에 의해 구해진다. 그리고 p(r)은 Fig. 1에서 음향 공동 내부의 한 점 P에서의 음압(sound pressure)을 나타내며, r은 점 P에 대한 위치 벡터를 의미한다.

음향 공동의 경계 조건은 강체벽(rigid-wall) 경계조건과 개방(pressure-released) 경계 조건이 존재하며, 이 논문에서는 가장 일반적인 강체벽 경계 조건만을 고려한다. 강체벽 경계 조건은 식 (2)와 같이 1차 미분 방정식의 형태를 가진다.

$\[ \frac{\partial p\left({\mathbf{r}}_{\Gamma }\right)}{\partial n}=0 \]$

(2)

여기서 p(r_Γ)은 음향 공동 경계 Γ위의 한 점에서의 음압을 나타내며, r_Γ는 Fig. 1에서와 같이 음향 공동 경계 상의 한 점에 대한 위치 벡터이며 n은 경계 상의 한 점에서의 법선 방향을 의미한다.

3. 예제 연구 및 고찰

3.1 임의 사각 형상 음향 공동

이 연구에서 제안된 식 (15)를 검증하기 위해, Fig. 2와 같은 임의 사각 형상 음향 공동이 고려되어진다. Fig. 2(a)와 Fig. 2(b)는 음향 공동의 경계가 16개와 24개의 노드로 이산화된 경우를 각각 보여준다.

Fig. 2

Quadrilateral acoustic cavity of arbitrary shape, which is discretized with 16 and 24 nodes, respectively

관심 파수 범위의 최소값 k_min을 0으로 설정한 후, 기본 NDIF법에서 제안했던 식 (13)을 이용하여 판별식 곡선을 그리면 Fig. 3과 같다⁽²⁾. 두 개의 판별식 곡선 중에서, 16개 노드를 사용한 점선에서는 음향 공동의 6개의 고유치 C₁ ~ C₆가 성공적으로 구해지나, 24개의 노드를 사용한 실선에서는 저주파수 구간에서 시스템 행렬이 발산하여 저주파수 고유치 C₁ ~ C₃이 구해지지 않음을 확인할 수 있다. 참고로, 곡선에 표시된 M₂와 M₃는 음향공동과 같은 형상을 멤브레인의 두 번째와 세 번째 고유치를 의미한다.

Fig. 3

Determinant curves for the quadrilateral acoustic cavity by the original NDIF method using Eq. (13) (dotted line: 16 nodes, solid line: 24 nodes)

위의 문제점을 해결하기 위해 최근의 연구에서 제안한 식 (14)를 이용하여 24개의 노드를 사용한 경우(Fig. 2(b))에 대한 판별식 곡선을 구하면 Fig. 4와 같다^(18,19). Fig. 4에서 확인할 수 있듯이, 관심 파수 범위의 최소값(k_min)이 0.0, 0.5, 1.0, 1.5로 변화됨에 따라 판별식 곡선의 개형이 변화되고, 저주파수 고유치(C₁ ~ C₃)들의 크기 변화가 발생함을 Table 1에서 확인할 수 있다. 특히, 관심 주파수 범위의 최소값 k_min을 0으로 한 경우에는 저주파수 고유치 C₁ ~ C₃가 구해지지 않음도 확인할 수 있다. 참고로, 고주파수 고유치 C₄ ~ C₆은 k_b보다 크기 때문에 k_min의 변화에 영향을 받지 않는다는 것을 식 (14)에서 확인할 수 있다.

Fig. 4

Determinant curve for the quadrilateral acoustic cavity with 24 nodes by the recently developed NDIF method using Eq. (14) as kmin is changed

Table 1

First three eigenvalues of the quadrilateral acoustic cavity obtained by the recently developed NDIF method as kmin is changed

Fig. 4와 Table 1과 같이, 관심 주파수 범위가 변화됨에 따라 고유치 값의 변화가 발생하는 것은 식 (14)가 이론적으로 완성도가 떨어짐을 의미하므로, 이러한 문제점을 극복하고자 이 연구에서는 식 (15)가 제안되었다. 식 (15)를 이용하여 노드 24개를 사용한 임의 사각 형상 음향 공동에 대한 판별식 곡선을 그리면 Fig. 5와 같다. 추가적으로, 식 (15)를 계산할 때 사용되어지는 음향 공동과 멤브레인의 시스템 행렬 랭크 곡선은 Fig. 6에서 주어진다.

Fig. 5

Determinant curve for the quadrilateral acoustic cavity with 24 nodes by the proposed NDIF method using Eq. (15) that is independent of kmin

Fig. 5의 저주파수 영역을 살펴 보면, 고유치 C₁ ~ C₃에 해당되는 골(trough)들이 곡선의 불연속 지점들과 뒤섞여 있음을 확인할 수 있다. 더구나 점선 타원으로 마크된 네 번째 고유치 C₄는 골(trough)이 아니라 마루(crest)의 형태로 나타남을 확인할 수 있다. 이는 Fig. 6에서 점선 타원으로 마크한 고유치 C₄에 해당하는 파수에서 랭크 R_c(k)가 불연속적으로 변하기 때문인 것으로 분석된다. 일반적으로 NDIF법에서 고유치는 판별식 곡선에서 골의 형태로 나타나는데, 위의 경우는 예외적인 상황으로 실제 고유치를 허위 고유치(spurious eigenvalue)로 오인할 상황으로 보인다. 그래서 Fig. 6의 랭크 값들의 불연속적인 변화때문에 발생하는 Fig. 5의 불연속 특성을 제거하기 위해 식 (16)이 제안된다.

$\[ \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left({\mathbf{S}\mathbf{M}}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}\left(k\right)\right)=\left\{\frac{\prod _{i=1}^{R_c\left(k\right)} {\lambda }_i^{\left(c\right)}\left(k\right)÷\prod {\lambda }_{\text{add}}^{\left(c\right)}\left(k\right)}{\prod _{i=1}^{R_m\left(k\right)} {\lambda }_i^{\left(m\right)}\left(k\right)÷\prod {\lambda }_{\text{add}}^{\left(m\right)}\left(k\right)}\right. \]$

(16)

Fig. 6

Rank functions Rc(k) and Rm(k) of the quadrilateral acoustic cavity and membrane discretized with 24 nodes, respectively

여기서 $$ \prod {\lambda }_{\text{add}}^{\left(c\right)}\left(k\right)$$는 음향 공동 시스템 행렬(SM)의 랭크 변화에 의해 추가적으로 곱해지는 고유치들의 곱을 의미하며, $$ \prod {\lambda }_{\text{add}}^{\left(m\right)}\left(k\right)$$는 멤브레인 시스템 행렬(SM_(mem))의 랭크 변화에 의해 추가적으로 곱해지는 고유치들의 곱을 의미한다.

식 (16)을 이용하여 구한 Fig. 7의 판별식 곡선을 살펴보면, Fig. 5에서 나타난 불연속성이 완전히 제거되었음을 확인할 수 있다. 이로 인해 고유치 C₄를 포함한 6개의 고유치 C₁ ~ C₆에 해당되는 골들이 명확히 나타남도 확인 가능하다. 이들 고유치들은 Table 2에 요약하였다. Table 2에서 961개의 많은 노드를 사용한 ANSYS결과와 단지 24개 노드를 사용한 제안된 방법의 결과를 비교해보면, 최대 오차가 1.16 %로 제안된 방법이 정확하고 타당한 결과를 제공한다고 말할 수 있다. 참고로, 여기서 고려된 임의 사각 형상 음향 공동의 경우 엄밀해가 존재하지 않기 때문에 제안된 방법과 ANSYS 중 어느 방법이 정확하다고 단정할 수는 없다.

Fig. 7

Determinant curve for the quadrilateral acoustic cavity with 24 nodes by the proposed NDIF method using Eq. (16) to remove the discontinuity of the curve

Table 2

Eigenvalues C1 ~ C6 of the quadrilateral acoustic cavity by the proposed method using 24 nodes and ANSYS using 961 nodes (parenthesized values denote absolute errors (%) with respect to ANSYS)

3.2 곡선 경계를 가진 임의 형상 음향 공동

이 연구에서 제안된 방법이 곡선 경계를 가진 임의 형상 음향 공동에서도 타당한지를 확인하기 위해 Fig. 8과 같은 음향 공동이 이 예제 검증에서 고려되어진다. Fig. 8(a)와 Fig. 8(b)는 음향 공동의 경계가 16개와 24개의 노드로 이산화된 경우를 각각 보여준다.

Fig. 8

Arbitrarily shaped acoustic cavity discretized with 16 and 24 boundary nodes, respectively

관심 파수 범위의 최소값을 0으로 설정한 후, 기본 NDIF법에서⁽²⁾ 제안했던 식 (13)을 이용하여 판별식 곡선을 그리면 Fig. 9와 같다. 두 개의 판별식 곡선 중에서, 16개 노드를 사용한 점선에서는 음향 공동의 6개의 고유치 C₁ ~ C₆가 성공적으로 구해지나, 24개의 노드를 사용한 실선에서는 저주파수 구간에서 시스템 행렬이 발산하여 저주파수 고유치 C₁과 C₂가 구해지지 않음을 확인할 수 있다.

Fig. 9

Determinant curves for the arbitrarily shaped acoustic cavity by the original NDIF method using Eq. (13) (dotted line: 16 nodes, solid line: 24 nodes)

위의 문제점을 해결하기 위해 최근의 연구^(18,19)에서 제안한 식 (14)를 이용하여 24개의 노드를 사용한 경우(Fig. 2(b))에 대해 판별식 곡선을 구하면 Fig. 10과 같다. Fig. 10에서 확인할 수 있듯이, 관심 파수 범위의 최소값(k_min)이 0.0, 0.5, 1.0, 1.5로 변화됨에 따라 판별식 곡선의 개형이 변화되고 저주파수 고유치(C₁과 C₂)들의 크기 변화가 발생함도 확인되었다. 특히, 관심 주파수 범위의 최소값 k_min을 0으로 한 경우에는 저주파수 고유치가 구해지지 않음도 확인할 수 있다.

Fig. 10

Determinant curve for the arbitrarily shaped acoustic cavity with 24 nodes by the recently developed NDIF method using Eq. (14) as kmin is changed

위의 문제점을 극복하고자 이 연구에서 제안된 식 (15)를 이용하여 노드 24개를 사용한 임의 형상 음향 공동에 대한 판별식 곡선을 그리면 Fig. 11과 같다. 추가적으로, 식 (15)를 계산할 때 사용되어지는 임의 형상 음향 공동과 멤브레인의 시스템 행렬 랭크 곡선은 Fig. 12에서 주어진다.

Fig. 11

Determinant curve for the arbitrarily shaped acoustic cavity with 24 nodes by the proposed NDIF method using Eq. (15) that is independent of kmin

Fig. 12

Rank functions Rc(k) and Rm(k) of the arbitrarily shaped acoustic cavity and membrane discretized with 24 nodes, respectively

Fig. 11의 판별식 곡선에서 저주파수 영역을 살펴보면, 고유치 C₁ ~ C₃에 해당되는 골들이 곡선의 불연속 지점들과 뒤섞여 있음을 확인할 수 있다. 이러한 불연속 특성을 제거하기 위해 이 연구에서 제안된 식 (16)을 사용하여 판별식 곡선을 그리면 Fig. 13과 같다. Fig. 11에서 나타난 불연속성이 Fig. 13에서 완전히 제거되었음을 확인할 수 있으며, 고유치 C₁ ~ C₃을 포함한 6개의 고유치 C₁ ~ C₆에 해당되는 골(trough)들이 명확히 나타남도 확인 가능하다. 이들 고유치들이 요약된 Table 3을 살펴보면, 1321개의 많은 노드를 사용한 ANSYS 결과와 단지 24개 노드를 사용한 제안된 방법이 0.26 % 오차 이내로 거의 일치함이 확인된다.

Fig. 13

Determinant curve for the arbitrarily shaped acoustic cavity with 24 nodes by the proposed NDIF method using Eq. (16) to remove the discontinuity of the curve

Table 3

Eigenvalues C1 ~ C6 of the arbitrarily shaped acoustic cavity by the proposed method using 24 nodes and ANSYS using 1321 nodes (parenthesized values denote absolute errors (%) with respect to ANSYS)

4. 결 론

기존의 NDIF법에서 음향 공동의 고유치를 추출할 때, 관심 주파수 영역의 최소값을 변경하면 고유치의 정밀도가 변화되는 문제점이 이번 연구에서 확인되었다. 이 논문에서는 시스템 행렬의 판별식을 계산하기 위한 식에서 관심 주파수와 관련된 변수를 제거하는 방법을 제안하여 상기의 고유치 정밀도 변화 문제를 해결하였다. 아울러, 새로 제안된 방법에서도 허위 고유치들이 성공적으로 제거됨도 확인되었다. 제안된 방법의 타당성과 정확성은 임의 형상 사각 음향 공동과 곡선 경계를 가진 임의 형상 음향 공동에 대한 예제 연구를 통해 확인되었다.

Acknowledgments

이 연구는 한성대학교 교내학술연구비 지원 과제임.

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