다중 점 구속은 여러 개의 노드에 특정한 구속 조건을 주는 방식이며 대표적으로 rigid body element (RBE)를 이용한 결합이 있다. 다중 점 구속을 사용하면, 단품과 단품이 연결되는 결합면에 존재하는 슬레이브 노드를 한 개의 6 자유도 마스터 노드로 단순화시켜 모델링할 수 있다. RBE2는 Fig. 1과 같이 강체 요소로 표현되며, 결합면의 슬레이브 노드를 그룹화 시켜 한개의 마스터 노드로 표현한다. 이 때 마스터 노드의 응답은 슬레이브 노드의 응답에 독립적인 특성을 가진다. 따라서, 마스터 노드의 응답만을 이용해 강체 결합면으로 모델링할 수 있다. RBE3은 Fig. 2와 같이 보간 요소로 표현되며, 결합면의 슬레이브 노드를 그룹화 시켜 한개의 마스터 노드로 표현한다. 이 때 마스터 노드의 응답은 슬레이브 노드의 응답을 이용해 계산되며, 결합면의 강성은 각 슬레이브 노드의 가중치를 통해 표현될 수 있다. 따라서 마스터 노드의 변위는 슬레이브 노드의 변위에 의해 결정되며⁽⁴⁾, 강성을 가지는 결합면으로 모델링 될 수 있다. 이 때 마스터 노드의 응답인 병진 변위 u^M와 회전 변위 θ^M는 n개의 슬레이브 노드의 응답인 병진 변위 u^S로 나타낼 수 있으며, 식 (1) ~ 식 (2)로 계산된다^(5,6). 이 때 3 자유도 슬레이브 노드가 6 자유도 마스터 노드의 변위를 표현할 수 있도록 n을 3 이상으로 하여, 미지수보다 방정식이 많은 과결정 연립방정식의 해를 계산한다.

Fig. 1 
Rigid interface coupling using RBE2

Fig. 2 
Flexible interface coupling using RBE3

Tie는 접촉 요소로 표현되며, 접촉 영역이 접합되면 면 또는 선 사이에서 슬라이딩과 분리가 허용되지 않는 결합이다. Tie 결합은 Fig. 3과 같이 결합면의 모든 슬레이브 노드와 마스터 노드는 일대일 또는 일대다로 결합되며⁽⁷⁾, 식 (3) ~ 식 (4)로 변위 호환성과 힘의 평형식을 만족시킨다.

Fig. 3 
Node coupling using Tie

리셉턴스는 시스템의 동특성을 나타내는 물리량으로, 시스템에 단위 힘이 가해졌을 때의 변위를 주파수 영역에서 나타내는 주파수응답함수이다. RCSA는 단품의 리셉턴스만을 이용해 결합품의 리셉턴스를 예측하는 기법이다. RCSA 기법을 적용하기 위해 각 단품이 연결되는 노드에서 변위 호환성과 힘의 평형식을 만족시켜야 하며 식 (5)로 Fig. 4의 결합품 AB에 대한 주파수응답함수를 계산할 수 있다⁽⁸⁾.

Fig. 4 
Substructure

식 (5)와 식 (6)을 바탕으로 단품 A, B의 주파수응답함수를 이용해 결합품 AB의 주파수응답함수를 예측할 수 있다.

결합될 각 단품들의 운동 방정식을 식 (7)및 식 (8)과 같은 형태로 표현할 수 있다⁽⁹⁾.

운동 방정식을 주파수 영역에서 나타내면 식 (9) ~ 식 (12)로 표현할 수 있다.

이 때, 결합력을 나타내는 g, 이진행렬 B, 라그랑주 승수 λ를 사용해 변위 호환성과 힘의 평형식을 식 (13)과 식 (14)와 같이 만족시킬 수 있다.

방정식에서 라그랑주 승수를 제거하면 식 (15)를 유도할 수 있으며, 이는 식 (5)와 동일한 식이 된다.

나스트란, 아바쿠스 등 상용 시뮬레이션 툴은 full method 또는 모드 중첩법을 이용해 주파수응답함수를 계산한다. 여기서 full method는 시스템의 운동 방정식을 풀어 완전한 analytic solution을 계산한다. 그러나 노드 개수가 늘어남에 따라 자유도가 증가하고 M, C, K 행렬의 크기가 커지며 연산 시간이 기하급수적으로 증가하는 단점이 있다. 모드 중첩법은 M, C, K 행렬 대각화를 통해 운동방정식 연산을 단순화하고, 형성된 방정식을 모드 M개의 선형합으로 나타내 근사해를 계산하는 방법이다. 모드 중첩법을 이용하여 주파수응답함수를 식 (16)으로 계산할 수 있다⁽¹⁰⁾.

시스템의 고유진동수, 감쇠비, 모드 형상 벡터만을 이용해 주파수응답함수를 계산할 수 있으며, 연산 시간이 짧다는 측면에서 큰 강점을 가진다. 그러나 full method와 비교했을 때, anti-peak 또는 진동 응답 레벨에서 차이가 발생하며, 이는 RCSA를 적용할 때 오차 원인이 된다. 또한 M이 증가할수록 계산 시간이 길어진다. 때문에 RCSA를 적용할 때 오차가 발생하지 않을 최적의 모드 개수 선정과 연산 최적화의 필요성이 존재한다.

초기에는 모드 중첩법을 사용할 때, RCSA 오차가 발생하지 않는 최적의 모드 개수를 결정하는 연구가 수행됐다. 예를 들어, 240개 노드의 주파수응답함수를 합성하기 위해 필요한 최소 구속 조건의 수는 노드 개수에 병진 자유도 3을 곱한 720개다. 하지만 Fig. 6과 같이 필요한 모드 개수가 단품의 기하학적 특성에 따라 서로 다른 경향성을 보이기 때문에, 모드 개수를 최대로 사용하고 연산 속도를 최적화하는 방향으로 접근했으며, 특이값 분해 이론을 응용했다. 특이값 분해는 행렬을 U, Σ, V 세 개의 행렬로 분해하는 기법이다. 여기서 Σ는 행렬의 특이 값을 대각선에 배열한 대각 행렬이다. 대각 행렬을 곱하는 것은 M개의 곱셈을 1개의 병렬연산으로 만들어, 연산 시간을 단축시킬 수 있다. 때문에 식 (17)과 같이 모드 중첩법을 특이값 분해와 유사한 형식으로 분해하였다.

Fig. 6 
Difference in RCSA result due to number of modes

이를 통해 모드 개수가 계산 시간에 미치는 영향을 최소화하고, 모드 중첩법을 적용할 때 주파수응답함수의 정확도를 최대한으로 향상시킬 수 있다.

결합 노드의 개수가 증가하면, 주파수응답함수 행렬 H의 크기가 커져 역행렬 연산 시간이 증가한다. 따라서 이를 감소시키기 위해 결합면 노드의 자유도를 축소시켜 행렬의 크기를 줄여야 할 필요성이 존재한다. 때문에 Fig. 13과 같이 내륜 베어링 스페이서와 Tie 결합된 외륜 베어링 스페이서의 결합 영역을 여러 개의 RBE3으로 나누어 자유도를 축소시키는 방법으로 접근했으며, 이를 검증하기 위해 식 (26)을 이용해 Tie 결합 모델과 자유도 축소 모델의 모드상관계수(MAC: modal assurance criterion)⁽¹¹⁾를 계산하였다.

Fig. 13 
Multiple segments using RBE3

Fig. 14와 같이 타겟 주파수인 3000 Hz까지 나타나는 모드 10개에 대한 모드상관계수를 계산했으며 RBE3으로 나누는 개수가 증가함에 따라 모드상관계수가 1에 가까워지는 것을 확인하며 자유도 축소의 타당성을 검증했고, 식 (27)을 이용해 모드 형상 벡터의 자유도를 감소시켰다⁽¹²⁾. 이 때 +는 무어 펜로즈의 의사역행렬(Moore-Penrose pseudo inverse matrix) 연산을 의미한다.

Fig. 14 
MAC difference according to number of RBE3 segment

식 (28)은 n개의 3자유도 슬레이브 노드를 1개의 6자유도 마스터 노드로 자유도를 축소하는 행렬이다. 식 (29)는 자유도 축소 이전 n개의 3자유도 슬레이브 노드 응답을 나타내는 열 벡터이며, 식 (30)은 자유도가 축소된 1개의 6자유도 마스터 노드 응답을 나타내는 열 벡터이다. 이 때 RBE3으로 나누는 개수는 모드 중첩법으로 발생하는 오차와 자유도 축소로 발생하는 오차가 최소가 되도록 선정했고, 이는 노드에 구속 조건이 중복되지 않고 한 번만 적용될 때이다. 이를 통해 결합면의 1020개 노드를 90개의 RBE3으로 축소시켰고 기존 모델과 축소된 모델을 비교해 계산되는 reduction error를 식 (31)를 이용해 계산해 4 % 이내로 예측하였으며 결과는 Fig. 15와 Fig. 16과 같다. 또한 주파수응답함수의 응답을 비교하는 유사도를 식 (32)를 이용해 계산하였고 결과는 Fig. 17과 같다. 최종적으로 Tie 결합을 이용해 RCSA를 적용할 때와 비교했을 때 주파수응답함수를 21배 빠르게 계산할 수 있다.

Fig. 15 
Calculated reduction error

Fig. 16 
RCSA result using reduction

Fig. 17 
Similarity results using reduction