Stewart platform의 여러 배치 중, 대표적인 배치는 입방체 배치(cubic configuration)다. 입방체 배치는 Fig. 1과 같이 정육면체 상에 스트럿을 배치하는 것으로 구성되는데, 각 스트럿이 모두 90°로 만나기 때문에, 전 방향으로의 유사한 강성을 갖는 이점이 있다⁽⁶⁾. Stewart platform의 배치는 Fig. 2와 같이 아래 평판에서 만나는 스트럿 간의 각도(α)와 스트럿의 경사각(i)에 의해 결정되는데, 예를 들어 입방체 배치에서는 α는 90°, 높이 h는 L/3이므로 i는 35.26°가 된다.

Fig. 1 
Stewart platform - cubic configuration

Fig. 2 
Stewart platform – strut angle(α) & inclination angle(i)

Stewart platform의 배치가 결정되면, 단축 진동절연장치의 특성과 좌표 변환 행렬 J 를 이용하여, 힘 전달률을 구할 수 있다⁽⁷⁾.

관성 좌표계에서의 변위 벡터(q)와 스트럿 좌표계에서의 변위 벡터(q_s) 간의 좌표 변환 행렬 J는 식 (1)과 같이 표현할 수 있고, q = [x y z θ ϕ Ω], q_s = [q_s1 q_s2 q_s3 q_s4 q_s5 q_s6]이다.

단축 진동절연장치가 높은 roll-off rate와 낮은 공진 증폭을 갖는 relaxation isolator일 때⁽⁸⁾, 힘 전달률(force transmissibility)은 식 (2)와 같다.

입방체 배치일 때 식 (1)에서 구할 수 있는 J^TJ 는 식 (3)과 같으며, x ↔ ϕ, y ↔ θ 방향 간의 크로스 커플링 항이 발생하는 것을 볼 수 있다.

단축 진동절연장치의 주요 파라미터가 Table 1과 같을 때, 입방체 배치 hexapod형 진동절연장치의 6축 방향에 대한 힘 전달률 그래프는 Fig. 3과 같다. Fig. 1과 같은 Stewart platform은 Z축 기준 대칭을 이루기 때문에, Fig. 3의 힘 전달률 그래프에서 x → x와 y → y, θ → θ와 ϕ → ϕ, x → ϕ와θ → y와 ϕ → x의 결과는 동일하다.

Fig. 3 
Force transmissibility – cubic configuration

J^TJ 행렬에서는 x ↔ ϕ 그리고 y ↔ θ 의 크로스 커플링 항의 크기가 동일하지만, Fig. 3의 힘 전달률 그래프에서는 ϕ → x 방향에서 최대 20 dB가 넘는 증폭이 발생하는 데에 반해, x → ϕ 방향에서는 최대 –20 dB 정도의 감쇠가 발생하는 것을 확인할 수 있다. 따라서, 진동 절연 관점에서 관심 있는 크로스 커플링 항은 ϕ → x이며, 입방체 배치에서는 ϕ → x방향에서 크로스 커플링 항의 최대 전달률 크기가 20 dB가 넘는 것을 확인할 수 있다.

크로스 커플링 항을 제외한 대각 항(diagonal terms)의 힘 전달률 그래프는 Fig. 4와 같다. 단축 절연장치(SNG)와 비교 시 X(Y) 방향은 passband 구간의 특성이 유사하나 다소 낮은 최대 증폭값을 갖고, Z 방향은 단축 절연장치 보다 더 넓은 대역폭과 다소 높은 최대 증폭값을 갖는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 4 
Force transmissibility – cubic configuration (diagonal terms)

입방체 배치 hexapod형 진동절연장치의 힘 전달률 결과에서 확인할 수 있듯, 대각 항의 힘 전달률이 단축 절연장치와 비교 시 유사한 장점이 있지만, ϕ → x방향 크로스 커플링의 최대 증폭값이 큰 한계가 있다.

Fig. 2의 Stewart platform에서, 하판 스트럿 각도(α)와 스트럿의 경사각(i)을 바꾸면 입방체 배치 외의 다른 일반적인 배치들을 구현할 수 있는데, 기하학적 제약 조건에 의해 실제 구현 가능한 형상의 범위는 식 (4)의 조건에 의해 결정되며, 구현 가능한 형상의 범위는 Fig. 5와 같다.

Fig. 5 
Stewart platform – realizable configuration

Fig. 5의 구현 가능한 형상 중, 크로스 커플링을 감소시킬 수 있는 배치를 도출하기 위해 Stewart platform에서의 하판 스트럿 각도(α)와 스트럿의 경사각(i)을 각각 30° ≤ α ≤ 150°, 5° ≤ i ≤ 70°범위에서 변화시키며 힘 전달률의 주요 지표 중 대각 항의 대역폭, 최대 전달률 크기 그리고 크로스 커플링 최대 전달률 크기를 비교하였다. 결과는 Figs. 6 ~ 10과 같으며, Figs. 6 ~ 9의 녹색 점선은 단축 절연장치의 값이다.

Fig. 6에서 보듯, Z 방향 대역폭은 하판 스트럿 각도(α)에 관계없이 경사각(i)에만 영향을 받으며 경사각이 증가할수록 증가하는 경향을 보인다. 반면, X(Y)방향 대역폭은 스트럿 경사각이 증가할수록 감소하는 경향을 보이며, 하판 스트럿 각도에 의한 변화보다, 스트럿 경사각에 의한 대역폭의 변화가 큰 것을 확인할 수 있다.

Fig. 6 
Bandwidth – translational direction

Fig. 7의 θ(ϕ)방향 대역폭은 경사각(i)에 따라 증가하며 하판 스트럿 각도(α)가 증가할수록, 경사각에 따라 증가하는 대역폭의 크기가 증가한다. 반면, Ω방향은 하판 스트럿 각도에 따른 대역폭의 변화가 크고, 경사각에 따라 감소하는 경향을 보인다. 또한, Ω 방향 대역폭은 하판 스트럿 각도가 30°인 경우를 제외하면 모두 단축 절연장치보다 큰 대역폭을 갖는다.

Fig. 7 
Bandwidth – angular direction

진동절연장치의 대역폭이 줄어들수록, 절연가능한 주파수 대역이 증가하나, 진동원의 정적 하중을 지지하기 위한 강성이 감소한다. 또한, 반작용휠이나 제어모멘트자이로와 같은 경우, 제어에 필요한 대역폭이 확보되지 않는 것과 같은 문제가 발생할 수 있기에, 단축 진동절연장치와 유사하거나 다소 높은 대역폭을 갖는 것이 적절하다 볼 수 있다.

Fig. 8의 Z 방향 최대 전달률 크기는 하판 스트럿의 각도(α)와 관계없이 스트럿 경사각(i)에만 영향을 받고, 스트럿 경사각 20°까지 감소하다 이후 증가하는 경향을 보인다. X(Y)방향은 스트럿 경사각이 증가할수록 감소하지만 4 dB 보다는 감소하지 않는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 8 
Max. transmissibility – translational direction

Fig. 9의 Ω방향 최대 전달률 크기는, 대역폭과 유사하게 하판 스트럿 각도가 증가할수록 증가하며 스트럿 경사각이 증가함에 따라 감소한다. 증가폭은 하판 스트럿 각도가 30°에서 60°로 증가할 때 가장 크고, 단축 절연장치의 최대 전달률 크기와 유사한 수준까지 감소하는 것을 볼 수 있다. θ(ϕ)방향 최대 전달률 크기는 하판 스트럿 각도가 증가함에 따라 감소하다 증가하며 하판 스트럿 각도가 30°인 경우를 제외하고는 유사한 경향을 보인다.

Fig. 9 
Max. transmissibility – angular direction

θ(ϕ)방향에서, 하판 스트럿 각도가 30°이고 스트럿 경사각이 5°인 경우, 최대 전달률 크기가 다른 경우와 비교 시 아주 작은 값을 보이는데, 이는 대역폭이 0에 매우 가깝기 때문이다.

Fig. 10의 크로스 커플링의 최대 전달률 크기는 하판 스트럿 각도가 증가할수록 증가하며, 스트럿 경사각이 증가함에 따라 증가폭이 줄어드는 것을 확인할 수 있다. 최대 전달률 크기는 passband 방향에 관계없이 작을수록 이점이 크기 때문에, Fig. 8 ~ 10에서 보듯 하판 스트럿 각도가 90°보다 큰 경우에 진동 절연 관점에서는 큰 이득이 없는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 10 
Max. coupled transmissibility

Figs. 6 ~ 10의 결과를 고려하여, 단축 절연장치와 유사한 수준의 대역폭을 확보하고, 크로스 커플링 크기를 줄일 수 있는 배치로 하판 스트럿 각도(α)는 60°, 스트럿 경사각(i)이 25°를 선택하였고, 힘 전달률 그래프는 Figs. 11, 12와 같다. Figs. 3, 4와 비교시, 크로스 커플링(ϕ → x)의 최대 전달률 크기가 약 4 dB로 감소하였는데, 이는 단축 절연장치의 최대 전달률 크기와 유사한 수준이다. 대각 항의 힘 전달률 특성에서는 X(Y)방향과 Ω 방향의 대역폭이 단축 절연장치 대비하여 다소 증가하였지만, 입방체 배치 또한 Z 방향과 Ω 방향의 대역폭이 단축 절연장치 대비 증가하기 때문에, 감소한 크로스 커플링 최대 전달률 크기를 고려하면, Fig. 11의 결과 또한 Stewart platform 기반 절연장치에 사용되기에 적합하다 볼 수 있다.

Fig. 11 
Force transmissibility – α = 60˚ & i = 25˚

Fig. 12 
Force transmissibility – α = 60˚ & i = 25˚