이 연구에서 사용되는 회전수 측정 시스템은 회전축에 널리 적용되고 있는 일반 상용 절대위치 인코더 (absolute encoder)이다. 먼저 비접촉방식의 회전수 측정 시스템의 원리를 간단히 기술한다. 절대위치 인코더는 종류에 따라 축 회전각도에 비례하는 전압을 발생시킨다. 특별한 외란이나 진동이 없는 상태에서 일정한 속도로 회전하는 회전축의 경우 인코더에서 발생되는 전압 출력이 Fig. 1에 설명되어 있다.

그림에서 보는 바와 같이 인코더의 출력 전압은 축의 회전각에 비례하여 증가하며 미리 정해진 최대 회전각(θ_max)에 도달하면 최대전압(v_max)을 나타낸다.

축의 회전수는 삼각 펄스의 개수를 관측하여 측정할 수 있으며 펄스 중간 위치에서의 회전수는 해당 위치에서의 전압을 이용하여 계산할 수 있다.

이 절에서는 Fig. 2에 설명되어 있는 것과 같은 삼각 pulse를 발생하는 절대위치 인코더를 이용하여 추가적인 센서 장착없이 회전축에 발생하는 회전진동을 측정하는 방법에 대해 기술한다.

Fig. 2 
Theoretical simplification of the downsized drivetrain for hydroelectric generator

(1) 회전진동 측정 원리

Fig. 2과 같은 출력 특성을 나타내는 절대위치 인코더를 이용하여 회전진동을 측정하기 위해서는 우선 다음 Fig. 3과 같이 인코더에서 출력되는 아날로그 신호를 정해진 시간 간격으로 sampling하여 분산, 디지털 신호로 수집해야 한다.

Fig. 3 
Example of the digital sampling of an absolute encoder output signal

일정한 속도로 회전하는 축에 인코더를 장착한 경우 그래프 상의 각 측정 점들을 연결한 직선은 동일한 기울기를 나타낸다. 그러나 축의 회전속도가 변동하는 경우, 기울기가 시간에 따라 변동하게 되고 이 변동을 분석하면 ‘회전속도의 변동’ 즉, 회전진동을 계산할 수 있다. Fig. 4에 인코더에서 출력되는 전압신호를 정해진 sampling rate(f_s)로 측정한 결과를 설명하였다. 회전진동(rotational vibration: R.V.)이 존재하지 않는 경우 그림 상 각 sampling 점에서의 직선의 기울기는 동일하게 나타나지만 그렇지 않은 경우에는 각 점에서 기울기는 변동하게 되며 이를 이용하여 회전진동을 측정할 수 있다.

Fig. 4 
Pulse output of incremental encoder installed at shaft with and w/o torsional vibration

Fig. 4에서 세 측정점에서 축의 회전각 θ_i과 측정점 사이의 각 변위 ∆θ_i는 식 (1)과 같이 구할 수 있다.

θi=ViθmaxVmaxrad

(1a)

Δθi=Vi+1-ViθmaxVmaxrad

(1b)

일정한 시간 간격으로 sampling하였으므로 각 측정점 사이의 시간간격이 ∆t(=t_i+1-t_i)는 일정하며 각 시간에서의 각속도는 식 (2)와 같이 구할 수 있다.

ωi=ΔθiΔti=2π/PPRΔtirad/s

(2)

따라서, 앞의 과정을 각 시간 위치에서 반복 수행하면 시간에 따른 각속도의 변동을 파악할 수 있다. 또한 이 각속도 시간열에 대해 주파수 분석을 실시하면 회전진동에 포함된 주파수 성분을 분석할 수 있다.

(2) 회전진동 측정 프로세스 검증

이 절에서는 computer simulation을 이용하여 앞 절에서 소개된 측정 프로세스의 타당성을 검증한다. 이 검증에서 회전축은 명목회전수에 덧붙여 1차 및 2차 회전진동을 가지고 있어 축의 회전속도는 식 (3)과 같이 나타난다고 가정하였다.

ωt=Ω+Ω1sin⁡Ωt+ϕ1+Ω2sin⁡2Ωt+ϕ2

(3)

여기서 Ω₀는 축의 명목 회전속도이며 Ω₁와 Ω₂는 각각 축에 발생하는 1차 및 2차 회전진동의 크기이다. 해당 축의 회전각도는 식 (3)을 시간에 대해 적분해서 식 (4)와 같이 구할 수 있다.

θt=Ωt-Ω1Ωcos⁡Ωt+ϕ1-Ω12Ωcos⁡2Ωt+ϕ2

(4)

축에 부착된 인코더는 상기 식에 의해 구해진 회전각도가 θ_max만큼 증가할 때마다 1회씩 삼각 pulse가 발생하게 된다.

이와 같은 인코더의 출력의 특성을 이용한 축의 회전진동 측정 process의 타당성을 컴퓨터 시뮬레이션을 이용하여 검토하였다. 검증을 위한 시뮬레이션에 사용되는 회전축, 인코더 및 data recorder의 조건은 위에 설명된 가정을 고려하여 Table 1과 같이 설정하였다.

Table 1 
Parameters for the simulation to verify measurement process

Description		Unit	Value
Rotating shaft	Nominal speed (Ω)	r/min	150
	Mag. of 1st order vibration (Ω1)	r/min	0.75
	Mag. of 2nd order vibration (Ω2)	r/min	1.5
	Phase (ϕ1 ϕ2)	rad	0
Encoder	Max. vol. (Vmax)	V	5.0
	Max. angle (θmax)	rad	32π
Data recorder	Sampling freq. (fs)	Hz	1e3
	Time duration (T)	sec	32

또한, 인코더의 불완전성을 고려하기 위하여 인코더의 입출력 과정에 1 %의 랜덤 오차가 발생한다고 가정하였다.

Table 1에 주어진 조건 하에서 절대위치 인코더에서 출력되는 출력 전압을 이용하여 계산된 각속도 변동과 식 (3)에 주어진 것과 같은 회전축에 의도적으로 도입한 각속도 변동을 Fig. 5에 서로 비교하였다.

Fig. 5 
Results of simulation to verify the measurement process (key: ◦ ◦ ◦: theoretical, ‑ ‑: simulation)

Fig. 5에서 보는 바와 같이 의도적으로 도입된 ∆ω_i와 측정을 simulation한 ∆ω_i가 각 시간 간격에서 잘 일치하고 있음을 알 수 있다. 또한 이렇게 구해진 각속도 변동에 대해 주파수분석을 실시한 결과를 Fig. 6에 설명하였다.

Fig. 6 
Results of frequency analysis on the result of the simulation to verify the measurement process

Fig. 6에서 보는 바와 같이 의도적으로 회전진동을 도입한 1차(2.5 Hz)와 2차(5.0 Hz) 성분의 회전진동이 명확히 나타남을 알 수 있다. 아울러, 시뮬레이션에서 얻어진 해당 성분의 진동의 크기를 Table 2에 이론적인 값과 비교하여 설명하였다.

Table 2 
Parameters of the 1st and 2nd order CPA system

Order	Magnitude (rad/s)		Error (%)	Remarks
	Theoretical	Sampled
1st	0.0785	0.0783	0.25	-
2nd	0.1571	0.1577	0.38	-

Table 2에서 보는 바와 같이 1차 및 2차 성분의 크기가 의도적으로 도입한 이론적인 크기와 정확히 일치하고 있음을 알 수 있다.

따라서, Fig. 5의 시간 영역 데이터와 Fig. 6 및 Table 2의 주파수 영역 데이터 분석 결과를 바탕으로 절대위치 인코더의 출력 신호를 sampling하여 회전진동을 측정하는 방법은 충분한 정확도를 가진다고 할 수 있다.

회전수 및 진동 측정을 위한 실험 시스템은 다음 Fig. 7과 같이 회전축을 universal joint로 연결된 모터를 통해 구동하는 형태로 구성되어 있다. 구동축의 끝단에는 회전속도 측정을 위한 절대위치 인코더가 부착되어 있다.

Fig. 7 
The set-up for the experimental verification of the proposed process

그림의 인코더는 POSITAL 사의 MCD-AC005-0412-M100-CAW 모델이며⁽¹⁶⁾, 회전각도에 따른 전압 출력 특성은 다음 Fig. 8과 같이 축이 16회전하는 동안 출력전압이 0 V에서 5 V로 상승한다.

Fig. 8 
Voltage output characteristics of the MCD-AC005-0412-M100-CAW encoder

인코더 출력신호는 LMS Test Lab. 장비를 이용하여 51 200 Hz의 sampling rate, 16 bit 분해능으로 sampling하였다. 이렇게 수집된 신호는 축의 회전과 무관한 전기적인 잡음(noise)을 제거하기 위하여 적절한 저역필터(low pass filter)를 통과시킨 다음 분석한다. 각 시간 step에서의 회전각과 회전속도를 계산한다.

Universal joint는 주어진 각도(θ)로 교차하는 두 축 사이에서 구동력(torque)을 전달하기 위하여 사용된다^(17,18). 간단한 single universal joint의 예가 Fig. 9에 설명되어 있다 그림에서 구동축(A)와 피동축(B)은 각 θ로 교차하고 있다.

Fig. 9 
Single universal joint

기구학적인 원리에 따라 구동축의 회전속도(ω_A)와 피동축의 회전속도(ω_B) 사이에는 식 (5)와 같은 관계가 성립한다^(17,18).

여기서 α는 구동축의 회전각이다. 따라서, 두 축의 회전 속도비(ω_B/ω_A)는 구동축의 회전각에 따라서 1회전 당 2회의 주기로 변동하며 최대값과 최소값은 각각 식 (6)과 같이 나타난다^(17,18).

식 (5)를 이용하여 θ가 20°인 경우에 대하여 α와 ω_B/ω_A사이의 관계를 나타낸 그래프가 Fig. 10에 설명되어 있다.

Fig. 10 
Time data for the variation in the rotational speed of the driven shaft when θ=20°

Fig. 10에서 보는 바와 같이 ω_B는 ω_A의 약 94 % ~ 106 %의 범위에서 1회전 당 2회의 주기를 가진 조화함수 형태로 변동하고 있음을 알 수 있다.

앞 절에서 설명한 실험 장치와 process를 이용하여 회전축의 진동을 측정한 결과를 분석하여 이 연구에서 제안하는 절대위치 인코더를 이용한 회전진동 측정법의 타당성을 검토한다. 이 연구에서는 모터 축과 피동축 사이의 교차각(θ)을 각각 0° 및 20°로 설정한 다음 실험을 수행하였다.

θ가 0°인 경우에 대한 시험 결과가 Fig. 11에 설명되어 있다. 이론적으로 축의 교차각이 0°인 경우에는 universal joint 효과로 나타나는 2차 order 회전진동이 나타나지 않아야 한다.

Fig. 11 
Time data for the variation in the rotational speed of the driven shaft when θ=0° (key: ◦ ◦: Theoretical, ‑ ‑: Encoder)

Fig. 11에서 보는 바와 같이 이 경우에는 2차 회전진동이 거의 나타나지 않음을 알 수 있다. 그러나 회전 부품의 불평형 질량, 회전 축의 정렬 불량, 베어링 또는 감속기 기어 불량 등 실험장치의 불완전성 등으로 인한 불규칙적인 진동이 발생하고 있음을 알 수 있다. 다음으로 θ가 20°인 경우에 대한 시험 결과가 Fig. 12에 설명되어 있다. 이 경우에는 기구학적인 특성으로 명목각속도의 약 6 %의 진폭을 가지는 회전진동이 발생하여야 한다.

Fig. 12 
Time data for the variation in the rotational speed of the driven shaft when θ=20° (key: ◦ ◦: Theoretical, ‑ ‑: Encoder)

Fig. 12에서 보는 바와 같이, θ가 20°인 경우에 대한 결과에서 universal joint에 의해 발생되는 2차 회전진동이 지배적으로 나타지만, 앞에서 설명한 다양한 원인에 의한 회전진동 등이 추가됨으로 인해 복잡한 진동 형태를 나타내고 있음을 알 수 있다. 또한, 그림에서 보는 바와 같이 2차 order 진동의 진폭이 기구학적 특성에 의해 유도되는 진폭과 거의 유사하게 나타나고 있음을 알 수 있다.

다음으로 이와 같은 시간영역의 데이터에 대한 주파수 분석을 통해 회전진동에 포함된 각각의 order 성분을 파악하였다. 주파수 분석 과정에서 time window(T)는 5초, averaging은 4회로 설정하였다. 우선 θ가 0°인 경우에 대한 분석 결과를 Fig. 13에 표시하였다.

Fig. 13 
Order contents in the rotational vibration of the output shaft in the test set up with θ=0°

그림에서 보는 바와 같이 뚜렷한 지배적인 성분은 나타나지 않았으나 크기가 작은 여러 차수의 진동이 복합적으로 나타남을 알 수 있다. 이러한 진동은 앞에서 설명한 실험장치의 불확실성에 기인한 진동으로 판단된다.

다음으로 θ가 20°인 경우에 대한 주파수분석 결과를 Fig. 14에 설명하였다.

Fig. 14 
Order contents in the rotational vibration of the output shaft in the test set up with θ=20°

그림에서 보는 바와 같이 축 회전 2차 성분의 진동이 크게 증가하였으며 여타 차수의 진동은 큰 차이없이 거의 동일하게 나타남을 알 수 있다. 또한 2차 성분의 크기는 1.0 rad/s로 축의 명목 회전속도의 6 %로 나타나 이론적으로 universal joint에 의해 유도되는 회전진동의 진폭과 거의 동일하게 나타남을 알 수 있다.