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[ Article ] | |
Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering - Vol. 32, No. 5, pp. 502-516 | |
Abbreviation: Trans. Korean Soc. Noise Vib. Eng. | |
ISSN: 1598-2785 (Print) 2287-5476 (Online) | |
Print publication date 20 Oct 2022 | |
Received 12 Aug 2022 Revised 08 Sep 2022 Accepted 08 Sep 2022 | |
DOI: https://doi.org/10.5050/KSNVE.2022.32.5.502 | |
이론적 진동모드 특성에 기반한 티모센코 보의 제2진동수 스펙트럼에 관한 연구 | |
서민호* ; 김용우†
| |
Second Frequency Spectrum in a Timoshenko Beam Based on Analytic Modal Characteristics | |
Min Ho Seo* ; Yong-Woo Kim†
| |
*Department of Mechanical Engineering, Graduate School, Sunchon National University, Former Graduate Student | |
Correspondence to : †Member, School of Mechanical and Aerospace Engineering, Sunchon National University, Professor E-mail : kyw@scnu.ac.kr ‡ Recommended by Editor Pyung Sik Ma | |
© The Korean Society for Noise and Vibration Engineering | |
Funding Information ▼ |
Expanding on previous studies on Timoshenko beams, further extended dimensionless frequency curves, such as hinged–hinged beam, clamped–clamped beam, clamped–hinged beam, and clamped–free beam, are presented to show that the natural frequencies vary as the inverse of slenderness ratio changes and to investigate the second spectrum of a Timoshenko beam. To obtain the frequency curves, we calculated the natural frequencies in two ways: by solving the frequency equation expressed by natural frequency, and by solving the differential equation employed by Han et al. The latter method does not yield accurate or stable solutions for higher modes, whereas the former does. Therefore, we calculated the higher natural frequencies using the former method and obtained the extended frequency curves as a function of the slenderness ratio. This paper reports findings through careful observation of the extended frequency curves.
Keywords: Timoshenko Beam, Natural Frequency, Eigenfunction, Second Spectrum of Frequencies 키워드: 티모센코 보, 고유진동수, 고유진동형, 제2진동수 스펙트럼 |
Timoshenko 보의 자유진동 운동방정식의 해는 고유진동수에 따라 두 가지로 표현된다. 하나는 고유진동수가 임계진동수,
Han 등(6)은 무차원 파수(dimensionless wave number)를 미지수로 하는 티모센코 보의 진동수 방정식을 유도하여 Runge-Kutta method를 이용하여 s-1값의 변화에 따른 네 가지 보에 대한 고유진동수 곡선들(frequency curve)을 보 하나당 4개씩 도출하여 s-1값이 변화함에 따라 고유진동수가 어떻게 변화하는지 설명하였다.
이 연구에서는 유한요소 해석을 사용하지 않고 이론적 계산을 사용하여 도출한 Han 등(6)의 고유진동수 곡선보다 더 많은 고유진동수 곡선들을 구하고 이를 바탕으로 s-1의 값에 따른 고유진동수의 분포 및 제2스펙트럼의 존재에 대해 조사하고자 한다. 이를 위해, Han 등(6)과 동일하게 무차원 파수를 미지수로 하는 고유진동수 방정식에 Runge-Kutta method를 적용하여 4가지 보에 대해 무차원 파수를 계산하고 이를 이용하여 고유진동수 곡선을 작성하였다. 그러나 처음 4개의 고유진동수 곡선 이후의 고차의 고유진동수 곡선들은 해의 정확성과 수렴도가 불량하여 정확히 계산되지 않았다. 이러한 사실이 아마도 Han 등(6)이 처음 4개의 고유진동수 곡선만을 제시한 이유인 것으로 추측된다. 이를 보완하기 위해 티모센코 보의 운동방정식으로부터 유도한 고유진동수 방정식(고유진동수가 미지수)(10,11)을 사용하여 12개의 고유진동수 곡선을 작성하였다. 그 결과, 두 가지 방법으로 구한 처음 4개의 고유진동수 곡선들이 모두 일치하였다. 이 연구에서는 확장된 고유진동수 곡선을 바탕으로 세장비의 역수의 변화에 따른 고유진동수, 정규화된 고유진동형, 그리고 제2스펙트럼에 대해 분석하고 검토하여 새로 발견한 현상들을 기술하였다.
임의 위치 x와 시간 t에서의 보의 변위, 회전각을 각각 y(x,t), θ(x,t)라 표기하면, 자유진동시의 티모센코 보의 운동방정식은 다음과 같다.
(1) |
(2) |
여기서 ρA는 단위 길이 당 질량, ρI는 단위 길이 당 중립축에 대한 질량관성모멘트, EI는 굽힘강성, κGA는 전단강성을 나타낸다.
식 (1), (2)에서 ρA, Iρ, κGA, EI가 모두 상수일 때, 운동방정식의 해를 다음과 같이 가정하여,
(3) |
(4) |
식 (3)과 식 (4)를 식 (1)과 식 (2)에 대입하고 변수분리하면 다음과 같은 세 개의 상미분방정식을 얻는다.
(5) |
(6) |
(7) |
여기서 문자 위의 점(dot)은 시간에 관한 미분을 의미하고, 상첨자 프라임(prime)은 x에 관한 미분을 의미한다. 그리고 ω는 고유진동수이고 Y와 Θ는 고유모드이다. 식 (6)과 식 (7)을 행렬로 표현하면 다음과 같다.
(8) |
여기서 [L]와 [M]는 식 (9), (10)과 같다.
(9) |
(10) |
r번째 고유모드([Yr Θr]T)와 s번째 고유모드([Ys Θs]T)를 식 (8)에 각각 대입하여 얻은 두 식을 이용하면 전통적 경계조건(단순지지, 고정, 자유)을 만족시키는 Y(x)와 Θ(x)에 대해 식 (11), (12)와 같은 티모센코 보의 직교조건을 얻는다(12).
(11) |
(12) |
식 (11), (12)의 고유진동형 [Yr Θr]T은 식 (13), (14)와 같이 정규화 할 수 있다.
(13) |
(14) |
여기서
식 (6), (7)의 해를 식 (15), (16)과 같이 가정한다.
(15) |
(16) |
가정한 해를 식 (6)과 식 (7)에 대입하여 정리하고 행렬로 표현하면 식 (17)과 같다.
(17) |
여기서,
그런데 W1와 W2는 모두 0이 될 수 없으므로 (만일 0일 경우 식 (15), (16)에서 가정한 Y(x) 및 Θ(x)는 모두 0이 된다.), 식 (17)의 계수행렬의 행렬식은 0이 되어야 한다. 즉,
(18) |
여기서
(19) |
(20) |
이다.
m2 ≠ 0일 때 식 (17)과 식 (18)을 만족하는 0이 아닌 [W1 W2]T는 [m m2+a]T이다(11). 따라서 m2 ≠ 0일 때, 식 (15)와 식(16)의 Y(x), Θ(x)는 식 (21)과 같은 형태이다.
(21) |
그런데 m2 ≠ 0일 때, 식 (18)의 근은 식 (22)와 같다.
(22) |
여기서 ∆ = d2 - 4e이고 항상 양수이다. (mb)2은 항상 음수이나 (ma)2은 그렇지 않다. 따라서 근은 (ma)2이 양수인 경우와 음수인 경우로 나누어 고려한다. (ma)2 = 0에 대응하는 진동수를 임계진동수(critical frequency)라 하며 식 (23)과 같이 정의된다.
(23) |
(1) (ma)2 > 0일 경우, 즉 ω < ωc일 때:
(24) |
여기서 j는 허수 단위이다. 따라서 Y(x)와 Θ(x)의 일반해는 식 (25)와 같다.
(25) |
여기서 C1, C2, C3, C4는 임의의 상수들이고, A, B, C, D는 A = (C1 + C2)r1, B = (C1 - C2)r1, C = -(C3 + C4)r2, D = (C3 - C4)(jr2)로서 임의의 상수들이다.
(2) (mb)2 < 0일 경우, 즉 ω > ωc일 때:
(26) |
따라서 Y(x)와 Θ(x)의 일반해는 식 (27)과 같다.
(27) |
여기서
식 (25)와 식 (27)의 임의의 상수들은 각각 다음의 경계조건들에 의해 결정된다.
· 고정단에서의 경계조건;
(28) |
(29) |
· 단순지지단에서의 경계조건;
(30) |
(31) |
· 자유단에서의 경계조건;
(32) |
(33) |
Fig. 1의 보들에 위의 경계조건들(식 (28) ~ (33))을 식 (25)와 식 (27)에 적용하면 각 보의 고유진동수 방정식 및 고유진동형을 구할 수 있다. 그 결과들을 Table 1과 Table 2에 각각 정리하였다.
Hinged-hinged beam |
---|
When ω < ωc, sinr2L=0 |
When ω > ωc, sinp1L sinp2L = 0 |
Fixed-hinged beam |
When ω < ωc, |
When ω > ωc, |
Fixed-fixed beam |
When ω < ωc, |
When ω > ωc, |
Fixed-free beam |
When ω < ωc, |
When ω > ωc, |
Hinged-hinged beam | |
---|---|
Fixed-hinged beam | |
Fixed-fixed beam | |
Fixed-free beam | |
s-1의 변화에 따른 고유진동수 분포순서가 어떻게 변화하는지 고찰하기 위해, Fig. 1의 네 가지 보에 대하여 s-1의 변화에 따른 고유진동수 곡선들을 구하여 고유진동수 및 고유진동수의 분포순서를 조사한다. 이를 위해 Fig. 2 및 Table 3과 같은 보에 대하여 고려한다.
(a) Material properties and beam length |
---|
Young’s modulus, E=200 GPa |
Modulus of rigidity, G=7.7519×1010 GPa |
Poisson’s ratio, ν=0.29 |
Density; ρ=7830 kg/m3 |
Length of beam, L=1 m |
(b) Cross-sectional data and shear correction factor |
Inner radius, ri[m] |
Outer radius, ro[m] |
Cross-sectional area, A[m2] |
Area moment of inertia w.r.t. neutral axis, I [m4] |
Slenderness ratio, |
Shape coefficient(13) or shear correction factor |
이 연구에서는 s-1의 값에 변화를 주기 위해, Table 3의 (a)에 있는 물성치와 보의 길이를 고정시켜 사용하였으며 Table 3의 (b)에 있는 단면의 기하하적 데이터들을 변화시켰다.
기하학적 데이터를 변화시켜 얻는 세장비의 역수(s-1)와 무차원 고유진동수(6)(
Fig. 3에서 실선 및 점선의 곡선들은 Han 등(6)이 제안한 방법을 사용하여 계산한 결과이다. 이중 파란 실선(s-1가 증가함에 따라 감소하는 쌍곡선 형태의 맨 아래쪽 곡선)은 임계진동수(ωc)에 대응하는 무차원 임계진동수(
Fig. 3으로부터 다음의 사실을 확인할 수 있다. 첫째, 두 방법으로 얻은 무차원 고유진동수의 분포가 정확히 일치한다.
둘째, 쌍곡선 형태의 고유진동수 곡선과 단순증가 형태의 고유진동수 곡선들이 상호 교차한다. 그러나 동일한 무차원 고유진동수 곡선상에 존재하는 고유진동형은 모두 동일하다.
셋째, s-1의 값에 따라서 오일러 보에서 볼 수 있는 고유진동형의 분포순서와는 전혀 다름을 알 수 있다. 일반적으로 오일러 보에서와 같이 변위의 고유진동형(
넷째, 저차 모드에서 나타났던 변위의 고유진동형(
n | First spectrum | Critical frequency, ωc |
Second spectrum | ||
---|---|---|---|---|---|
Features of |
ωn | ωn | Features of |
||
1 | 2(1)s | 4295.17 | |||
2 | 3(2)a | 11977.2 | |||
3 | 4(3)s | 19935.8 | |||
21553.1 | |||||
4 | 27444.3 | 2(1)s | |||
5 | 5(4)a | 27784.4 | |||
6 | 6(5)s | 35520.6 | |||
7 | 39367.9 | 3(2)a | |||
8 | 7(6)a | 43176.5 | |||
9 | 8(7)s | 50777.0 | |||
10 | 53215.8 | 4(3)s | |||
11 | 9(8)a | 58338.9 | |||
12 | 10(9)s | 65873.2 |
n | First spectrum | Critical frequency, ωc |
Second spectrum | ||
---|---|---|---|---|---|
Features of |
ωn | ωn | Features of |
||
1 | 2(1)s | 5600.27 | |||
12931.9 | |||||
2 | 3(2)a | 13539.8 | |||
3 | 21048.6 | 2(1)s | |||
4 | 4(3)s | 21312.4 | |||
5 | 5(4)a | 28949.1 | |||
6 | 34824.3 | 3(2)a | |||
7 | 6(5)s | 36511.8 | |||
8 | 7(6)a | 44032.3 | |||
9 | 49778.7 | 4(3)s | |||
10 | 8(7)s | 51527.0 | |||
11 | 9(8)a | 59004.9 | |||
12 | 65150.6 | 5(4)a |
Table 4에서 s-1=0.1097일 때의 변위의 고유진동형(
또한, Table 5에서 n=1, 2, 4, 5일 때의 고유진동형(
위의 논의를 구체적으로 확인하기 위해 Table 4와 Table 5에서 제2스펙트럼이 존재하는 고유진동형들을 Table 6과 Table 7에 도시하였다. Table 6에서 보는 바와 같이 제1스펙트럼에 속하는 고유진동형과 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형의 쌍들의
First spectrum | Second spectrum | |
---|---|---|
1 |
![]() |
![]() |
2 |
![]() |
![]() |
3 |
![]() |
![]() |
First spectrum | Second spectrum | |
---|---|---|
1 |
![]() |
![]() |
2 |
![]() |
![]() |
3 |
![]() |
![]() |
4 |
![]() |
![]() |
양단 고정보의 경우, 고유진동수 방정식으로부터 s-1의 변화에 따른 무차원 고유진동수의 분포를 구하여 그 결과를 Fig. 4에 도시한다. Fig. 4에서 쌍곡선 형태의 곡선들 중 맨 아래 곡선(파란색 실선)은 ωc에 대응하는 곡선이다. 양단 고정보에서는 Han의 이론(6)에 Runge-Kutta method를 적용하여 4개의 무차원 파수만 구할 수 있었다. 그 이상의 무차원 파수는 계산이 정확하게 수렴하지 않아 무차원 고유진동수를 계산할 수 없어 도시하지 않았다.
Fig. 4로부터 다음과 같은 사실들을 확인할 수 있다. 첫째, 두 방법으로 얻은 무차원 고유진동수의 분포가 정확히 일치한다.
둘째, 일부의 무차원 고유진동수 곡선을 제외하고 고유진동수 곡선들이 교차한다. 그러나 양단 단순보와는 달리, 동일한 무차원 고유진동수 곡선 상에 존재하는 고유진동형은 s-1값에 따라 다를 수 있다(Fig. 4 참조).
셋째, s-1에 따른 고유진동형의 분포순서가 바뀌는 것을 확인할 수 있는데, 예를 들면 s-1=0.0987일 때의 변위 고유진동형(
넷째, 저차 모드에서 나타났던 변위의 고유진동형(
n | First spectrum | Critical frequency, ωc |
Second spectrum | ||
---|---|---|---|---|---|
Features of |
Frequency | Frequency | Features of |
||
1 | 2(3)s | 6163.60 | |||
2 | 3(4)a | 12494.6 | |||
3 | 4(5)s | 19915.2 | |||
23947.9 | |||||
4 | 5(2)a | 27029.6 | |||
5 | 29854.3 | 5(2)a | |||
6 | 6(5)s | 34980.9 | |||
7 | 40972.5 | 6(3)s | |||
8 | 7(4)a | 42843.9 | |||
9 | 8(9)s | 50578.4 | |||
10 | 9(4)a | 54179.1 | |||
11 | 58336.7 | 9(4)a | |||
12 | 10(5)s | 65434.8 |
n | First spectrum | Critical frequency, ωc |
Second spectrum | ||
---|---|---|---|---|---|
Features of |
ωn | ωn | Features of |
||
1 | 2(3)s | 7105.71 | |||
2 | 10776.5 | ||||
3 | 3(2)a | 13698.6 | |||
19789.9 | 3(2)a | ||||
4 | 4(3)s | 21559.2 | |||
5 | 5(6)a | 29222.1 | |||
6 | 6(3)s | 33744.9 | |||
7 | 36886.8 | 6(3)s | |||
8 | 7(4)a | 44114.6 | |||
9 | 49185.3 | 7(4)a | |||
10 | 8(7)s | 51658.3 | |||
11 | 9(8)a | 59145.3 | |||
12 | 10(5)s | 64560.8 |
Table 8을 보면 임계진동수보다 작은 고유진동수들(n=1, 2, 3)에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수들이 존재하지 않으며, Table 9에서는 n=1에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수가 존재하지 않음을 알 수 있다. 제1스펙트럼에 속하는 고유진동형과 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형의 특징을 확인하기 위해 Table 8의 고유진동수들 중에서 제2스펙트럼이 존재하는 고유진동수들에 대하여, 고유진동형의 쌍(제1스펙트럼 및 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형)들을 각각 Table 10에서 비교하여 도시하였다. Table 10에서 보는 바와 같이, 제1스펙트럼에 속하는
First spectrum | Second spectrum | |
---|---|---|
1 |
![]() |
![]() |
2 |
![]() |
![]() |
3 |
![]() |
![]() |
고정-단순보의 경우, Han(6)의 방법을 사용하여 구할 수 있는 고유진동수 곡선들을 Fig. 5에 실선으로 표시하였으며, 점으로 표시한 것들은 2장의 고유진동수 방정식을 이용하여 찾은 무차원 고유진동수들이다. 그리고 쌍곡선 형태의 곡선들 중 맨 아래의 쌍곡선(파란색 실선)은 임계진동수에 대응하는 곡선이다.
Fig. 5로부터 다음과 같은 사실들을 확인할 수 있다. 첫째, 두 방법으로 얻은 고유진동수 곡선들이 일치한다.
둘째, 고정-단순보에서는 계산한 구간 내에서는 s-1의 변화에 따라 고유진동수 곡선들이 교차되지 않는다. 이를 Fig. 5만으로 판단하기 어려워, 곡선들이 서로 교차하는지를 확인하기 위해, 0.035<s-1<0.06의 빨간 상자영역을 확대해서 Fig. 6에 다시 도시하였다. 이를 통해 고정-단순보에서 계산한 구간 내에 교차하지 않음을 확인하였다. 고유진동수 곡선들이 교차하지 않으나, 동일한 무차원 고유진동수 곡선상에 존재하는 고유진동형은 s-1의 값에 따라 다를 수 있음을 알 수 있다(Fig. 5 참조).
셋째, s-1의 값이 변함에 따라 고유진동형의 분포순서가 바뀌는 것을 확인할 수 있는데, 예를 들면 s-1=0.0987일 때의 고유진동형의 절점 수는 고유진동수가 증가함에 따라 2(2)-3(3)-4(4)-5(1)-5(3)-6(2)-6(2)-7(3)-8(3)-8(5)-9(4)-9(4)의 순서로 나타나고(여기서 앞의 숫자는
넷째, 고정-단순보에서도
n | First spectrum | Critical frequency, ωc |
Second spectrum | ||
---|---|---|---|---|---|
Number of nodes in ( |
ωn | ωn | Number of nodes in ( |
||
1 | 2(2) | 5078.72 | |||
2 | 3(3) | 12083.3 | |||
3 | 4(4) | 19680.5 | |||
23947.9 | |||||
4 | 5(1) | 25426.5 | |||
5 | 27474.9 | 5(3) | |||
6 | 6(2) | 34334.2 | |||
7 | 35590.2 | 6(2) | |||
8 | 7(3) | 42841.4 | |||
9 | 8(3) | 47423.7 | |||
10 | 50593.6 | 8(5) | |||
11 | 9(4) | 58052.7 | |||
12 | 61545.6 | 9(4) |
n | First spectrum | Critical frequency, ωc |
Second spectrum | ||
---|---|---|---|---|---|
Number of nodes in ( |
ωn | ωn | Number of nodes in ( |
||
1 | 2(2) | 6359.53 | |||
2 | 10776.5 | ||||
3 | 3(1) | 13259.7 | |||
14380.5 | 3(1) | ||||
4 | 4(2) | 21557.6 | |||
5 | 5(2) | 26556.7 | |||
6 | 29242.5 | 5(2) | |||
7 | 6(3) | 36678.3 | |||
8 | 7(3) | 41460.3 | |||
9 | 44226.0 | 7(3) | |||
10 | 8(6) | 51657.7 | |||
11 | 9(4) | 56856.9 | |||
12 | 59155.0 | 9(4) |
Table 11을 보면 n=1, 2, 3에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수들이 존재하지 않으며, Table 12에서는 n=1에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수가 존재하지 않음을 알 수 있다. 제1스펙트럼에 속하는 고유진동형과 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형의 특징을 확인하기 위해 Table 11의 고유진동수들 중에서 제2스펙트럼이 존재하는 고유진동수들에 대하여, 고유진동형의 쌍(제1스펙트럼 및 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형)들을 각각 Table 13에서 비교하였다. Table 13에서 보는 바와 같이 각 쌍들의 고유진동형을 살펴보면, 변위의 고유진동형(
First spectrum | Second spectrum | |
---|---|---|
1 |
![]() |
![]() |
2 |
![]() |
![]() |
3 |
![]() |
![]() |
4 |
![]() |
![]() |
기하학적 데이터를 변화시켜 얻는 세장비의 역수(s-1)와 무차원 고유진동수(
Fig. 7로부터 다음과 같은 사실들을 확인할 수 있다. 첫째, 두 방법으로 얻은 고유진동수 곡선들이 일치한다.
둘째, 외팔보에서는 계산한 구간 내에서는 모든 고유진동수 곡선들이 상호 교차되지 않는다. 그러나 동일 곡선 상에 있는 고유진동수의 고유진동형 절점 수가 다른 것을 확인할 수 있다.
셋째, s-1의 값에 따라 고유진동형이 나타나는 순서의 변화가 정형적이지 않다. 예를 들면, s-1=0.0987일 때의 고유진동형의 절점 수는 고유진동수가 증가함에 따라 1(1)-2(2)-3(3)-4(1)-4(1)-5(2)-5(2)-6(3)-7(3)-7(3)-8(3)-9(4)의 순서로 나타나고, s-1=0.2193일 때의 고유진동형의 절점 수는 1(1)-2(1)-2(1)-3(1)-4(2)-4(2)-5(2)-6(3)-6(3)-7(4)-8(4)-8(4)의 순서로 나타난다.
넷째, 외팔보에서도
n | First spectrum | Critical frequency, ωc |
Second spectrum | ||
---|---|---|---|---|---|
Number of nodes in ( |
ωn | ωn | Number of nodes in ( |
||
1 | 1(1) | 1570.41 | |||
2 | 2(2) | 6642.87 | |||
3 | 3(3) | 14201.9 | |||
4(1) | 21125.9 | ||||
4 | 23947.9 | ||||
5 | 26807.3 | 4(1) | |||
6 | 5(2) | 30121.2 | |||
7 | 35474.4 | 5(2) | |||
8 | 6(3) | 38907.2 | |||
9 | 7(3) | 46155.3 | |||
10 | 47905.1 | 7(3) | |||
11 | 8(3) | 54592.8 | |||
12 | 9(4) | 60114.9 |
n | First spectrum | Critical frequency, |
Second spectrum | ||
---|---|---|---|---|---|
Number of nodes in ( |
ωn | ωn | Number of nodes in ( |
||
1 | 1(1) | 2643.47 | |||
2 | 2(1) | 7825.72 | |||
10776.5 | |||||
3 | 14351.2 | 2(1) | |||
4 | 3(1) | 17637.1 | |||
5 | 4(2) | 25088.6 | |||
6 | 26777.9 | 4(2) | |||
7 | 5(2) | 33150.7 | |||
8 | 6(3) | 39703.4 | |||
9 | 42150.3 | 6(3) | |||
10 | 7(4) | 47874.4 | |||
11 | 8(4) | 55345.0 | |||
12 | 56892.2 | 8(4) |
Table 14를 보면 임계진동수보다 작은 고유진동수들 중, 1, 2, 3차 고유진동수(n=1, 2, 3)에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수들이 존재하지 않으나 4번째 (n=4)에 대응하는 제2스펙트럼이 존재한다. Table 15에서는 임계진동수보다 작은 첫 번째 고유진동수(n=1)에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수가 존재하지 않으나, 임계진동수보다 작은 두 번째 고유진동수(n=2)에 대응되는 제2스펙트럼의 고유진동수가 존재함을 알 수 있다.
제1스펙트럼에 속하는 고유진동형과 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형의 특징을 확인하기 위해 Table 14의 고유진동수들 중에서 제2스펙트럼이 존재하는 고유진동수들에 대하여, 고유진동형의 쌍(제1스펙트럼 및 제2스펙트럼에 속하는 고유진동형)들을 각각 Table 16에서 비교하였다. Table 16에서 보는 바와 같이 각 쌍들의 고유진동형을 살펴보면, 변위 고유진동형(
First spectrum | Second spectrum | |
---|---|---|
1 |
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![]() |
2 |
![]() |
![]() |
3 |
![]() |
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3.1절의 양단 단순보에서 검토한 바와 같이 제1스펙트럼과 제2스펙트럼의 정규화된 고유진동형을 살펴보면(Table 6과 Table 7참조),
이 연구는 네 가지의 Timoshenko 보(양단 단순보, 양단 고정보, 고정-단순보 및 외팔보)에 대한 s-1(세장비의 역수)값의 변화에 따른 고유진동수 곡선들을 작성하였다. 이를 위해, Han의 방법(무차원 파수를 구하여 고유진동수 곡선을 작성하는 방법)으로는 고차 모드의 고유진동수 곡선을 그리는데 한계가 있어, 고유진동수 방정식으로부터 고유진동수를 구하여 첫 번째 고유진동수에서부터 12번째 고유진동수까지의 고유진동수 곡선을 작성하였다. 이 연구에서 수행한 1~12번째 고유진동수 곡선과 고유진동수 및 정규화된 고유진동형을 비교, 고찰하여 다음과 같은 현상을 확인하였다.
⦁ s-1의 변화에 따른 고유진동수 곡선의 특징은 경계조건에 따라 상이하다. 양단 단순보와 양단 고정보의 경우, s-1값의 변화에 따른 고유진동수 곡선들이 모두 또는 일부 교차한다. 고정-단순보와 외팔보의 경우, 계산 범위 내에서는 곡선들은 교차되지 않았다.
⦁ 일반적으로 고유진동수가 증가함에 따라 고유진동형의 형태(대칭 또는 비대칭, 절점 수)가 나타나는 순서는 불규칙하고 정형적이지 않다.
⦁ 양단 단순보의 경우, 고유진동수 곡선들에서 동일한 곡선상에 존재하는 고유진동수들의 변위의 고유진동형은 모두 동일하지만, 양단 고정보, 고정-단순보, 외팔보의 경우 동일 곡선상에 존재하는 진동수일지라도 s-1의 값에 따라 고유진동형의 형태가 바뀐다.
⦁ 양단 단순보의 경우에 ω < ωc의 영역에 속하면서 변위의 고유진동형이 동일한 모든 고유진동수들에 대응하는 제2스펙트럼의 고유진동수가 존재한다. 그러나 양단 고정보와 고정-단순보의 경우에는 ω < ωc의 영역에 속하는 모든 고유진동수들에 대한 제2스펙트럼이 존재하지 않을 수 있다. 외팔보의 경우에는 양단 단순보와는 달리, ω < ωc의 영역에 속하는 일부의 고유진동수들에 대해서 변위의 고유진동형이 동일한 제2스펙트럼의 고유진동수가 존재한다.
⦁ 변위 및 회전각의 고유진동형이 모두 동일한 제2스펙트럼은 존재하지 않는다.
A : | 단면적 |
E : | 탄성계수 |
G : | 전단탄성계수 |
I : | 단면 관성모멘트 |
L : | 보의 길이 |
s : | 세장비 |
κ : | 전단수정계수 |
ρ : | 밀도 |
ωn : | n번째 고유진동수 |
n번째 무차원 고유진동수 | |
ωc : | 임계진동수 |
무차원 임계진동수 |
이 연구는 순천대학교 교연비 사업에 의하여 연구되었음.
1. | Traill-Nash, R. W. and Collar, A. R., 1953, The Effects of Shear Flexibility and Rotatory Inertia on the Bending Vibrations of Beams, Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, Vol. 6, pp. 186~213.![]() |
2. | Anderson, G. R., 1953, Flexural Vibration of Uniform Beams according to the Timoshenko Theory, Journal of Applied Mechanics, Vol. 75, pp. 504~510.![]() |
3. | Dolph, C. L., 1954, On the Timoshenko Theory of Transverse Beam Vibrations, Quarterly of Applied Mathematics, Vol. 12, pp. 175~187.![]() |
4. | Abbas, B. A. H. and Thomas, J., 1977, The Second Frequency Spectrum of Timoshenko Beams, Journal of Sound and Vibration, Vol. 51, pp. 123~137.![]() |
5. | Bhashyam, G. R. and Prathap, G., 1981, The Second Frequency Spectrum of Timoshenko Beam, Journal of Sound and Vibration, Vol. 76, pp. 407~420.![]() |
6. | Han, S. M., Bernaroya, H. and Wei, T., 1994, Dynamics of Transversely Vibrating Beams using Four Engineering Theories, Journal of Sound and Vibration, Vol. 225, pp. 935~988.![]() |
7. | Levinson, M. and Cooke, D. W., 1982, On the Two Frequency Spectra of Timoshenko Beams, Journal of Sound and Vibration, Vol. 84, pp. 319~326.![]() |
8. | Stephen, N. G., 2006, The Second Spectrum of Timoshenko Beam Theory-further Assessment, Journal of Sound and Vibration, Vol. 292, pp. 372~389.![]() |
9. | Vasconcelos, A. C. A., Azevêdo, A. S. C. and Hoefel, S. S., 2016, The Second Spectrum of Timoshenko Beam, Congresso Nacional de Engenharia Mecanica Agosto de 2016 Fortaleza–Ceará, pp. 21~25. |
10. | Majkut, L., 2009, Free and Forced Vibrations of Timoshenko Beams Described by Single Difference Equation, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, Vol. 47, No. 1, pp. 193~210. |
11. | van Rensburg, N. F. G. and der Merwe, A. J., 2006, Natural Frequencies and Modes of a Timoshenko Beam, Wave Motions, Vol. 44, pp. 58~69.![]() |
12. | Lee, S. Y. and Lin, S. M., 1998, Non-uniform Timoshenko Beams with Time-dependent Elastic Boundary Conditions, Journal of Sound and Vibration, Vol. 217, pp. 223~238.![]() |
13. | Hutchinson, J. R., 2001, Shear Coefficients for Timoshenko Beam Theory, Journal of Applied Mechanics, Vol. 68, pp. 87~92.![]() |
Min Ho Seo received the M.S. in the Dept. of Mechanical engineering from Sunchon National University, Sunchon, Korea in 2018. He is currently a mechanical engineer in the nuclear power industry at the Kepco-enc. His research interests are in the area of mechanical dynamics and seismic design.
Yong-Woo Kim is currently a professor in the school of Mechanical and Aerospace Engineering at Sunchon National University. Recently, he is interested in the area of mechanical vibration, dynamics of structure and finite element analysis.
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