TMD는 동적 하중이 발생했을 때, 구조 부재들의 에너지 분산을 감소시켜 진동을 저감하는 원리의 감쇠기이다. TMD는 질량-스프링-감쇠기로 구성된 시스템 구조를 가지고 있다. Fig. 1과 같이 단자유도 시스템이 질량 M, 감쇠 C, 강성 K를 갖고, 동하중 f(t)가 가해지고 있을 때, 이 시스템에 질량 m, 감쇠 c, 강성 k를 갖는 TMD가 설치되어 있으면 운동방정식은 식 (1), 식 (2)와 같이 정의된다.

y¨t : 단자유도 시스템의 가속도
y˙t : 단자유도 시스템의 속도
y(t) : 단자유도 시스템의 변위
z(t) : TMD와 단자유도 시스템 사이 상대변위
f(t) : 동적하중

Fig. 1 
Structural system with TMD

식 (1)을 통해 고유값을 구하면 공진주파수를 찾을 수 있게 된다. 구해진 공진주파수를 반영하여 TMD를 설계하는데 질량(m), 강성(k), 감쇠계수(c)를 입력 변수로 한다. 질량과 대상 공진주파수가 결정되면 식 (3) ~ 식 (5)를 통해 강성과 감쇠계수를 계산할 수 있다.

(w: 각진동수, f: 공진주파수, k: TMD 강성, m: 질량, c: TMD 감쇠계수, r: 감쇠비[%])

계산된 값을 반영하여 제작된 TMD의 설치를 통해 바닥판은 등가감쇠 증가효과를 가지게 되며 이를 통해 충격력에 대한 저항력 증가를 통해 진동을 저감하게 된다. 한편 증가된 질량은 고유진동수의 주파수 대역을 더 낮은 대역으로 이동하게 하여 가청영역에서 벗어날 수 있는 효과 또한 확보할 수 있다. TMD의 구성 요소인 감쇠기는 시스템의 감쇠를 증가시켜 진동에너지 흡수를 통해 진동 감소 효과를 얻게 된다.

이 연구의 TMD는 바닥슬래브에 부착하여 위의 원리로 진동 저감효과를 발휘하게 된다. 대상 공간을 전산해석하여 슬래브 위치별 변위에 영향을 주는 주파수 맞춤 TMD를 설계하고 슬래브 중량의 16 %로 설계하였다.

이 연구의 대상 구조물의 평면과 해석용 모델링은 Fig. 2와 같다. 가로 5.28 m, 세로 4.68 m, 높이 2.25 m의 구조를 가진 콘크리트 구조물이고, 슬래브 두께는 0.18 m, 벽체 두께는 0.15 m였다. 해석용 모델링은 평면도를 토대로 상부 슬래브와 4개의 벽면은 쉘구조로 모델링하였고, 내부 공간은 공기층으로 모델링하였다. 해석은 COMSOL multiphysics 5.6 version을 사용하였고, 전산해석을 위해 입력한 재료의 물성은 Table 1과 같다. COMSOL을 통해 고유진동수와 모드 형상을 계산하여 모드 형상에 따른 변위에서 슬래브의 변위만을 발생하게 하는 주파수를 선별하면 Fig. 3의 1차 ~ 4차 모드에 해당하는 슬래브의 모드형상을 나타내는 것으로 각각 39.19 Hz, 73.12 Hz, 84.30 Hz, 114.74 Hz이다. 선별된 주파수를 식 (3) ~ 식 (5)에 대입하여 계산한 TMD 설계값은 Table 2와 같다.

Fig. 2 
Box-shape structure floor plan and analysis modeling

Fig. 3 
Natural frequencies, mode shape and deformation location of slab from analysis(black rectangle : installation points of TMD)

TMD의 설계값 뿐만 아니라 설치 위치도 성능에 영향을 미치는 요소로 작용한다. 이를 모델링에 적용하기 위해 상부 슬래브에 Fig. 3의 결과를 토대로 각 공진주파수 별 슬래브에 변위가 나타나는 지점에 해당 공진주파수 저감 목적으로 설계된 TMD를 설치하도록 Fig. 3(a) ~ Fig. 3(d)의 오른쪽 그림에 나타난 것과 같이 해당 지점에 TMD를 설계하였다. TMD의 질량비는 슬래브 질량 10 674.90 kg을 기준으로 16 %로 설계하였고 슬래브 적용 시 해석 상 구조적 안정성은 확보된 것으로 나타났고, 케이스 별 설계에 대한 상세는 Table 3과 같다.

TMD의 크기는 가로와 세로가 각각 30 cm인 정사각형 형태로 가정하여 COMSOL multiphysics version 5.6에서 제공하는 기능인 lumped mechanical system을 활용하여 모델링하였다. Lumped mechanical system에서 각 지점에 설치된 TMD는 슬래브 상부와 강접합점(fixed node)으로 연결되어 거동하도록 하였고, 질량점을 자유단(free node)로 설정하고 강접합점과 질량점 사이에 강성 반영을 위한 스프링과 감쇠계수를 반영할 대쉬포트로 결합시켰다. 슬래브의 가해진 충격력은 KS F 2810-2에⁽¹⁷⁾ 규정된 고무공 충격원을 기준으로 Fig. 4(a)와 같이 충격력 곡선을 모사한 최대 크기 1로 모델링된 사인파를 1500 N의 크기로 슬래브에 적용되도록 하였다. 충격력의 작용 위치는 중앙지점 외에 벽체로의 진동전달이 중앙지점보다 상대적으로 크다고 예상되는 구석 지점도 고려하여 Fig. 4(b)에서 빨간 원으로 표시된 지점과 같이 중앙점과 구석 지점 각각 1지점씩 선정하였다.

Fig. 4 
Impact force time history data for analysis

TMD 설치 전과 후의 소음 저감 성능을 비교하여 TMD가 슬래브에 설치되었을 때 저감 성능을 확보할 수 있는지 확인하였다. 진동 레벨과 음압 레벨의 차이를 비교하기 위해서 해석상 진동계와 마이크로폰을 나타내는 수음점을 슬래브와 내부 음장에 각각 설치하여 데이터를 추출했다. 가속도 센서는 슬래브 상부에 16개를 설치하였고, 음압 수음점의 경우 KS F 2810-2를 참고하여 수음실의 바닥에서 1.2 m 높이로 5지점 지정하였다.

전산해석은 충격력이 가해진 후 시간이 지남에 따른 거동을 확인하기 위해 시간이력해석(time dependent)을 수행하였고, 총 해석 시간은 고무공 충격원의 충격 시 충격력의 지속시간을 고려하여 0.125초를 0.5 밀리초 단위로 해석하였다.

충격력의 작용으로 인한 진동이 슬래브를 통해 전파된 진동이 수음실의 천장면에서 내부 음장으로 방사되는 음압의 확산 경향을 알아보기 위해 시간이력해석을 수행하였다. 확산의 경향을 알아보기 위해 TMD는 설치하지 않은 조건과 설치한 조건에서 Fig. 4(b)에서 중앙 지점에서의 충격력 작용 시의 시간이력해석을 COMSOL의 acoustic pressure(actd) 기능을 이용하여 나타낸 결과는 Fig. 5와 같이 나타났다. 두 조건 모두 충격력이 작용한 지점에서 충격력 작용 후 1 ms에는 충격점 주위에 음압이 국부적으로 충격점 주위에 발생한다. 6 ms까지는 거의 유사한 경향을 보였고 점차 작용지점에서 전체 공간으로 퍼져나가게 되어 11 ms가 흐르면 전체 공간으로 퍼지는 것을 확인할 수 있었다. 11 ms 부터 TMD 설치 유무에 따라 거동이 달리 나타났는데 11 ms에서 TMD가 설치된 경우 1차모드가 주요하게 나타나는 중앙 부분에서 짙은 적색 영역이 감소하는 효과가 있는 것으로 나타났다. 15 ms에서도 다른 경향을 보였는데 전체적으로 짙은 파란색의 영역에서 차이를 보였고, 이외의 같은 등압 영역 색상에서는 TMD가 설치된 경우 등압 영역이 감소하는 경향을 보여 TMD가 설치된 경우 설치되지 않은 경우에 비해 시간이 지남에 따라 음압이 감소하는 경향이 나타나 충격음 감소에 영향을 미치는 것으로 나타났다.

Fig. 5 
The result of sound pressure propagation from time dependent analysis; the yellow arrow from 1 ms figure means impact point using simulated rubber ball

TMD 설치 전후의 저감 효과를 알아보기 위해 Table 3의 case 1에서 감쇠계수 0.10, 질량 100 kg의 데이터를 반영한 해석 결과와 설치하지 않았을 때의 결과를 비교하였다. 충격원의 가진지점은 Fig. 4의 중앙점과 상단우측 지점 중 중앙점을 선정해 전산해석을 수행하였다. 결과는 음압레벨과 스펙트럼상의 진동가속도에 대해 분석하였고, 음압 레벨을 위한 수음점은 충격원이 가진한 지점 아래쪽에 모델링한 수음점의 해석치를 제시했고 진동가속도는 슬래브 상의 16개를 모두 조사하였다. 해석 결과는 바닥충격음의 평가 방식에 있어 주파수 상의 최대값인 L_max나 바닥충격음 차단 성능 단일수치평가량을 나타내는 L′_iA,Fmax를 고려하여 주파수 대역의 최대값 위주로 분석했고, 이러한 요소를 반영한 진동스펙트럼 및 음압레벨 결과는 Fig. 6과 같이 나타났다.

Fig. 6 
The comparison result of SPL, acceleration spectrum with and without TMD(mass 16 %, damping 10 %), and octave band among slab without TMD, with TMD(mass 16 %, damping 10 %), and TMD(mass 20 %, damping 10 %); time step was 0.5 ms and entire analysis time was 0.125 s

먼저, 진동 가속도 결과를 보면 일반슬래브는 최대값 39 Hz 부근에서 해석치 47.4를 보였고, TMD를 설치한 경우 최대값은 29.7로 감소하여 약 37 % 저감효과가 나타났다. 다른 주파수 대역에서도 전체적으로 감소하는 결과가 나타났으나 100.0 Hz 영역에서 증폭이 일어났다. 이는 TMD가 설치된 슬래브는 강성증가와 감쇠의 증가로 충격력에 의한 슬래브의 변위가 감소하게 되어 대부분의 주파수에서 저감효과가 나타나지만 일부 주파수 대역에서 TMD의 질량 증가로 인한 공진주파수의 저주파 대역 이동으로 인해 증폭이 일어날 수 있는 것으로 판단된다.

다음으로, 음압결과는 TMD의 설치 유무에 따라 큰 차이를 보였다. Fig. 6의 음압 스펙트럼을 보면 TMD를 설치하지 않은 경우 1차모드 대역에서 38.2로 큰 수치를 보였으나 TMD를 설치한 경우 2, 3차모드의 부근의 주파수에서 해석치 2 ~ 3 정도의 감소량을 보였지만 1차모드에서는 38.2에서 7.7으로 약 80 %의 저감량을 보여 해당 주파수 대역에서 큰 효과가 있음이 나타났다. Fig. 6의 1/3옥타브밴드 데이터를 1/1 옥타브밴드로 계산한 결과에서는 TMD를 설치하기 전에는 31.5 Hz에서 최대값을 보였으나 설치 후에는 125 Hz에서 최대값을 보였다. 저감량을 분석하면 31.5 Hz와 500 Hz에서 각각 6.8 dB, 8.4 dB로 저감효과가 명확하게 나타났고 250 Hz에서도 3.5 dB의 저감을 보였으나 63 Hz와 125 Hz에서는 0.4 dB, 0.9 dB로 상대적으로 적은 저감 수치를 보였다. 진동의 감소로 인해 슬래브를 통해 전달되어 방사된 음압이 전체 대역에서 감소할 것이라는 예상에 상반된 결과였다. 이는 실내 음장에 의한 룸모드 영향으로 인해 63 Hz ~ 125 Hz 대역 부근의 저감이 감소하여 이러한 결과가 나타난 것으로 판단된다.

추가적으로 슬래브 대비 TMD의 질량이 바닥충격음 저감 효과에 미치는 영향을 조사하기 위해 Table 3의 case 1(슬래브 대비 질량비 16 %)과 2(슬래브 대비 질량비 20 %)의 감쇠계수 0.10 기준으로 설계한 모델을 각각 해석하였다. 질량 증가는 1차모드(39.19 Hz)의 질량을 2배로 적용하고 해석을 수행하였다. 해석한 진동 및 음압 결과는 Fig. 6의 옥타브밴드 분석 결과와 같이 나타났다. 슬래브 대비 질량비 16 %, 20 %의 경우 모두 TMD가 없는 경우보다 낮은 음압레벨을 보였다. 하지만 저감 성능에 있어 질량비 16 %인 경우가 20 %인 경우와 250 Hz까지 큰 차이를 보이지 않았고, 500 Hz에서는 오히려 질량비 16 %가 더 큰 저감량을 보였다. 이는 TMD의 질량 증가가 오히려 Table 4에서 나타낸 고유진동수와 같이 바닥슬래브의 고유진동수 대역을 저주파수 대역으로 이동시키는 변화를 불러오게 되어 연성효과가 나타나는 음향모드 주파수에 영향을 미쳐 옥타브밴드 기준 31.5 Hz 영역에 영향을 준 것으로 해석된다. 단, 2차 ~ 4차 고유진동수들의 이동은 연성효과를 통해 음향모드 주파수의 이동을 발생시키지만 옥타브밴드 상의 63 Hz, 125 Hz에서의 효과가 31.5 Hz에 비해 작은 것으로 분석된다. 옥타브밴드 상의 250 Hz, 500 Hz 대역은 31.5 Hz와 마찬가지로 고유진동수의 이동으로 인한 음압저감 효과가 크게 나타난 것으로 판단된다. 슬래브 설치 후 질량비 16 %와 20 %의 고유진동수가 비슷하나 성능 차이가 나타나는 것은 이 연구의 대상 쉘구조물의 슬래브가 4면이 벽면에 의해 구속되어 일반적으로 TMD가 적용되는 빌딩에서 보이는 구조물 대비 질량비 증가가 성능의 향상으로 나타나는 것과는⁽¹⁸⁾ 다른 거동을 보이는 것으로 판단된다. 따라서 음장과 구조를 고려한 종합적 분석이 필요하다고 판단되며 추후, 이에 대한 추가적인 연구를 수행할 예정이다.

전산해석 결과를 통해 TMD의 질량의 단순 증가보다는 설치할 슬래브의 질량과 고유주파수를 면밀히 분석하여 질량비를 설정해야 할 것으로 사료된다. 이 연구에서의 단순한 슬래브 대비 질량비로 산출한 질량비는 1.6 t으로 큰 수치를 보였으나 모드질량을 고려한 설계를 할 경우 TMD의 질량을 크게 줄일 수 있을 것으로 예상되며 이를 통해 125 Hz 주변 대역에서의 저감 성능을 확보할 수 있을 것으로 기대된다. 또한, TMD의 디튜닝 기법 적용 방안과 질량비·감쇠비 등의 TMD 설계 파라미터에 대한 영향을 향후 더욱 면밀히 검토하여 최적 설계화를 진행할 예정이다.

이 연구의 TMD는 바닥충격음의 저감을 위한 목적으로 설계되었다. 이러한 효과를 확인하기 위해 전산해석상의 데이터를 토대로 단일수치평가량을 산출하였다. 단일수치평가량은 KS F ISO 717-2 : 2020을⁽¹⁹⁾ 토대로 TMD가 적용되지 않은 경우와 case 1(질량비 16 %, 감쇠비 10 %)의 결과를 토대로 산출하였다. TMD를 적용한 경우와 적용하지 않은 경우의 1/1 옥타브밴드 값과 산출한 단일수치평가량은 Table 5와 같았다. 단일평가지수(L_{iA,Fmax 50-630})는 TMD가 없는 경우 53 dB로 나타났고, TMD가 설치된 경우 47 dB로 나타나 약 6 dB 저감이 나타났다. 단일수치평가량 분석을 통해 공동주택 슬래브에 적용할 경우 슬래브용 TMD가 바닥충격음에 있어 저감 효과를 거둘 수 있으며 전산해석 상 이 연구의 구조물과 같이 실제 공동주택에 비해 바닥충격음에 불리한 얇은 슬래브(180 mm) 조건에서도 높은 저감 성능을 확보할 수 있을 것으로 기대된다.