구조체와 결합된 음영역은 음경계조건 등이 반영된 FEM모델을 이용하여 다음과 같이 구조-음향 연계시스템으로 나타낼 수 있다^(4~6).

여기서, z, p는 구조변위, 음압, m, c, k는 구조체 질량, 감쇠, 강성행렬, W는 구조체와 음영역의 경계행렬, E는 충격하중(δ(t))이 작용하는 위치행렬이다. 또한, ρ_a, M_a, C_a, K_a는 공기밀도, 음영역의 질량, 감쇠, 강성행렬이다.

구조체와 음영역이 독립된 상태의 모드행렬, 모드응답을 이용하여 구조변위와 음압은 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, η, q는 각각, 구조, 음향 모드이며 Φ, Ψ는 해당하는 모드행렬이다. 식 (2)를 (1)에 대입하고 component mode synthesis 기법을 이용하면 다음과 같이 진동모드와 음향모드가 연계된 시스템으로 나타낼 수 있다.

구조체와 음영역의 질량행렬은 식 (4)와 같이 각각의 모드형상에 대하여 단위행렬 (I )로 정규화된 것이다.

식 (3)에 사용된 변수는 다음과 같이 정의된다.

여기서, diag[ ] 는 대각행렬을 나타내며, 첨자 s는 구조진동, a는 음향모드, w_s, ξ_s, w_a, ξ_a는 각각 진동모드의 고유진동수와 감쇠비, 음향모드의 고유진동수와 감쇠비를 나타낸다.

구조체와 음영역의 경계를 나타내는 행렬 W 양변에 모드형상을 곱하여 진동모드와 음향모드의 연성효과를 나타낼 수 있으며 식 (5)와 같이 연성행렬을 정의한다.

연성행렬 γ의 사이즈는 음영역, 구조체 FEM 해석모델의 차수에 의하여 결정된다. 음향모드는 모든 진동모드에 의하여 영향을 받지만, 두 모드의 고유진동수가 멀리 떨어져 있으면 영향이 미미하므로 인근 진동모드만을 고려한다. 식 (3)으로부터 인접한 진동, 음향모드만을 고려하여 나타낸 2계도 연성 운동방정식은 식 (6)과 같다.

여기서, ϕ_i는 i-번째 진동모드(η_i)의 모드형상이며 j-번째 음향모드(q_j)와는 연성행렬의 요소 (γ_ij)에 의하여 연계된다. 두 모드의 고유진동수가 인접하여 두 모드만이 강하게 연계된다고 가정한 것이며, 수식 전개의 편의를 위하여 이후부터 특정 모드를 나타내는 첨자는 생략하였다.

연성행렬의 요소(γ_ij)는 식 (7)과 같이 연성효과를 나타내는 새로운 변수로 정의한다.

식 (5)의 연성행렬 γ는 전치행렬 특성에 의해 g_s = g_a 이나 적용하는 모드를 구분하기 위하여 다른 첨자로 설정한 것이다. 식 (7)을 식 (6)에 대입하면 식 (8)과 같이 더욱 간단히 연성된 두 모드의 운동방정식을 나타낼 수 있다.

식 (8)에 라플라스 변환을 적용하여 진동(가속도)과 음향모드는 식 (9)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서, Fss=s2+2ξswss+ws2,  Fas=s2+2ξawas+wa2이다.

또한, 첨자가 아닌 s는 라플라스변수, X(s)는 모달 충격하중(ϕiTEδt)의 라플라스변환이다. 식 (9)는 충격하중으로부터 진동(가속도)과 음향모드(음압)로의 전달함수를 나타내고 있다.

진동-음향 연성효과는 분모의 g_s, g_a값에 의하여 영향을 받는 것을 알 수 있다. 또한 식 (9)의 분모는 연성효과에 의하여 두 개의 모드가 합성된 형태를 가지고 있으므로 이를 다시 두 개의 단자유도 모드로 분해할 수 있다. 즉 다음과 같이 식 (9)의 분모가 두 개의 독립된 형태로 분해된다.

두 개의 단자유도로 분해하면 원래의 진동, 음향모드의 고유진동수와 감쇠비가 연성효과에 의해 변화된 두 개의 고유진동수(w₁, w₂)와 감쇠비(ξ₁, ξ₂)를 가진다. 이때 g_s, g_a값이 클수록 연성효과에 의하여 원래의 진동, 소음 모드의 진동수, 감쇠비가 새로운 진동수, 감쇠비와의 차이가 나타나게 된다.

만약 진동모드를 알고 있다면, 인접 음향모드는 식 (8b)의 라플라스 변환을 통하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

즉, 진동모드(가속도)를 입력으로 사용하는 단자유도 시스템의 응답이 음향모드가 되는 것을 알 수 있다.

진동모드 또는 음향모드는 특정진동수(고유진동수부근)에서 큰 스펙트럼을 가지며 해당 진동수 부근의 파워 스펙트럼의 합이 진동 또는 음향의 크기를 나타낸다고 볼 수 있다. 그러므로 진동모드, 그로부터 유도된 음향모드의 분산은 식 (12)와 같이 나타낼 수 있다. 이 분산은 가속도 레벨, 또는 음압레벨을 산정하는데 사용할 수 있다.

여기서 E[ ]는 평균화기호, s = iw이고 w는 각속도이다. 식 (12a,b)에 각각 식 (9a,b)를 대입하여 직접 진동, 음향모드의 분산을 구할 수 있다. 특히 식 (9a,b)의 외부하중이 이상적인 충격하중이라고 가정하면 최고차항이 s에 관한 4차 방정식으므로 closed form으로 분산을 구할 수 있다⁽⁷⁾. Closed form으로 나타내면, 식 (12)의 진동모드와 음향모드의 분산은 각각의 고유진동수와 감쇠비 그리고 연성효과를 나타내는 g_s, g_a값을 포함한 변수로 이루어진다. 이들 변수를 이용하여 진동, 음향모드의 분산을 구하고 이로부터 진동, 음향모드의 가속도, 음압레벨을 구함으로써 두 모드간의 상관성을 진동수 영역에서 파악할 수 있게 된다.

음영역에 포함된 구조체의 면밀도가 음영역 매질의 밀도에 비하여 매우 큰 경우에는 연성효과가 미약하게 된다. 아파트의 슬래브와 같이 매우 비대한 질량체는 인접공기의 음압 영향이 작아 연성효과가 떨어질 수 있다. 이와 같이 구조체와 음영역의 연성효과가 작아서 무시할 수 있고 구조체의 진동만이 음영역의 음장을 유발하다고 가정하면, 더욱 간략히 진동모드, 음향모드의 분산을 구할 수 있다.

음장이 구조체에 미치는 영향을 무시하면 식 (8a)의 g_s = 0으로 할 수 있고, 진동이 음영역에 일방향으로 영향(in cascade)을 미친다고 볼 수 있으므로 식 (8b)의 g_a를 유지함으로써 다음과 같이 진동모드와 음향모드를 나타낼 수 있다.

구조체에 작용하는 이상적인 충격하중으로써 하중의 스펙트럼이 특정 진동수영역(low-upper bound, w_L < w < w_U)에서 일정한 값을 가지는 형태(band-limited white noise)로 가정하면 식 (14)와 같다.

이러한 충격하중에 대한 가정에 근거하여 식 (13a, b)를 각각 식 (12a,b)에 대입하여 적분하면 식 (15)와 같이 closed form으로 진동모드와 음향모드의 분산을 구할 수 있다⁽⁷⁾.

여기서, N = 2w_sw_a (ξ_sw_a +ξ_aw_s)

진동모드 분산에 대한 음향모드의 분산 비율(R)은 식 (16)과 같다.

Fig. 1은 식 (16)에 의해 진동모드에 대한 음향모드의 고유진동수의 비율(w_a/w_s)로 나타낸 정규화된 분산 비율이다. 그림에서와 같이 음향모드의 진동수가 진동모드의 진동수에 벗어날수록 비율이 줄어들고 있으며, 진동수비가 5 %의 차이를 가질 때 최대분산비율의 40 %정도 되는 것을 알 수 있다.

Fig. 1 
Covariance ratio

만약 진동모드가 음향모드와 매우 인접하여서 w_a = w_s라 가정하면 최대분산비율 식 (17)과 같다.

그러므로 식 (18)과 같이 진동모드 분산으로부터 음향모드 분산을 예측할 수 있다.

앞서 언급한 바와 같이 비율 R은 진동모드 고유진동수와 감쇠비, 음향모드 고유진동수와 감쇠비 및 연성계수 g_a에 의하여 결정되며, 특히 음향모드의 감쇠비가 큰 영향을 미친다. 그러므로 잔향실과 같이 감쇠가 작은 음영역에서는 같은 진동에 대해서 큰 음압이 유발되는 것을 예상할 수 있다.

구조-음향 연성시스템으로 잔향실의 한 면 일부가 셸로 구성된 시스템을 설정하였다. 시간영역 연성해석은 COMSOL 프로그램을 사용하였으며, 모델링된 대상구조물이 Fig. 2에 나타나 있다. Fig. 2(a)는 잔향실 한 면에 포함된 셸(3.8 m × 2.6 m)을 나타내며, 셸 평면의 가로 세로 4등분 교차점 중 내부 9개의 가속도계 설치 위치와 셸 좌하부분에 삼각형으로 가진 점이 표시되어 있다. Fig. 2(b)는 잔향실 평면을 나타내는 것으로 5개의 마이크로폰 위치(높이 1.2 m)가 표시되어 있다.

Fig. 2 
Modeling of reverberation chamber

Table 1은 모델링에 사용된 재료의 물성이다. 10 Hz 대역부터 진동 거동을 보기 위하여 셸의 두께를 조정하여 1차 고유진동수를 약 17 Hz 정도로 맞추었다. 셸의 감쇠는 레일리히 감쇠의 α, β 을 이용하여 10 Hz ~ 100 Hz 대역의 모달감쇠비가 2.5 % ~ 4.5 %가 되도록 설정하였다. 잔향실의 감쇠는 임피던스(벽면)로 구현하였으며, 음속의 400배로 설정하였다.

Table 2는 해석에 사용된 FEM 모델의 요소, mesh 최대크기와 시간이력 해석을 위한 시간간격 등을 나타내고 있다. Mesh의 크기를 이용하여 구한 유효 해석 진동수 범위는 약 170 Hz 까지이다. 충격하중은 이 연구진이 보유하고 있는 임팩트햄머를 벽체에 타격했을 때 실측한 하중 시간이력을 모사한 것이다. 해석을 위해 최대크기 400 N의 지속시간 20 msec의 사인파(sine wave)의 반파형태의 펄스로 이상화하였다. 가진 위치는 앞서 언급한 바와 같이 Fig. 2(a) 셸의 좌하영역에 삼각형으로 표시되었다.