설계인자 X_k(k = 1, ⋯, n)가 관심응답에 영향을 미칠 때, i번째 인자 X_i의 관심응답에 대한 영향도는 E(Y|X_i)의 분산으로 나타낼 수 있다. 따라서 X_i의 영향도를 전체 분산으로 정규화하면 일차 민감도계수를 구할 수 있으며 식 (7)과 같이 정의할 수 있다.

위 식에서 V와 E는 분산과 기대값을 의미한다.

분산기반의 전역민감도해석에서 사용되는 조건부평균을 계산하기 위한 샘플링기법 중 하나이다. 무작위균형설계는 푸리에진폭 감도시험을 개선한 방법으로 식 (8)을 이용하여 설계인자를 계산한다.

식 (8)에서 G_i는 확률분포함수를, s_ij는 샘플링 포인트를 나타낸다. 무작위균형설계는 다음의 절차로 나타낼 수 있다.

Step 1. 각 인자마다 -π에서 π의 범위에서 샘플링을 통해 N개의 점 s_ij생성

Step 2. 생성된 점을 식 (8)에 대입하여 k개의 설계 인자를 N개씩 계산

Step 3. 각 설계인지를 무작위로 선정하여 N개의 관심응답 계산

Step 4. i번째 인자에서 선택된 점의 순서에 따라 N개의 관심응답 재배치하여 푸리에변환 후 식 (7)을 통해 1차 민감도계수 계산

Fig. 2는 무작위균형설계를 표현한 것으로 동그라미, 세모, 네모 표시는 각 설계인자를 무작위로 선정하여 각 표식의 응답을 구한 것을 나타낸다.

Fig. 2 
Random balance design (RBD)

무작위균형설계는 푸리에진폭 감도시험에서 발생되는 엘리어싱 문제를 해결할 수 있으며, 단일 각속도를 사용함으로써 계산이 단순하다. 또한, 적은 수의 샘플링으로 많은 경우의 수를 고려할 수 있어 효과적으로 사용할 수 있다.

강건설계문제를 해결하기 앞서 주파수응답함수 기반 부분구조합성법으로 계산된 응답을 검증하였다. 검증을 위해 전체시스템을 유한요소모델로 구성하여 해석프로그램을 통해 계산된 응답점에서 진동가속도의 값과 각 부분구조를 해석프로그램을 이용하여 전달함수를 구한 후 주파수응답함수 기반 부분구조합성법을 통해 계산된 응답점에서 진동가속도의 값을 비교하였다. 해석프로그램은 MSC/Nastran의 direct frequency response (Sol.108)를 사용하였으며, 주파수응답함수 기반 부분구조합성법의 계산은 Matlab 7.10.0 (2010a)을 사용했다. 두 가지 방법으로 계산된 비용과 응답을 Table 2와 Fig. 5에 나타내었다.

Fig. 5 
FBS model validation compared with those of FE model

Table 2는 각 프로그램을 이용한 해석시간을 정리했으며, 하나의 샘플링에서 계산시간이 각 4.53시간과 1.35시간이 소요되었다. 연결부의 동특성의 불확실성을 고려하여 많은 수의 샘플링을 사용하여 계산할 때, FE 모델의 해석시간은 샘플링 수가 증가할수록 초기의 해석시간에 비례하여 증가하는 반면, FBS 모델의 해석시간은 FBS계산시간만 추가되기 때문에 1000번의 샘플링에서는 대략 4527시간을 절약할 수 있어 효율적인 계산비용이 든다. Fig. 5(a) ~ (c)는 FE모델과 FBS 모델의 각 방향에 따라 0 Hz ~ 200 Hz의 주파수영역에서 진동가속도의 크기를 데시벨(dB)형식으로 나타내었다. 관심주파수 영역인 0 Hz ~ 80 Hz에서 비교하였을 때 각 피크의 위치와 크기가 일치하는 경향을 확인할 수 있었다. 따라서, 불확실성을 지닌 일래스토머를 고려한 시스템의 해석은 주파수응답함수 기반 부분구조합성법을 이용하는 것이 상용화된 해석프로그램을 이용하는 것보다 효율적인 계산비용으로 응답을 계산할 수 있다. 보다 정확한 응답 계산이 필요한 경우 실험기법으로도 검증된 알고리즘을 사용할 수 있다⁽¹¹⁾.

강건설계문제에서 설계인자로 선정된 일래스토머의 강성을 표현하기 위해 2.2절에서 언급한 무작위 균형설계에 적용하여 불확실성을 표현하였다. 이때, 확률분포함수는 상한값과 하한값을 정해져 있을 때 확률밀도함수를 기술하는 베타분포함수를 사용하였으며 다음과 같은 식 (10)으로 정의된다⁽¹²⁾.

식 (10)을 이용하여 확률밀도함수는 식 (11)과 같이 표현된다.

식 (11)에서 x는 구간을 나타내고 a, b의 값에 따라 그 크기가 정해지며, 이에 따른 베타함수의 확률밀도함수는 Fig. 6과 같이 그릴 수 있다. a가 b보다 크면 그래프가 오른쪽으로, a가 b보다 작으면 왼쪽으로 치우치고, a와 b가 같으면 x = 0.5를 기준으로 대칭을 이루는 분포형태를 보인다. 또한, 일래스토머의 강성의 범위는 Table 3에 표현하였다. 이와 같이 정의된 일래스토머 강성의 범위와 분포함수를 적용한 무작위균형설계를 사용하여 1차 민감도 계수를 계산하였다. 1차 민감도계수의 신뢰도를 위해 100, 1000, 5000, 10 000개의 샘플링수를 적용하여 100번 반복하여 계산했다. 샘플링수에 따른 1차 민감도계수의 평균과 표준편차를 다음 Fig. 7에 나타내었다. Fig. 7(a)와 7(b)는 각 샘플링수에 따른 1차 민감도계수의 평균과 분산을 비교한 그래프로서, 샘플링수가 1000개 이상일 때 설계인자의 민감도 결과가 안정되게 수렴하였다. 따라서 일래스토머의 불확실성을 고려하기 위한 최소 샘플링수는 1000으로 결정하였다. 일차 민감도계수의 계산결과는 강건설계시 설계변수를 선택하는 정보로 사용하였다.

Fig. 6 
Probability distribution function of beta distribution

Fig. 7 
Convergence test for the global sensitivity analysis

불확실성을 지닌 일래스토머의 특성을 고려한 강건설계문제는 비선형문제이기 때문에 유전자알고리즘 기반의 NSGA-Ⅱ를 이용했다⁽¹³⁾. 이때 80개의 개체를 여러 세대를 거쳐 교배, 돌연변이 계산을 실행하였으며, i번째 세대의 개체가 i-1세대의 개체와 95 % 이상 동일한 경우가 연속 3번 나타났을 때 해를 파레토 최적해로 선정하였다. 또한 파레토 최적해 중 두 개의 목적함수에 0.5의 가중치를 주어 최적의 값을 선정하였다.

강건설계의 효율성 비교를 위해 1차 민감도계수가 큰 5개의 설계변수를 사용한 설계결과와 30개 전체의 연결부 강성을 설계변수로 선정한 방법을 사용하였다. Fig. 8은 두 가지 경우에 대해서 축차시 세대가 증가함에 따라 변하지 않은 개체의 수의 비를 비교하였다. 5개의 변수와 30개의 변수를 이용한 계산은 각 79세대와 110세대에서 파레토 최적해를 얻을 수 있었다. Fig. 9의 (a)와 (b)에 79세대와 110세대에서 두 가지 경우에 대한 파레토 최적해를 비교하였다. Table 4에 가중값이 0.5인 경우의 최적해를 정리하였다.

Fig. 8 
Rate of fixed individuals in populations during the iterations

Fig. 9 
Pareto optimal solution using NSGA-Ⅱ

결과를 비교하면 5개의 변수를 사용한 방법이 30개의 변수를 사용한 방법보다 적은 수의 세대를 반복하여 최적해를 얻을 수 있었음을 알 수 있다. 소요시간은 30개의 변수를 사용한 방법에 비해 29.33 %의 적었다. 진동성능을 평가할 수 있는 가속도크기 평균은 두 경우에 각각 초기값에 비해 13.59 %, 13.67 % 감소하였고, 분산의 크기는 9.39 %, 23.71 % 감소하였다. 영향도가 큰 주요 설계변수만을 사용하여 강건설계를 하는 경우 평균값은 비슷한 성능을 얻었으나 분산의 경우는 모든 설계변수를 사용하는 경우에 비해 제한적인 결과를 얻었음을 알 수 있다.