자동차, 항공기, 토목구조물 등의 복잡한 구조물에서 피로파괴를 예방하거나 진동을 억제하는 기술을 개발하기 위해서는 구조물의 진동 특성을 이해하는 것이 매우 중요하다. 고분자재료 및 복합재료는 재료의 감쇠 특성 때문에 진동제어에 많이 적용되고 있다. 고분자 재료나 복합재료는 탄성과 점성이 혼합된 특성을 보이므로 이들을 흔히 점탄성 재료라고 일컫는다. 이러한 특성 때문에 점탄성재료는 공학적으로 다양하게 응용되고 있다. 그러나 점탄성재료로 만든 구조물의 정적 및 동적 거동을 연구하기 위해서는 수학적 모델을 개발해야 하며 모델에 대한 해를 구할 수 있어야 한다.

Banks and Inman⁽¹⁾은 복합재로 만든 보를 모델로 네 가지의 감쇠 모델을 고려하였다. 즉, 공기점성에 의한 감쇠(viscous air damping), 재료의 점탄성에 의한 감쇠(Kelvin-Voigt damping 또는 internal viscous damping), 시간이력 감쇠(time hysteresis damping), 그리고 공간이력 감쇠(spatial hysteresis damping)를 고려하였다. 이러한 감쇠 모델의 도입으로 인하여 보의 해석은 더욱 복잡하게 되었다.

전통적으로는 이러한 감쇠를 고려한 문제를 풀기 위해 비례감쇠(proportional damping)을 가정하였다. 그러나 왜 비례감쇠를 가정하는지에 대한 일반적인 물리적 이유는 없으며, 단지 비감쇠의 경우와 같이 단순화시켜 해석할 수 있기에 사용해왔었다. 그러나 모드 실험(modal testing)에 의하면 대부분의 실제 구조물은 비례감쇠계에서의 실수의 고유진동형을 갖는 것이 아니고 복소 고유진동형(complex mode)을 갖는 것으로 알려져 있다. 즉, 일반적으로 선형 시스템들은 비례감쇠가 아닌 비비례감쇠(non-proportional damping)인 것으로 알려져 있다. 비비례감쇠계에서는 고유값과 고유진동형들이 실수가 아닐 뿐만 아니라 전통적인 직교조건을 만족시키기 못하기 때문에 문제 풀이를 더욱 복잡하게 만든다. 이로 인해 복소 고유값 문제에 관한 일반적인 수식화에 관한 연구가 계속되고 있다.

Prater and Singh⁽²⁾는 비비례 점성감쇠를 갖는 보의 복소 고유값과 고유진동형을 결정하는 기법을 개발하였다. Oliveto 등⁽³⁾은 양단에 회전 점성감쇠기(rotational viscous damper)가 부착된 단순지지보의 복소 고유값과 고유진동형을 수치적 방법을 사용하여 구하였다. 운동 방정식을 비연성화 시키기 위한 직교조건을 유도하고 복소 모드 중첩법(complex mode superposition method)를 사용하여 양단의 지반으로부터 가해지는 가속도 충격(acceleration impulse) 및 조화적 지반 가진(harmonic ground motions)에 대한 응답을 구하였다. Krenk⁽⁴⁾은 시간에 관해 2계 편미분방정식인 보의 운동방정식을 상태변수(state variables)를 사용하여 2개의 1계미분방정식으로 표현하고 변수분리법을 적용하여 얻은 고유값 문제들(점성감쇠기가 있는 팽팽한 케이블, 양단에 회전감쇠기가 있는 단순보)의 파수(wave number)들을 단순반복법을 사용하여 구하였다. 그리고 케이블의 충격 응답(impulse response)과 보의 최적 점성감쇠에 대한 예제를 검토하였다.

Gürgöze and Erol⁽⁵⁾은 균일분포 점성감쇠 및 자유단에서 단일 점성감쇠기가 부착된 외팔보에 대하여 동적강성법을 적용하여 진동특성값들을 구하고, 시간에 관해 2계 미분방정식의 운동방정식의 직교조건들을 구하여 모드좌표계에서의 비연성화된 모드 운동방정식을 유도하여 복소 주파수 함수와 동적 충격응답함수를 구하였다. 그러나 가진력에 초점을 둔 분석으로서 초기조건에 의한 자유진동은 고려하지 않았다. Rosa 등⁽⁶⁾은 왼쪽 단이 탄성지지되어 있고 오른쪽 단에 집중질량이 있으며 임의 위치에 단일 점성감쇠기가 있는 테이퍼진 보의 복소 고유값을 구하였다. Xing 등⁽⁷⁾은 외팔보의 자유단에 점성감쇠기가 부착된 보에 대해, 실수로 가정한 모드(real assumed-mode trial functions)를 사용하여 이산화된 고유값 문제로 표현하고, 이산화된 고유값 문제의 고유값과 고유벡터를 구하기 위해 이산화된 고유값 문제를 상태변수로 표현된 운동방정식을 사용하였다. Svedholm 등⁽⁸⁾은 비비례 감쇠가 있는 오일러-베르누이 보에서 이동하중에 의한 보의 동적거동에 관한 이론해를 유도하였다. 적절한 직교조건을 유도하고 직교조건과 중첩법을 이용하여 이동 하중에 대한 모드좌표계에서의 2계 미분 운동방정식과 단위충격 응답함수를 유도하여 이동 하중에 대한 시간응답을 제시하였다. 그러나 이동하중에 의한 자유진동해석에 초점을 둔 연구로서 초기조건에 의한 자유진동은 고려하지 않았다. Singh⁽⁹⁾는 점탄성 재료로 구성된 이산계 및 연속계의 고유값 문제에 대한 고유값 및 고유진동형을 계산하는 수치계산법을 제안하고, 이 방법의 정확성을 보이기 위해 다자유도의 점탄성 시스템, 점탄성 지지의 축방향으로 진동하는 봉, 양단 사이에 맥스웰 요소가 있는 단순지지 보 등에 적용하였다. Zangeneh 등⁽¹⁰⁾은 양단이 점탄성 지지된 보의 이동하중에 의한 최대 공진 응답을 구하기 위해 보의 변위를 단순지지 보의 변위와 점탄성 지점의 강체변위의 합으로 가정하여 닫힌 형태로 표현되는 최대 공진 응답의 근사해(closed-form approximate expression)를 구하였다. 이들도 초기에 정지해있는 보의 이동하중에 의한 자유진동을 다룸으로써 초기조건에 의한 자유진동은 취급하지 않았다.

위에서 보는 바와 같이 대부분의 연구가 복소 고유값 문제의 고유값과 고유진동형을 구하거나 충격하중에 의한 응답을 얻는데 초점을 두고 있다. 그러나 보의 초기 변형조건에 의한 자유진동을 위한 수식화 및 응답에 관한 연구는 찾아보기 어렵다. 이는 주어진 물리적 좌표계에서의 초기조건을 모드좌표계에서의 초기조건으로 표현하는 것이 점성이 없는 경우⁽¹¹⁾에 비해 간단하지 않기 때문인 것으로 판단된다.

초기조건에 의한 자유진동은 구조물의 거동을 분석하는데 매우 중요하다. 예를 들면 구조물이 지진하중을 받는 동안 초기 변위와 속도는 구조물의 응답을 결정한데 중요한 역할을 한다. 따라서 이 연구에서는 점탄성재료로 만든 보가 진동하면서 공기의 점성저항을 받을 때, 외력에 의한 자유 진동뿐만 아니라 초기조건에 의한 자유진동의 시간 응답을 얻기 위하여 복소 모드해석 방법을 정식화한다. 이를 위해 운동방정식을 비연성화 시키기 위한 직교조건을 유도하고, 직교조건을 이용하여 모드좌표계의 초기조건을 주어진 물리적 좌표계의 초기조건으로 표현한다. 그리고 복소 모드중첩법을 사용하여, 외력에 의한 자유 진동뿐만 아니라 초기조건에 의한 자유진동의 시간응답을 구한다.