Guyan reduction라고도 불리는 이 방법은 static 해석 방법과 동일하게 강성 행렬만을 고려하여 시스템 응답을 구하는 방법을 사용한다⁽⁶⁾. 시스템 축소 시 남기고자 하는 절점을 m(주절점, master node), 삭제하고자 하는 절점을 s(종속절점, slave node)라 하면 식 (1)은 식 (4)와 식 (5)와 같이 변환 가능하다.

만약 종속절점에 하중이 입력되지 않는다고 하면 x_s는 식 (6)과 같이 정리된다.

식 (6)에서와 같이 종속절점의 응답은 주절점의 응답으로 표현이 가능하며, 이러한 관계를 정리하면 식 (7)과 식 (8)처럼 T를 구할 수 있다.

여기서 I는 단위 행렬을 의미하며 하첨자는 행렬의 크기를 의미한다. 이와 같은 일련의 과정을 통해 시스템의 변위 응답은 주절점의 응답만이 고려되는 시스템으로 차원 축소가 가능하다.

Static reduction 기법은 매우 간단하게 차원을 축소할 수 있다는 장점이 있지만, 질량 행렬을 고려하지 않았기 때문에 시스템의 동적 특성을 제대로 계산할 수 없다는 단점이 있다. 특정 주파수로 시스템 가진 시 주파수 도메인에서의 시스템 응답은 식 (9)와 식 (10)과 같이 표현이 가능하다⁽⁷⁾.

식 (9)는 식 (5)와 동일한 형태이기에 식 (11)과 같이 변환 행렬 또한 동일한 형태로 유도 가능하다.

위의 기법을 사용하는 경우보다 나은 동특성을 추출할 수 있지만, 가진 주파수 영역이 넓은 경우 정확한 해석을 위해 T_d를 모든 주파수마다 연산해야 하므로 연산량 저감에 효과적인 기법은 아니다.

SEREP은 앞서 소개한 기법보다 시험과 해석 결과의 비교에 특화된 기법이다. 다른 기법과 달리 SEREP은 우선적으로 시스템의 고유치 해석 결과를 필요로 한다. 모달 해석을 통해 얻어낸 고유벡터를 기반으로 시스템 응답을 표현하면 식 (12)와 같이 표현할 수 있다^(8,9).

일반적으로 축소하고자 하는 시스템의 자유도, 즉 주절점의 자유도 수는 분석 모드의 개수보다 높다. 이 경우 z는 일반화 역행렬(generalized inverse)을 활용해 master node에 대한 응답으로 식 (13)과 같이 정리할 수 있다.

식 (13)을 식 (12)에 대입하면 변환행렬 T_S는 식 (14)와 식 (15)와 같이 정의할 수 있다.

식 (15)와 같이 변환행렬을 구하기 위해선 모달 해석을 선행해야 하지만, 병렬 프로세싱을 활용하여 고유치 연산을 빠르게 수행할 수 있는 상용 유한요소해석 프로그램을 활용하면 연산시간을 단축할 수 있다. 또한 고유치 해석 결과들을 기반으로 연산하였기 때문에 다른 기법에 비해 고유치 계산 정확도가 높다.

마지막으로 소개하고자 하는 기법은 앞서 소개한 3개의 기법과 달리 master, slave의 구분이 불필요하다. Krylov subspace의 처음 n개의 벡터는 식 (16) ~ 식 (18)과 같이 표현할 수 있다^(10,11).

식 (18)을 통해 구한 각 기저 벡터들을 서로 직교하는 단위벡터로 만들어주면 이는 곧 식 (19)와 같이 변환행렬이 된다.

위의 기법 사용 시 다른 기법들에 비해 오차가 월등히 작아 빠르고 정확한 계산이 가능하다. 모델이 큰 경우 식 (16), (17) 연산 과정에서 필요한 K^-1 연산이 다소 오래 걸리기 때문에, LU 분해 등의 기법들을 사용하는 것이 권장된다. 다만, SEREP과는 달리 축소된 모델로부터 진동 응답을 연산하여도 modal expansion과 유사하게 변환행렬을 곱하여 도메인을 옮겨와야 물리적 의미를 갖기에 후처리 과정에서 추가적인 연산이 필수적이다.

구축한 전산 축소 모델의 정확도 분석을 위해 모달 해석을 수행하였다. 처음 6개 모드에 대해 모드 형상 및 고유진동수 비교를 수행하였으며, 이를 Figs. 4, 5와 Table 3 ~ Table 8에 정리하였다. SEREP 기법 적용 축소 모델을 대표 예시로 도시한 Fig. 4에서와 같이 full 모델과 ROM의 모드 형상이 동일함을 알 수 있다. Full 모델의 고유진동수를 기준으로 오차 분석 시 Krylov subspace의 오차가 가장 작은 것을 확인할 수 있으며, static reduction은 저주파 대역에선 우수한 성능을 보이지만 고주파로 갈수록 오차가 커짐을 알 수 있다. Dynamic reduction의 경우 ω값에 따라 확연히 편차가 큰 것을 확인할 수 있다. Dynamic reduction을 활용하여 광대역 진동 해석을 수행할 경우, 정확한 해석을 위해선 협대역 별 T_d를 연산하여 해석을 수행해야 하고 다수의 모드가 중첩되는 고주파 대역에선 이 방법조차도 큰 수치 오류로 이어질 수 있어 권장되지 않는다. 반면 Krylov subspace 기법은 타 기법 대비 우수한 성능을 갖으며, 6차 모드까지 편차가 작은 것을 확인할 수 있다. 다만 해석 시간을 감안한다면 SEREP 기법 또한 축소 모델 구현에 효과적인 기법이라 할 수 있다. 더불어 SEREP은 Fig. 4와 같이 축소 모델로부터 얻은 변위 응답이 full 모델의 응답과 일치하기 때문에 변환과정 없이 직관적으로 이를 해석할 수 있지만, Krylov subspace는 필히 변환행렬을 사용해야만 응답을 해석할 수 있다는 차이가 있다.

Fig. 4 
Comparison of mode shapes between full model and reduced order model

Fig. 5 
Natural frequency error compared to full model

Modal assurance criterion (MAC)을 사용하여 Full 모델과 축소 모델의 모드 형상의 일치 여부를 정량적으로 판별한 결과는 Table 4 ~ Table 8과 같다. 고유진동수와 동일하게 10 Hz로 설정한 dynamic reduction 모델은 대각 행렬의 값이 낮으며, SEREP과 Krylov subspace 기법이 가장 우수한 것을 확인할 수 있다.

다음으로 전산 축소 모델로부터 연산된 변위 응답의 정확도 분석을 위해 조화 해석을 수행하였다. 비교 분석을 위한 해석이기에 단순한 형태의 하중을 입력하였다. Fig. 3에 도시된 10개의 master node들에 y 방향으로 1 N의 힘을 입력하였고, numerical damping을 0.05로 설정하였을 때 master node # 2와 slave node 중 하나를 선정하여 해당 위치에서의 변위 응답을 추출하였다. 주파수 범위는 0.005 Hz 간격으로 0 Hz ~ 2 Hz로 설정하였으며 해석 결과는 Fig. 6 ~ Fig. 9와 같다. Fig. 6, Fig. 9과 같이 구축한 MOR들의 master node 변위 응답과 변환행렬을 활용하여 구한 slave node 변위 응답 모두 full 모델의 결과와 매우 유사함을 확인할 수 있다. Full model과의 오차 분석 시 Figs. 8, 9에서와 같이 Krylov subspace 기법의 성능이 가장 우수하였으며, dynamic 기법의 경우 주파수 선정에 따라 상당한 오차가 발생함을 확인할 수 있었다. Dynamic reduction의 경우 특정 주파수에서의 시스템 동특성만이 변환행렬에 반영되었기에, 목표 주파수(1 Hz)에서는 Krylov subspace 기법과 유사한 정확도를 보이나 해당 주파수에서 벗어날수록 정확도가 타 기법에 비해 떨어짐을 확인할 수 있다. Static 기법의 경우 모달 해석 분석 결과와 유사하게 고주파 대역에서 성능이 저하됨을 확인할 수 있으며, SEREP의 경우 Krylov subspace와 유사한 수준의 정확도를 갖음을 확인할 수 있다. 해석에 소요된 시간의 경우 Table 9와 같이 full 모델 대비 4가지 기법 모두 연산 속도에 있어 강점을 갖음을 확인할 수 있다.

Fig. 6 
Harmonic analysis result at master node # 2

Fig. 7 
Harmonic analysis result at node 6830 (middle of master node # 7 and # 8)

Fig. 8 
Numerical error between full model and MOR for harmonic analysis result at master node # 2

Fig. 9 
Numerical error between full model and MOR for harmonic analysis result at node 6830

마지막으로 전산 축소 모델을 활용하여 시간 이력 해석을 수행하였다. Fig. 10과 같이 sine sweep을 입력 파형으로 선정하였으며, 조화 해석과 동일하게 Fig. 4에 도시된 10개 지점에 동일한 힘을 인가하였다. 수치해석 기법으로는 뉴마크 기법을 활용하였으며, β = 0.25, γ = 0.5를 활용하여 해석을 수행하였다. 초기조건으로 변위와 속도 값 모두 0을 활용하였으며, 앞서 구축한 4개의 축소 모델의 해석 시간과 결과는 Table 10과 Fig. 11 ~ Fig. 16과 같다.

Fig. 10 
Input force used in transient analysis

Fig. 11 
Transient analysis result (displacement) at master node # 2

Fig. 12 
Transient analysis result(velocity) at master node # 2

Fig. 13 
Transient analysis result (acceleration) at master node # 2

Fig. 14 
Transient analysis result (displacement) at node 6830

Fig. 15 
Transient analysis result (velocity) at node 6830

Fig. 16 
Transient analysis result (acceleration) at node 6830

앞선 해석결과와 유사하게 dynamic 기법을 활용하여 구축한 모델의 정확도가 상대적으로 타 기법보다 낮음을 확인할 수 있으며, SEREP과 Krylov subspace 기법 활용 모델의 해석결과가 FEM 결과와 가장 유사함을 확인할 수 있다. 입력으로 사용된 힘의 주파수 성분이 1 Hz 이하의 성분들로 구성되어 있어, Figs. 8, 9에서 확인한 dynamic 기법의 오차와 같이 목표 주파수에서 벗어날수록 왜곡된 변환행렬로 인해 시간 이력 해석의 연산 정확도 또한 타 기법에 낮음을 확인할 수 있다. Table 10과 같이 모든 축소 기법 사용 시 full 모델 대비 해석 시간이 현저히 적게 소요됨을 확인할 수 있고, 특정 회전 주파수로 동작하는 기계 시스템의 경우엔 그에 맞춰 구성한 변환행렬을 사용하여 dynamic 기법을 적용할 수 있으나, 다양한 주파수 성분이 존재한다면 Krylov subspace와 SEREP 기법 사용이 권장된다. 모든기법들에 대해 요약한 정보는 Table 11과 같다.